(共42张PPT)
第1课时 集合
第一单元 集合与常用逻辑用语
教材要点梳理
1.元素与集合
(1)集合与元素的关系：①属于，记为______；②不属于，记为______．
(2)集合的表示方法：列举法、___________和___________．
(3)常用数集及其记法
(4)集合中元素的特性：___________、___________、____________．
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 ______ ___________ ______ _____ ______
∈
描述法
图示法
N
N*或N＋
Z
Q
R
确定性
互异性
无序性
教材要点梳理
2.集合间的基本关系
文字语言 记法
基本
关系 子集 集合A中_________________都是集合B中的元素 A B或_________
真子集 集合A是集合B的子集，但集合B中________有一个元素不属于A A______B或B A
相等 集合A，B中的元素完全________ _________
空集 ________任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
任意一个元素
B A
至少
相同
A＝B
不含
教材要点梳理
3.集合的基本运算
运算 表示
文字语言 符号语言 图形语言 记法
交集 由所有属于集合A______属于集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，
______x∈B} __________
并集 由所有属于集合A______属于集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，
______x∈B} __________
补集 全集U中______属于集合A的所有元素组成的集合 {x|x∈U，
且x______A} UA
且
且
A∩B
或
或
A∪B
不
教材要点梳理
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
教材要点梳理
[常用结论]
1．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
2．A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
3． U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
教材要点梳理
直击概念 挖掘教材
知本探源
1．判断下列结论是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}．( )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )
(3)对于任意两个集合A，B，(A∩B) (A∪B)恒成立．( )
(4)已知集合A＝{x|a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3
×
×
√
×
教材要点梳理
教考衔接本栏目结合真题易错点与教材习题综合改编
2．设集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2_____________________．
3．设a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{－1，－b}，若P＝Q，则a－b＝_____．
4．已知集合A＝{x|log2x<1}，集合B＝{y|y＝ }，则A∩B＝_______________．
{x|20
{x|0教材要点梳理
5．已知集合A＝{0}，B＝{－1，0，1}，若A C B，则符合条件的不同集合C的个数为_____．
6．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝_____．
【解析】 因为A∪B＝A，所以B A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即a＝1时，A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当a＋2＝a2时，a＝－1(舍去)或a＝2，此时A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，符合题意．综上，实数a＝2.
4
2
教材要点梳理
7．已知集合A＝{x|0【解析】 因为B A，所以利用数轴进行分析(如图)，可知a≥2.
{a|a≥2}
教材要点梳理
8．设全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝______________， U(A∩B)＝_______________．
【解析】 因为A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}＝{x|x≥2}，
所以A∪B＝{x|x≥－1}，A∩B＝{x|2≤x<3}， U(A∩B)＝{x|x<2或x≥3}．
{x|x≥－1}
{x|x<2或x≥3}
课标要点一 集合的含义与表示
例1(1)2025·宜昌模拟已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤ ，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．4 B．5
C．8 D．9
B
(2)已知集合A＝ ， B＝{x|x＝ab，a，b∈A}，则集合B的真子集个数是( )
A．3 B．4
C．7 D．8
C
课标要点一 集合的含义与表示
课标要点一 集合的含义与表示
[题后感悟]
研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是数集还是点集还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握集合的含义．
课标要点一 集合的含义与表示
变式题(1)2025·苏州模拟若集合M＝ ，则( )
(2)已知集合A＝ ，其中a∈R，我们把集合{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}记作A*B，若集合A*B中的最大元素是2a＋1，则a的取值范围是______________．
{a|a>0}
B
课标要点一 集合的含义与表示
课标要点一 集合的含义与表示
课标要点二 集合间的基本关系
B
[0，＋∞)
课标要点二 集合间的基本关系
课标要点二 集合间的基本关系
课标要点二 集合间的基本关系
[题后感悟]
1．若B A，应分B＝ 和B≠ 两种情况讨论．
2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围．注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论．求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解．
课标要点二 集合间的基本关系
(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1D
254
{m|m≤－2或－1≤m≤2}
课标要点二 集合间的基本关系
课标要点二 集合间的基本关系
课标要点三 集合的基本运算
考向1 集合的交、并、补运算
A
BD
课标要点三 集合的基本运算
由N M可得M∪( RN)＝R，故B正确；
由N M可得 RN RM，故C错误，D正确．故选BD.
课标要点三 集合的基本运算
[题后感悟]
1．进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算．
2．对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
课标要点三 集合的基本运算
考向2 利用集合运算求参数的取值(范围)
例4(1)已知集合A＝{x|－1A．{a|a>2}
B．{a|a≥2}
C．{a|a＝1，或a≥2}
D．{a|a≥1}
C
课标要点三 集合的基本运算
(2)[2025·长沙模拟]设集合A＝{x|xa}，若A∩( RB)＝A，则实数a的取值范围为( )
A．[0，1]
B．[0，1)
C．(0，1)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
A
课标要点三 集合的基本运算
课标要点三 集合的基本运算
[题后感悟]
集合运算问题中求参的步骤
课标要点三 集合的基本运算
考向3 集合创新问题与集合语言的运用
C
课标要点三 集合的基本运算
(2)[多选题]2025·厦门模拟群的概念是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代数运算，即对所有的a，b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：① a，b，c∈G，有(a·b)·c＝a·(b·c)；② e∈G，使得 a∈G，有e·a＝a·e＝a；③ a∈G， b∈G，使a·b＝b·a＝e，则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有( )
A. G＝{－1，0，1}关于数的乘法构成群
CD
课标要点三 集合的基本运算
C．实数集关于数的加法构成群
D．G＝{m＋ n|m，n∈Z}关于数的加法构成群
课标要点三 集合的基本运算
课标要点三 集合的基本运算
[题后感悟]
解决集合新定义问题常用的方法步骤
课标要点三 集合的基本运算
[融会贯通]
1．设集合A＝{0，2，4}，B＝{x|x2－mx＋n＝0}，若A∪B＝{0，1，2，3，4}，则m＋n的值是( )
A．1 B．3
C．5 D．7
D
课标要点三 集合的基本运算
2．已知集合A＝{x|x≥－2}，B＝{x|－2≤x≤1}，则下列关系正确的是( )
A．A＝B B．A B
C．B A D．A∩B＝
【解析】 因为集合A＝{x|x≥－2}，B＝{x|－2≤x≤1}，所以根据子集的定义可知B A.
C
课标要点三 集合的基本运算
3．已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|xA．(－∞，1] B．(－∞，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
【解析】 因为集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|xB
课标要点三 集合的基本运算
4．[多选题]2025·济南模拟设A为非空实数集，若对任意x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的为( )
A．集合A＝{－2，－1，0，1，2}为封闭集
B．集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集
C．封闭集一定是无限集
D．若A为封闭集，则一定有0∈A
BD
课标要点三 集合的基本运算
【解析】 对于A，在集合A＝{－2，－1，0，1，2}中，－2－2＝－4不在集合A中，
∴集合A不是封闭集，故A错误；
对于B，集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}，
设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，
∴x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A，
∴集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集，故B正确；
课标要点三 集合的基本运算
对于C，封闭集不一定是无限集，如{0}为封闭集，故C错误；
对于D，若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A，故D正确．故选BD.(共19张PPT)
第2课时 充分条件与必要条件
第一单元 集合与常用逻辑用语
教材要点梳理
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以______________的陈述句叫做命题．
2．充分条件、必要条件与充要条件
判断真假
若p q，则p是q的________条件，q是p的_______条件
p是q的______________条件 p q且q p
p是q的______________条件 p q且q p
p是q的________条件 p q
p是q的____________________条件 p q且q p
充分
必要
充分不必要
必要不充分
充要
既不充分也不必要
教材要点梳理
[常用结论]
充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若p是q的充分条件，则A B.
(2)若p是q的充分不必要条件，则A B.
(3)若p是q的必要不充分条件，则B A.
(4)若p是q的充要条件，则A＝B.
教材要点梳理
直击概念 挖掘教材
知本探源
1．判断下列结论是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．( )
(2)“两个三角形的三边对应相等”是“两个三角形相似”的必要条件．( )
(3)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的充分条件．( )
(4)“ac2＝bc2”是“a＝b”的充要条件．( )
√
×
×
×
教材要点梳理
(5)已知集合A，B，“A∪B＝A∩B”的充要条件是“A＝B”．( )
√
教材要点梳理
教考衔接本栏目结合真题易错点与教材习题综合改编
2．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的_______________条件．
3．写出“四边形是平行四边形”的一个充分条件：
__________________________________________．
4．“a∈P∪Q”是“a∈P”的______________条件．
5．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a≤b≤c，那么“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的________条件．
必要不充分
四边形的两组对边分别平行(答案不唯一)
必要不充分
充要
教材要点梳理
6．已知a，b，c∈R，则“a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac”是“a＝b＝c”的
________条件．
充要
课标要点一 充分、必要条件的判断
例1(1)[2025·苏州模拟]“a>b>0”是“ >1”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
B
课标要点一 充分、必要条件的判断
(2)[2025·葫芦岛模拟]已知向量n为平面α的一个法向量，向量m为直线l的一个方向向量，则“m∥n”是“l⊥α”的( )
A. 充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C
课标要点一 充分、必要条件的判断
[题后感悟]
充分、必要条件的判断方法
利用定义判断 直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么，结论是什么
从集合的角度判断 利用集合中的包含思想判断，即可解决充分性、必要性的问题
课标要点一 充分、必要条件的判断
变式题(1)[2025·富阳中学模拟]已知α，β是两个不同的平面，直线l α，且α⊥β，那么“l∥α”是“l⊥β”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)设a，b为实数，则“a>b>0”的一个充分不必要条件是( )
B
A
课标要点一 充分、必要条件的判断
课标要点二 充分、必要条件的应用
例2 (1)若“ ≥1”是“(x－a)2<1”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，3] B．[2，3]
C．(2，3] D．(2，3)
C
A
课标要点二 充分、必要条件的应用
(3)关于x的方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的实数根的充要条件是( )
A．a>2或a<－2 B．a≥2或a≤－2
C．a<1 D．a>2
A
课标要点二 充分、必要条件的应用
课标要点二 充分、必要条件的应用
[题后感悟]
利用充分、必要条件求参数值(取值范围)的两个关注点
(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．
课标要点二 充分、必要条件的应用
(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为____________．
(3)2025·合肥模拟若集合A＝{x|x>2}，B＝{x|bx>1}，其中b为实数．
①若A是B的充要条件，则b＝_______．
C
[0，3]
课标要点二 充分、必要条件的应用
②若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是____________．
课标要点二 充分、必要条件的应用(共24张PPT)
第3课时 全称量词与存在量词
第一单元 集合与常用逻辑用语
教材要点梳理
1．全称量词和存在量词
2.全称量词命题和存在量词命题及其否定
量词名称 常见量词 表示符号
全称量词 所有的、一切、任意一个、全部、每一个等 ______
存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 _____
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 _______________ x∈M，p(x)
否定 x∈M，___________ _________________
x∈M，p(x)
p(x)
x∈M， p(x)
教材要点梳理
直击概念 挖掘教材
知本探源
1．判断下列结论是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)“三角形的内角和为180°”是存在量词命题．( )
(2)命题“ x∈R， ”是真命题．( )
(3)“ x>0，x2>0”的否定是“ x≤0，x2≤0”．( )
(4)“ x∈M，p(x)”与“ x∈M， p(x)”的真假性相反．( )
×
×
×
√
教材要点梳理
教考衔接本栏目结合真题易错点与教材习题综合改编
2．“平面四边形的内角和是360°”是________量词命题．
3．“至少有一个实数有算术平方根”是________量词命题．
4．命题“有一个偶数是素数”的否定是___________________________．
5．命题“ x∈R，ex－1≥x”的否定是____________________．
6．若命题“ x∈R，x2＋2ax＋a＋2≠0”为假命题，则a的取值范围为__________________________．
全称
存在
任意一个偶数都不是素数
x∈R，ex－1(－∞，－1]∪[2，＋∞)
教材要点梳理
解析】 原命题为假命题，则该命题的否定： x∈R，x2＋2ax＋a＋2＝0为真命题，∴Δ＝4a2－4(a＋2)≥0，解得a≤－1或a≥2，即a的取值范围为(－∞，－1]∪[2，＋∞).
7．已知命题p： x∈R，x2－a≥0；命题q： x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为_______________．
【解析】 由命题p为真，得a≤0；由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1.所以a≤－2.
(－∞，－2]
课标要点一 含量词命题真假的判断
例1(1)下列命题是全称量词命题，且是真命题的是( )
A．所有的素数都是奇数
B． x∈R， ＋1≥1
C．存在一个实数x，使得2x2＋2x＋3＝0
D．有些平行四边形是菱形
B
课标要点一 含量词命题真假的判断
(2)[多选题]下列命题是真命题的是( )
A． a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数
B． x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋ 的值恒为正数
C． x∈R，2xAC
课标要点一 含量词命题真假的判断
(3)[多选题]下列命题是真命题的是( )
A． x∈R，－x2－1<0
B． n∈Z， m∈Z，nm＝m
C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径
ABC
课标要点一 含量词命题真假的判断
课标要点一 含量词命题真假的判断
课标要点一 含量词命题真假的判断
[题后感悟]
判断全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判断存在量词命题是真命题，只要找到一个使其成立的值即可．当一个命题的真假不易判断时，可以先判断其否定的真假．
课标要点一 含量词命题真假的判断
变式题(1)[多选题]下列命题中的真命题是( )
A． x∈R，2x-1>0
B． x∈N*，(x－1)2>0
C． x∈R，lg x<1
D． x∈R，tan x＝2
ACD
课标要点一 含量词命题真假的判断
(2)[多选题][2025·岳阳模拟]下列命题中为真命题的是( )
C． x∈R，ln (x－1)2≥0
D． x∈R，ln x≥x－1
AD
课标要点一 含量词命题真假的判断
课标要点二 全称量词命题的否定和存在量词命题的否定
B
B
课标要点二 全称量词命题的否定和存在量词命题的否定
[题后感悟]
全称(存在)量词命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全称(存在)量词命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称量词)，并把结论否定，没有量词的要结合命题的含义加上量词．而一般命题的否定则是直接否定结论即可．
课标要点三 根据命题的真假求参数的取值范围
(2)命题“ x∈[1，2]，x2－a≤0”是真命题的一个必要不充分条件是( )
A．a>4 B．a≥4
C．a<1 D．a≥1
D
D
课标要点三 根据命题的真假求参数的取值范围
B
课标要点三 根据命题的真假求参数的取值范围
课标要点三 根据命题的真假求参数的取值范围
课标要点三 根据命题的真假求参数的取值范围
[题后感悟]
根据命题的真假求参数取值范围的解题策略
由命题真假求参数的取值范围，一是直接由命题的真假求解；二是利用等价命题求解．
课标要点三 根据命题的真假求参数的取值范围
变式题(1)[2025·宁波模拟]若“ x∈ ，使得2x2－λx＋2＜0成立”是真命题，则实数λ的取值范围为( )
A．[4，5] B．[5，＋∞)
C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)
(2)若命题“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是______________________．
(3)已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1，4]，有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是____________．
(－∞，－1)∪(3，＋∞)
(－∞，0)
D
课标要点三 根据命题的真假求参数的取值范围
课标要点三 根据命题的真假求参数的取值范围
[1，4]时，g(x2)max＝g(4)＝2＋m，则f(x1)min>g(x2)max，即2>2＋m，解得m<0，故实数m的取值范围是(－∞，0).
