21.3.3.2 正方形的判定-课件(共50张PPT)-人教版（新教材）数学八年级下册

(共50张PPT)
人教版（新教材）数学八年级下册
第二十一章 四边形
21.3.3.2 正方形的判定
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
复习回顾
平行四边形 矩形 菱形 正方形
性质 边 对边平行且相等 对边平行且相等 四条边都相等 对边平行，
四条边都相等
角 对角相等，邻角互补 四个角都是直角 对角相等，邻角互补 四个角都是直角
对角线 对角线互相平分 对角线相等 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
对称性 不是轴对称图形 轴对称 轴对称 轴对称
21.3.3.2 正方形的判定 教学课件教学过程分页内容
第1页：复习导入（3分钟）
1. 回顾旧知：提问学生“我们已经学习了哪些特殊的平行四边形？它们的定义和判定方法分别是什么？”
2. 梳理关系：引导学生梳理矩形、菱形与平行四边形的从属关系，明确“矩形是有一个角为直角的平行四边形，菱形是有一组邻边相等的平行四边形”。
3. 引出课题：展示正方形实物图（如魔方、地砖），提问“正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，那么如何判定一个图形是正方形呢？今天我们就来探究正方形的判定方法。”
第2页：探究一：从矩形出发判定正方形（8分钟）
1. 提出问题：“矩形具备什么条件时会成为正方形？” 引导学生思考：矩形的四个角都是直角，若要成为正方形，还需满足边的条件。
2. 合作探究：让学生分组讨论，结合矩形和正方形的性质对比，得出猜想“有一组邻边相等的矩形是正方形”。
3. 逻辑证明：引导学生结合矩形的定义和正方形的定义进行证明。已知：四边形ABCD是矩形，AB=AD。求证：四边形ABCD是正方形。证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠A=90°，AB=CD，AD=BC。又∵ AB=AD，∴ AB=BC=CD=AD，且∠A=90°，∴ 四边形ABCD是正方形。
4. 得出结论：板书判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。
第3页：探究二：从菱形出发判定正方形（8分钟）
1. 类比提问：“菱形具备什么条件时会成为正方形？” 引导学生类比探究一的思路，从角的角度思考：菱形的四条边相等，若要成为正方形，还需满足角的条件。
2. 自主探究：让学生独立思考并写出猜想“有一个角是直角的菱形是正方形”。
3. 验证证明：请一名学生上台板演证明过程，其余学生在练习本上完成。已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°。求证：四边形ABCD是正方形。证明：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB=BC=CD=AD，AB∥CD，AD∥BC。又∵ ∠A=90°，∴ ∠B=∠C=∠D=90°，∴ 四边形ABCD是正方形。
4. 得出结论：板书判定定理2：有一个角是直角的菱形是正方形。
第4页：探究三：从平行四边形出发判定正方形（10分钟）
1. 深层提问：“如果从平行四边形出发，需要满足什么条件才能判定为正方形？” 引导学生结合前两个判定定理，思考平行四边形成为正方形的双重条件。
2. 小组讨论：组织学生分组讨论，明确“平行四边形要成为正方形，既要满足矩形的条件，又要满足菱形的条件”，进而得出猜想“有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形”。
3. 推理验证：引导学生结合平行四边形、矩形、菱形的定义进行推理。∵ 平行四边形中，有一组邻边相等则为菱形，有一个角是直角则为矩形，∴ 既是菱形又是矩形的平行四边形是正方形。
4. 拓展思考：提问“还有其他判定正方形的方法吗？” 引导学生得出“对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形”，并简要说明证明思路（对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故为正方形）。
5. 汇总判定方法：梳理并板书正方形的三种核心判定方法，强调“正方形是特殊的矩形和菱形，判定时需抓住‘边相等’和‘角为直角’的双重特征”。
第5页：例题讲解（12分钟）
1. 例题呈现：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F。求证：四边形CEDF是正方形。
2. 分析思路：引导学生思考：① 先判断四边形CEDF的形状（平行四边形）；② 再证明它是矩形（有三个角是直角）；③ 最后证明它有一组邻边相等（角平分线的性质）。
3. 规范证明：板书证明过程：∵ DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB=90°，∴ ∠DEC=∠DFC=∠ACB=90°，∴ 四边形CEDF是矩形。又∵ CD是∠ACB的平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，∴ DE=DF，∴ 矩形CEDF是正方形。
4. 变式提问：“如果将题目中的Rt△ABC改为一般三角形，还能判定四边形CEDF是正方形吗？为什么？” 强化学生对判定条件的理解。
第6页：巩固练习（10分钟）
1. 基础题：判断下列说法是否正确，并说明理由。（1）有一个角是直角的平行四边形是正方形；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线互相垂直的菱形是正方形；（4）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。
2. 解答题：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD。求证：四边形ABCD是正方形。
3. 反馈点评：针对学生练习中的错误，重点讲解“混淆矩形、菱形与正方形的判定条件”的问题，强化“双重条件”的核心要求。
第7页：课堂小结（4分钟）
1. 知识梳理：引导学生回顾正方形的三种核心判定方法：① 从矩形出发：有一组邻边相等；② 从菱形出发：有一个角是直角；③ 从平行四边形出发：有一组邻边相等且有一个角是直角（或对角线相等且互相垂直）。
2. 思想总结：强调“类比探究”（类比矩形、菱形的判定思路）和“转化思想”（将正方形的判定转化为矩形或菱形的判定）的应用。
3. 易错提醒：总结常见错误，如“只满足一个条件就判定为正方形”，提醒学生判定时需同时满足矩形和菱形的相关条件。
探索新知
王芳在商场看中一条丝巾，她不确定其是不是正方形样式， 于是售货员拿起丝巾拉起一组对角把丝巾对折（如图所示）， 让王芳看丝巾是否完全重合；见她还有些犹豫，售货员又拉起另一组对角把丝巾对折，让她看丝巾是否也完全重合. 王芳发现这两次都重合，就买下了这条丝巾. 你认为王芳买的这条丝巾是正方形样式吗？为什么？
【选自教材第78页 练习 第3题】
活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形.
正方形
猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
尝试证明
对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图，在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO.
又∵AC⊥DB，∴AB=BC.
∴四边形ABCD是正方形.
活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，看是不是正方形.
猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
菱形
一个角是直角
对角线相等
尝试证明
对角线相等的菱形是正方形.
已知：如图，在菱形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD， AC⊥DB.
∵AC=DB，∴AO=BO=CO=DO，
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形.
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=45°+45°=90°，
∴四边形ABCD是正方形.
归纳总结
正方形判定的几条途径：
先判定菱形
正方形
①有一个直角
②对角线相等
先判定矩形
正方形
①一组邻边相等
②对角线垂直
平行四边形
正方形
①一组邻边相等且有一个直角
②对角线相等且垂直
练 习
1. 满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形；
（2）对角线互相垂直的矩形；
（3）对角线相等的菱形；
（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形.
解：分别满足条件（1）（2）（3）（4）的四边形都是正方形.
【选自教材第78页 练习 第1题】
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 平分∠ACB，
DE ⊥ BC，DF⊥ AC，垂足分别为 E，F .
求证：四边形 CEDF 是正方形.
证明：∵DE ⊥ BC，DF ⊥ AC，
∴∠DEC = ∠DFC = 90°.
又∠ACB = 90°，∴四边形 CEDF 是矩形.
∵CD 平分∠ACB，DE ⊥ BC，DF ⊥ AC，
∴DF = DE .
∴矩形 CEDF 是正方形.
【选自教材第78页 练习 第2题】
如图，E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 四条边上
的点，且 AE = BF = CG = DH. 求证：四边形 EFGH 是正方形.
例 6
A
B
D
C
F
H
E
G
1
2
3
分析：要证明四边形 EFGH 是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG 全等得出.
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB = BC = CD = DA .
又 AE = BF = CG = DH，∴EB = FC = GD = HA .
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG .
A
B
D
C
F
H
E
G
1
2
3
∴HE = EF = FG = GH .
∴四边形 EFGH 是菱形 .
∵△AEH ≌△BFE，∴∠2 = ∠3.
又∠1 + ∠2 = 90°，∴∠1 + ∠3 = 90°.
∴∠HEF = 180°－(∠1 + ∠3) = 90°.
∴四边形 EFGH 是正方形 .
复习巩固
1. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD 相交
于点 O，且 ∠1 = ∠2. 四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？
解：四边形 ABCD 是矩形. 理由：
∵∠1 = ∠2，∴OB = OC.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD.
∴OA = OC = OB = OD.
∴AC = BD . ∴ □ ABCD 是矩形.
【选自教材第78页 习题21.3 第1题】
2. 如图，一个木匠要制作一块矩形的木板. 他在一块对边平行
的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到
矩形木板. 为什么？
解：如图，∵AB ⊥ BC，CD ⊥ BC，
∴易得 AB∥CD，∠ABC = 90°.
∵AD∥BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又∠ABC = 90°，∴ □ ABCD 是矩形.
因此，他能得到矩形木板.
【选自教材第79页 习题21.3 第2题】
3. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 2AC . 利用本节所学的直角三角形的性质，求∠A，∠B 的度数.
解：如图，取 AB 的中点 D，连接 CD.
∵CD 是Rt△ABC 斜边上的中线，
∴△ACD 是等边三角形. ∴∠A = 60°.
又∠ACB = 90°，∴∠A + ∠B = 90°，∴∠B = 30°.
∴CD = AB = AD .
∵AB = 2AC，∴AC = AB. ∴AC = CD = AD .
【选自教材第79页 习题21.3 第3题】
4. 如图，四边形 ABCD 是菱形，∠ACD = 30°，BD = 6. 求：
（1）∠BAD，∠ABC 的度数；
（2）AB，AC 的长.
解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，
∴CA 平分∠BCD，AD∥BC .
∴∠BCD = 2∠ACD = 60°.
∴∠BAD = ∠BCD = 60°.
又AD∥BC，∴∠ABC = 180°－∠BAD = 120°.
【选自教材第79页 习题21.3 第4题】
（2）设 AC 与 BD 交于点 O .
由（1）知∠BAD = 60°，AB = AD，
∴△ABD 是等边三角形. ∴AB = BD = 6.
在Rt△ABO 中，AB = 6，BO = BD = 3，
∴AO = = = 3 ，∴AC = 2AO = 6 .
4. 如图，四边形 ABCD 是菱形，∠ACD = 30°，BD = 6. 求：
（1）∠BAD，∠ABC 的度数；
（2）AB，AC 的长.
【选自教材第79页 习题21.3 第4题】
5. 如图，AE∥BF，AC 平分∠BAE，且交 BF 于点 C，BD 平分∠ABF，且交 AE 于点 D，连接 CD. 求证：四边形 ABCD 是菱形.
证明：∵AE∥BF，
∴∠DAC = ∠BCA，∠ADB = ∠CBD .
∵AC 平分∠BAD，BD 平分∠ABC，
∴∠BAC = ∠DAC，∠ABD = ∠CBD .
∴∠BAC = ∠BCA，∠ABD = ∠ADB .
∴AB = AD = BC.
又AD∥BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵AB = BC，∴ □ ABCD 是菱形.
【选自教材第79页 习题21.3 第5题】
6. 如图，E 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且 BE = BC，
过点 E 且与 BD 垂直的直线交 CD 于点 F，连接 BF. DE 与 CF
相等吗？说一说你的理由.
解：DE = CF. 理由：
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠C = 90°，∠BDC = 45°.
∵EF ⊥ BD，∴∠DEF = ∠BEF = 90°.
∴∠DFE = 90°-∠BDC = 45°. ∴∠BDC = ∠DFE，∴DE = EF .
在Rt△BEF 和Rt△BCF 中，
BF = BF，
BE = BC，
∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL）. ∴EF = CF，∴DE = CF.
【选自教材第79页 习题21.3 第6题】
综合运用
7. 如图，把一张矩形的纸片对折两次，然后剪下一个角.
要得到一个正方形，裁剪线与折痕应成多少度的角？
解：裁剪线与折痕应成 45°的角.
【选自教材第79页 习题21.3 第7题】
8. 如图，将矩形纸片 ABCD 沿直线 BD 折叠，使点 C 落在
C′ 处，BC′，AD 相交于点 E，AD = 8，AB = 4. DE 的长
是多少？△BDE 的面积呢？
解：∵纸片ABCD是矩形，∴∠A = 90°，AD∥BC，
∴∠ADB = ∠CBD.
由折叠知∠C'BD = ∠CBD，
∴∠C'BD = ∠ADB. ∴BE = DE.
设 DE = BE = x，则 AE = AD－DE = 8－x .
在Rt△ABE 中，由勾股定理，AE2 + AB2 = BE2，
即 (8－x)2 + 42 = x2，解得 x = 5. ∴DE = 5.
∴S△BDE = DE·AB = ×5×4 = 10.
【选自教材第79页 习题21.3 第8题】
9. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD ⊥ AB，垂足为 D， ∠ACD = 3∠BCD，E 是边 AB 的中点. ∠ECD 是多少度？为什么？
解：∠ECD = 45°. 理由：
∵∠ACB = 90°，∴∠BCD + ∠ACD = 90°.
∵∠ACD = 3∠BCD，
∴∠BCD + 3∠BCD = 90°，
∴∠BCD = 22.5°，∠ACD = 67.5°.
∵CD ⊥ AB，∴∠A + ∠ACD = 90°. ∴∠A = 22.5°.
在Rt△ABC中，E 是斜边 AB 的中点，
∴CE = AB = AE . ∴∠ACE = ∠A = 22.5°.
∴∠ECD =∠ACD－∠ACE = 67.5°－22.5°= 45°.
【选自教材第80页 习题21.3 第9题】
10. 如图，四边形 ABCD 是菱形，点 M，N 分别在 AB，AD 上，且 BM = DN，MG∥AD，NF∥AB；点 F，G 分别在 BC，CD 上，MG 与 NF 相交于点 E. 求证：四边形 AMEN，EFCG 都是菱形.
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB = DA = BC = CD，AB∥CD，AD∥BC.
∵MG∥AD，NF∥AB，
∴AB∥NF∥CD，AD∥BC∥MG.
∴四边形 AMEN，BCGM，CDNF，EFCG 都是平行四边形.
∴BM = CG，DN = CF.
∵BM = DN，∴CG = CF，AB－BM = DA－DN，即AM = AN.
∴ □ AMEN， □ EFCG 都是菱形.
【选自教材第80页 习题21.3 第10题】
11. 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，
AC = 8，DB = 6，DH ⊥ AB，垂足为 H. 求 DH 的长.
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC ⊥ BD，AO = AC = 4，BO = DB = 3.
∴AB = = = 5.
∵S菱形ABCD = AC·DB = AB·DH，
即 ×8×6 = 5DH. ∴DH = .
【选自教材第80页 习题21.3 第11题】
12.（1）如图（1），四边形 OBCD 是矩形，O，B，D 三点
的坐标分别是 (0，0)，(b，0)，(0，d). 求点 C 的坐标.
解：（1）∵四边形 OBCD 是矩形，
∴OD = BC，OB = DC，
且 CD ⊥ OD，CB ⊥ OB.
∵D(0，d)，B(b，0)，
∴C(b，d) .
【选自教材第80页 习题21.3 第12题】
（2）如图（2），四边形 ABCD 是菱形，C，D 两点的坐标
分别是 (c，0)，(0，d)，点 A，B 在坐标轴上.
求 A，B 两点的坐标.
（2）∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AO = CO，BO = DO .
∵C (c，0)，∴A (－c，0).
∵D (0，d)，∴B (0，－d).
【选自教材第80页 习题21.3 第12题】
（3）如图（3），四边形 OBCD 是正方形，O，D 两点的
坐标分别是 (0，0)，(0，d). 求 B，C 两点的坐标.
（3）∵四边形 OBCD 为正方形，
∴OD = CD = CB = OB，
且 CB ⊥ OB，CD ⊥ OD.
又D (0，d)，
∴B (d，0)，C (d，d).
【选自教材第80页 习题21.3 第12题】
13. 如图，将等腰三角形纸片 ABC 沿底边 BC 上的高 AD 剪成
两个三角形. 用这两个三角形你能拼成多少种平行四边形？
试一试，分别求出它们的对角线的长.
解：能拼成三种平行四边形.
（1）如图①的矩形，其对角线长均为 m.
（2）如图②的平行四边形.
其两条对角线长分别为 n， .
（3）如图③的平行四边形，
其两条对角线长分别为 h， .
【选自教材第80页 习题21.3 第13题】
14. 如图，矩形 ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E，
F，G，H. 试判断四边形 EFGH 的形状，并证明你的结论.
【选自教材第81页 习题21.3 第14题】
解：四边形 EFGH 是正方形.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD =∠ABC =∠CDA = ∠DCB = 90°.
∵AF，BH，CH，DF 分别是四个内角的平分线，
∴∠BAF = ∠DAF = ∠ADF = ∠ABE = ∠CBH = ∠BCH = 45°.
∴AE = BE，∠HEF = ∠AEB = 180°－45°－45°= 90°，
∠F = ∠H = 180°－45°－45°= 90°.
∴四边形 EFGH 是矩形.
易证△ADF≌△BCH（ASA）. ∴AF = BH.
∴AF-AE = BH－BE，即 EF = EH .
∴矩形 EFGH 是正方形.
15. 如图，一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的笔直
小路，使这两条小路将草地分成面积相等的四部分，
你有多少种方法？与同学交流一下.
有多种方法，两条小路均经过正方形对角线的交点且两条小路互相垂直即可.
【选自教材第81页 习题21.3 第15题】
拓广探索
16. 如图，四边形 ABCD 是正方形. G 是边 BC 上任意一点，
DE ⊥ AG，垂足为 E；BF∥DE，交 AG 于点 F.
求证：AF－BF = EF.
分析：由图易知AF－AE = EF，所以只需证明 BF = AE 即可.通过证明 BF，AE 各自所在的△ABF 与△DAE 全等可得到 BF = AE.
【选自教材第81页 习题21.3 第16题】
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB = AD，∠BAD = 90°.
∴∠BAF + ∠DAE = 90°.
∵DE ⊥ AG，∴∠DEA = ∠DEF = 90°.
∵BF∥DE，∴∠AFB = ∠DEF = 90°= ∠DEA.
∴∠ABF + ∠BAF = 90°. ∴∠ABF = ∠DAE.
∴△ABF≌△DAE（AAS）. ∴AE = BF.
∴AF－BF = AF－AE = EF.
17. 如图，在△ABC 中，BD，CE 分别是边 AC，AB 上的中线，BD 与
CE 相交于点 O. BO 与 OD 的长度有什么关系？BC 边上的中线是否
一定过点 O？为什么？（提示：分别作 BO，CO 的中点 M，N，
连接 ED，EM，MN，ND.）
解：（1）BO = 2OD.
（2）BC 边上的中线一定过点 O.
【选自教材第81页 习题21.3 第17题】
证明：（1）∵E，D 分别是 AB，AC 的中点，
∴ED 是△ABC 的中位线，∴ED∥BC，且 ED = BC.
∵M，N 分别是 BO，CO 的中点，
∴MN 是△OBC 的中位线，OM = BM = BO.
∴MN∥BC，且 MN = BC . ∴ED MN.
∴四边形 EMND 是平行四边形. ∴OM = OD.
又OM = BO，∴BO = 2OD.
（2）作三角形 BC 边上的中线，与 BD 相交于点 O′.
同（1）中过程可证 BO′ = 2O′D .
∴点 O 与点 O′ 重合，即 BC 边上的中线一定过点 O.
18. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B = 90°，AD = 24 cm，
BC = 26 cm. 点 P 从点 A 出发，以 1 cm/s 的速度向点 D 运动；
同时点 Q 从点 C 出发，以 3 cm/s 的速度向点 B 运动. 规定其中
一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. 从运动开始，
需经过多长时间，才能使 PQ = CD？为什么？
分析：由题意可知，需分两种情况讨论：
①四边形 PQCD 为平行四边形；
②四边形 PQCD 为等腰梯形.
【选自教材第81页 习题21.3 第14题】
解：经过 6 s或7 s，才能使 PQ = CD.
理由：设经过 t s 使 PQ = CD，则 DP = (24－t) cm，QC = 3t cm，
分以下两种情况讨论：
①四边形 PQCD 为平行四边形，由平行四边形的性质可得 DP = QC，即 24－t = 3t，解得 t = 6；
②四边形 PQCD 是等腰梯形，则此时下底 QC 比上底 PD 长
2×(26－24) = 4（cm），
即 3t－(24－t) = 4，解得 t = 7.
综上所述，经过 6 s 或 7 s，才能使 PQ = CD.
任意
四边形
平行
四边形
正方形
矩形
菱形
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角且一组邻边相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
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1．下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形是正方形的是(　　)
B
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2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列三个结论：①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是矩形；③当AC＝BD，AC⊥BD时，它是正方形．其中结论正确的有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
C
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3．如图，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD，AC应满足的条件是____________________．
AC＝BD且AC⊥BD
0.5
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5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从点O出发在线段AC上以1 cm/s的速度反向运动(点E，F分别到达A，C两点时停止运动)，设运动时间为t s，连接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为6 cm的等边三角形，当t＝________时，
四边形DEBF为正方形．
3
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【点拨】由题意得OE＝OF＝t cm，∴EF＝2t cm.∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OB＝OD，AC⊥BD.又∵OE＝OF，∴四边形DEBF是菱形．∴当EF＝BD时，四边形DEBF是正方形．∵△ABD是边长为6 cm的等边三角形，∴BD＝6 cm.由EF＝BD得2t＝6，解得t＝3，∴当t＝3时，四边形DEBF是正方形．
6．[2025商丘期中]如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交边BC于点E，过点E作EF∥DC交边AD于点F，连接BD．
(1)求证：四边形EFDC是正方形；
【证明】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°.
∵EF∥DC，∴四边形EFDC为平行四边形．
∵∠C＝90°，∴四边形EFDC为矩形．
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE.
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC.∴∠CDE＝∠DEC.
∴CD＝CE. ∴四边形EFDC是正方形．
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