数学活动 黄金矩形和剪拼正方形-课件(共26张PPT)-人教版（新教材）数学八年级下册

(共26张PPT)
人教版（新教材）数学八年级下册
第二十一章 四边形
数学活动 黄金矩形和剪拼正方形
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
活动1 黄金矩形
宽与长的比是 (约为 0.618) 的矩形叫作黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界上有些著名的建筑、它们中有的建筑立面的矩形轮廓就非常接近黄金矩形。
巴特农神庙
巴特农神庙　
21.3.3.2 正方形的判定 教学课件教学过程分页内容
第1页：复习导入（3分钟）
1. 回顾旧知：提问学生“我们已经学习了哪些特殊的平行四边形？它们的定义和判定方法分别是什么？”
2. 梳理关系：引导学生梳理矩形、菱形与平行四边形的从属关系，明确“矩形是有一个角为直角的平行四边形，菱形是有一组邻边相等的平行四边形”。
3. 引出课题：展示正方形实物图（如魔方、地砖），提问“正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，那么如何判定一个图形是正方形呢？今天我们就来探究正方形的判定方法。”
第2页：探究一：从矩形出发判定正方形（8分钟）
1. 提出问题：“矩形具备什么条件时会成为正方形？” 引导学生思考：矩形的四个角都是直角，若要成为正方形，还需满足边的条件。
2. 合作探究：让学生分组讨论，结合矩形和正方形的性质对比，得出猜想“有一组邻边相等的矩形是正方形”。
3. 逻辑证明：引导学生结合矩形的定义和正方形的定义进行证明。已知：四边形ABCD是矩形，AB=AD。求证：四边形ABCD是正方形。证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠A=90°，AB=CD，AD=BC。又∵ AB=AD，∴ AB=BC=CD=AD，且∠A=90°，∴ 四边形ABCD是正方形。
4. 得出结论：板书判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。
第3页：探究二：从菱形出发判定正方形（8分钟）
1. 类比提问：“菱形具备什么条件时会成为正方形？” 引导学生类比探究一的思路，从角的角度思考：菱形的四条边相等，若要成为正方形，还需满足角的条件。
2. 自主探究：让学生独立思考并写出猜想“有一个角是直角的菱形是正方形”。
3. 验证证明：请一名学生上台板演证明过程，其余学生在练习本上完成。已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°。求证：四边形ABCD是正方形。证明：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB=BC=CD=AD，AB∥CD，AD∥BC。又∵ ∠A=90°，∴ ∠B=∠C=∠D=90°，∴ 四边形ABCD是正方形。
4. 得出结论：板书判定定理2：有一个角是直角的菱形是正方形。
第4页：探究三：从平行四边形出发判定正方形（10分钟）
1. 深层提问：“如果从平行四边形出发，需要满足什么条件才能判定为正方形？” 引导学生结合前两个判定定理，思考平行四边形成为正方形的双重条件。
2. 小组讨论：组织学生分组讨论，明确“平行四边形要成为正方形，既要满足矩形的条件，又要满足菱形的条件”，进而得出猜想“有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形”。
3. 推理验证：引导学生结合平行四边形、矩形、菱形的定义进行推理。∵ 平行四边形中，有一组邻边相等则为菱形，有一个角是直角则为矩形，∴ 既是菱形又是矩形的平行四边形是正方形。
4. 拓展思考：提问“还有其他判定正方形的方法吗？” 引导学生得出“对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形”，并简要说明证明思路（对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故为正方形）。
5. 汇总判定方法：梳理并板书正方形的三种核心判定方法，强调“正方形是特殊的矩形和菱形，判定时需抓住‘边相等’和‘角为直角’的双重特征”。
第5页：例题讲解（12分钟）
1. 例题呈现：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F。求证：四边形CEDF是正方形。
2. 分析思路：引导学生思考：① 先判断四边形CEDF的形状（平行四边形）；② 再证明它是矩形（有三个角是直角）；③ 最后证明它有一组邻边相等（角平分线的性质）。
3. 规范证明：板书证明过程：∵ DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB=90°，∴ ∠DEC=∠DFC=∠ACB=90°，∴ 四边形CEDF是矩形。又∵ CD是∠ACB的平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，∴ DE=DF，∴ 矩形CEDF是正方形。
4. 变式提问：“如果将题目中的Rt△ABC改为一般三角形，还能判定四边形CEDF是正方形吗？为什么？” 强化学生对判定条件的理解。
第6页：数学活动——黄金矩形和剪拼正方形（15分钟）
1. 活动引入（3分钟）：展示黄金矩形相关实物图（如巴特农神庙、书籍封面），提问“这些图形为何看起来如此和谐美观？它们蕴含着特殊的比例关系——黄金比例。今天我们就通过剪拼活动，探索黄金矩形与正方形的关联。” 明确活动目标：① 认识黄金矩形的特征；② 掌握将黄金矩形剪拼为正方形的方法；③ 深化对正方形判定的理解。
2. 新知铺垫（2分钟）：讲解黄金矩形定义：宽与长的比值为(√5 - 1)/2（约0.618）的矩形叫做黄金矩形。出示一个标准黄金矩形纸片（标注长为a，宽为b，b/a=(√5 - 1)/2），引导学生观察其特征。
3. 剪拼探究（7分钟）：① 分组操作：每组发放一张黄金矩形纸片、剪刀、直尺、铅笔，要求学生尝试通过剪拼，将黄金矩形转化为一个正方形。② 引导思考：“剪拼的核心是保证面积不变，如何利用黄金矩形的边长关系剪出合适的部分？” 提示学生先以黄金矩形的宽为边长，在矩形内部剪出一个正方形（标注正方形ABCD，剩余部分为矩形AEFD）。③ 验证发现：让学生测量剩余矩形AEFD的长和宽，计算比值，发现其仍是黄金矩形，体会“黄金矩形剪去一个正方形后仍为黄金矩形”的特性。④ 成果展示：邀请2-3组上台展示剪拼过程，说明剪拼依据。
4. 逻辑关联（3分钟）：提问“我们剪拼出的图形为何是正方形？如何用今天所学的正方形判定定理验证？” 引导学生回答：剪去的部分以黄金矩形的宽为边长，故四条边相等，且矩形的角为直角，因此剪出的图形是“有一组邻边相等的矩形”，符合正方形判定定理1，故为正方形。强化“剪拼操作”与“理论判定”的联系，深化对判定定理的应用。
1. 知识梳理：引导学生回顾两部分核心内容：① 正方形的三种核心判定方法：从矩形出发（有一组邻边相等）、从菱形出发（有一个角是直角）、从平行四边形出发（双重条件）；② 黄金矩形特征及剪拼正方形的方法，明确剪拼与正方形判定的关联。
2. 思想总结：强调“类比探究”（类比矩形、菱形的判定思路）和“转化思想”（将正方形的判定转化为矩形或菱形的判定）的应用。
3. 易错提醒：总结常见错误，如“只满足一个条件就判定为正方形”，提醒学生判定时需同时满足矩形和菱形的相关条件。
下面我们折纸做一个黄金矩形：
第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图 1 的方法折出一个正方形 MNAB，然后把纸片展平.
A
B
N
M
图 1
第二步，如图 2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平。
A
B
N
M
D
C
图 2
第三步，折出矩形 CDAB 的对角线 BD，并把 BD 折到图 3 中所示的 ED 处.
A
B
N
M
D
C
E
图 3
B
M
A
N
E
F
第四步，展平纸片，如图 4，按照所得的点 E 折出 EF，矩形 BAEF 就是黄金矩形。
图 4
你能说明为什么矩形 BAEF 是黄金矩形吗？（提示：设 MN 的长为 2. ）
B
M
A
N
E
F
2
D
C
2
1
=
　　矩形MNEF是黄金矩形吗？请说明理由．　　
1
1
2
是黄金矩形
B
M
A
N
E
F
D
C
活动2 剪拼正方形
如图 5，有两个大小不等的正方形纸片，你能通过剪拼，把它们拼接成一个大正方形吗？试试看！
图 5
图 6 给出了一种方法，请你说出这种方法剪拼的过程，你还有其他方法吗？
图 6
事实上，图 6 就是刘徽证明勾股定理的“青朱出入图”（图 7），利用了将图形分割后再拼接，面积不变的性质，这也是我国古代“出入相补法”的基本思想.请你查阅相关资料，了解出入相补法及其在我国古代数学研究中的作用.
图 7
朱出
朱方
青方
青出
朱入
青入
青出
青入
a
b
c
1．如图，已知四边形ABCD是边长为6的菱形，且∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，BC边上，将菱形沿EF折叠，使点B正好落在AD边上的点G处．若EG⊥AC，则FG的长为________．
【点拨】如图，设AC与EG交于点O，FG交AC于点H.∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝AD.∴△ABC，△ACD都是等边三角形. ∴∠CAD＝∠B＝60°.
返回
2．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，P为AD边上的一点(不与点A，D重合)，将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH．
(1)求证：∠APB＝∠BPH．
【证明】∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC.∴∠APB＝∠PBC.
由折叠的性质，得∠EPH＝∠EBC，PE＝BE，
∴∠EBP＝∠EPB.
∴∠EBC－∠EBP＝∠EPH－∠EPB，
即∠PBC＝∠BPH. ∴∠APB＝∠BPH.
(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？请证明你的结论．
【解】△PDH的周长不发生变化．证明如下：
过点B作BQ⊥PH，垂足为Q，
∴∠BQP＝∠BQH＝90°.
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝BC.
∵BP＝BP，∠A＝∠BQP，由(1)知∠APB＝∠BPH，
∴△ABP≌△QBP.∴AP＝QP，AB＝QB.
又∵AB＝BC，∴BC＝BQ.
又∵BH＝BH，∴Rt△BCH≌Rt△BQH.∴CH＝QH.
∴△PDH的周长为PD＋DH＋PH＝PD＋DH＋AP＋HC＝AD＋CD＝8.
故△PDH的周长不发生变化．
返回
3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将△AEF折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与点B，D重合)，折痕为EF．若DG＝2，BG＝6，求AF的长．
返回
4．[2025深圳月考]把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF．
(1)连接BE，求证：四边形BFDE是菱形；
【证明】如图，由折叠可知，EF垂直并平分BD，设BD
与EF交于点O，则BF＝DF，OB＝OD.
∵四边形ABCD是矩形，∴DE∥BF.
∴∠EDO＝∠FBO.
又∵∠EOD＝∠FOB，∴△DOE≌△BOF(ASA)．
∴DE＝BF. ∴四边形BFDE是平行四边形．
又∵BF＝DF，∴四边形BFDE是菱形．
返回
(2)若AB＝8 cm，BC＝16 cm，求线段DF的长．
【解】设DF＝x cm，则BF＝x cm，则CF＝(16－x) cm.
在Rt△DCF中，由勾股定理得x2＝(16－x)2＋82，
解得x＝10，∴DF＝10 cm.
谢谢观看！