(共29张PPT)
第4课时 等式性质与不等式性质
第二单元 一元二次函数、方程和不等式
教材要点梳理
1．两个实数比较大小的方法
＞
=
＜
＞
=
＜
教材要点梳理
2．等式的性质
(1)如果a＝b，那么b＝a.
(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c.
(4)如果a＝b，那么ac＝bc.
(5)如果a＝b，c≠0，那么
教材要点梳理
3．不等式的性质
(1)对称性：a＞b b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c a＞c.
(3)同向可加性：a＞b a＋c_____b＋c；a＞b，c＞d a＋c_____b＋d.
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac_____bc；a＞b，c＜0 ac＜bc；
a＞b＞0，c＞d＞0 ac_____bd.
(5)可乘方性：a＞b＞0 an_____bn(n∈N，n≥2).
＞
＞
＞
＞
＞
教材要点梳理
直击概念 挖掘教材
知本探源
1．判断下列结论是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)若 ，则b
(2)ac2＞bc2 a＞b.( )
(3)“a＝b”是“ac＝bc”成立的充要条件．( )
(4)0×
×
×
√
教材要点梳理
教考衔接本栏目结合真题易错点与教材习题综合改编
2．给出命题：①若ac2＞bc2，则a＞b；②若a＞b＞0，则a2＞b2；③若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2；④若a＜b＜0，则 .其中真命题是
_____________．(填序号)
【解析】 ③中，若a＝－2，b＝－1，则a2＞ab＞b2，故③不是真命题．
3．已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，则a－b的取值范围是_____________．
4．若1①②④
(－6，5)
教材要点梳理
5．已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，则M，N的大小关系是__________．
【解析】 ∵M－N＝(x2－3x)－(－3x2＋x－3)＝4x2－4x＋3＝(2x－1)2＋2>0，∴M>N.
6．给出下列四个条件：①ac2>bc2；② ；③a2>b2；④2 024－a<2 024－b.其中可以得到a>b的条件的序号为_________．
M>N
①④
教材要点梳理
7．若x，y满足 ，则x－y的取值范围是_____________．
课标要点一 数(式)的大小比较
例1 (1)[2025·九江模拟]已知a＝ ，则( )
A．aC．b(2)若a>b>1 ，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系( )
A．为P>Q B．为P＝Q
C．为PA
C
课标要点一 数(式)的大小比较
课标要点一 数(式)的大小比较
课标要点一 数(式)的大小比较
[题后感悟]
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差．②变形．③定号．④得出结论．
(2)作商法：①作商．②变形．③判断商与1的大小关系．④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
课标要点一 数(式)的大小比较
变式题(1)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系( )
A．为M>N B．为M＝N
C．为M(2)已知M＝ ，则M，N的大小关系为_________．
【解析】 (1)因为M－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2，
又a≠b，所以(a－b)2>0，即M>N.
A
M>N
课标要点一 数(式)的大小比较
课标要点二 不等式的性质
例2 (1)已知实数a，b，c，d满足：a>b>0>c>d，则下列不等式一定正确的是( )
A．a＋d>b＋c B．ad>bc
C．a＋c>b＋d D．ac>bd
(2)[多选题]2025·徐州模拟若a>0>b>－a，cA．ad>bcq B．＋<0
C．a－c>b－d D．a(d－c)>b(d－c)
C
BCD
课标要点二 不等式的性质
课标要点二 不等式的性质
因为c－d.
因为a>b，所以a＋(－c)>b＋(－d)，
即a－c>b－d，故C正确；
因为a>0>b，d－c>0，所以a(d－c)>b·(d－c)，故D正确．故选BCD.
课标要点二 不等式的性质
[题后感悟]
解决比较大小类题目常用的三种方法
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．(2)利用特殊值法排除错误答案．(3)利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．
课标要点二 不等式的性质
变式题(1)16世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是( )
C
课标要点二 不等式的性质
(2)[多选题]若a＞b＞0＞c，则下列结论正确的是( )
ABD
课标要点二 不等式的性质
课标要点三 不等式性质的应用
考向1 利用不等式的性质证明不等式
例3证明下列不等式：
(1)已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac(2)若a＞b＞0，c＜d＜0，|b|＞|c|.求证：
证明： (1)因为a>b，c>0，
所以ac>bc，所以－ac<－bc，
又因为e>f，即f课标要点三 不等式性质的应用
课标要点三 不等式性质的应用
[题后感悟]
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
课标要点三 不等式性质的应用
考向2 利用不等式的性质求代数式的取值范围
(2)已知－1≤x＋y≤1，1≤x－y≤3，则3x－2y的取值范围是( )
A．2≤3x－2y≤8 B．3≤3x－2y≤8
C．2≤3x－2y≤7 D．5≤3x－2y≤10
B
A
课标要点三 不等式性质的应用
课标要点三 不等式性质的应用
课标要点三 不等式性质的应用
[题后感悟]
利用不等式的性质求代数式取值范围的方法
由a课标要点三 不等式性质的应用
过“一次性”不等关系的运算求解范围．(共33张PPT)
第6课时 二次函数及其性质
第二单元 一元二次函数、方程和不等式
教材要点梳理
1．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝______________________．
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为____________．
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
ax2＋bx＋c(a≠0)
(m，n)
教材要点梳理
2.二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域 ______
值域
对称轴 直线x＝___________
顶点坐标
________________________
奇偶性 当b＝0时，是偶函数；当b≠0时，是非奇非偶函数
单调性 在 上_______________；
在 上_______________ 在 上_____________；
在 上_______________
单调递减
单调递增
单调递增
单调递减
R
教材要点梳理
[常用结论]
1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．
教材要点梳理
直击概念 挖掘教材
知本探源
1．判断下列结论是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a＜0且ax2＋bx＋c＝0的Δ＜0.( )
(2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．( )
√
×
教材要点梳理
(3)若二次函数的图象与x轴没有交点，则ax2＋bx＋c＝0的Δ＜0.( )
(4)二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞).( )
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)(a≠0)有可能是奇函数．( )
√
×
×
教材要点梳理
教考衔接本栏目结合真题易错点与教材习题综合改编
2．函数y＝x2－2x＋4的最小值为______．
3．函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴交点的横坐标为－ ，则a＋b的值是_________．
3
－14
教材要点梳理
4．已知函数f(x)＝－x2－4x＋5，则函数y＝f(x)的单调递增区间为
___________________．
【解析】 f(x)＝－x2－4x＋5＝－(x＋2)2＋9，故函数f(x)的对称轴为直线x＝－2.
又函数f(x)的图象开口向下，故函数的单调递增区间为(－∞，－2].
(－∞，－2]
教材要点梳理
5．已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为f(x)＝___________．
【解析】 由题意，可设f(x)＝a(x－2)2－4(a＞0)，
又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，
所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x.
x2－4x
教材要点梳理
6．函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为_____________．
【解析】 函数f(x)＝－2x2＋4x的对称轴为直线x＝1，
则f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
∴f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，
即f(x)的值域为[－6，2].
[－6，2]
教材要点梳理
7．若函数y＝x2－2ax＋18的图象在x轴上方，则实数a的取值范围为
___________________．
课标要点一 求二次函数解析式
例1已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．
课标要点一 求二次函数解析式
课标要点一 求二次函数解析式
[题后感悟]
求二次函数解析式的方法
课标要点一 求二次函数解析式
变式题(1)已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象经过点(1，13)，且函数y＝f 是偶函数，则函数f(x)＝________________．
(2)已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于
2，则二次函数的解析式为_________________________________．
x2＋x＋11
课标要点一 求二次函数解析式
课标要点二 二次函数的图象
例2 (1)[多选题]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在点(0，2)，(0，3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是( )
A. 当x>3时，y<0 B．4a＋2b＋c＝0
C．－1≤a≤－ D．3a＋b>0
(2)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
AC
A. B. C. D.
D
课标要点二 二次函数的图象
课标要点二 二次函数的图象
(2)因为abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，那么可知，
在A中，a<0，b<0，c<0，不符合题意；
在B中，a<0，b>0，c>0，不符合题意；
在C中，a>0，b>0，c<0，不符合题意．
在D中，a>0，b<0，c<0，符合题意．
课标要点二 二次函数的图象
[题后感悟]
研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．
课标要点二 二次函数的图象
变式题[多选题][2025·瑞安中学模拟]下图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则( )
A．b2＞4ac B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0 D．5a＜b
AD
课标要点三 二次函数的单调性与最值
例3已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.
(1)若f(x)在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围．
(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
课标要点三 二次函数的单调性与最值
课标要点三 二次函数的单调性与最值
课标要点三 二次函数的单调性与最值
[题后感悟]
1．对于二次函数的单调性，关键是看图象的开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．
2．二次函数最值问题的类型及求解策略
(1)类型：①对称轴、区间都是给定的．②对称轴动，区间固定．③对称轴定，区间变动．
课标要点三 二次函数的单调性与最值
(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和
中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可求解．
课标要点三 二次函数的单调性与最值
变式题[2025·衡水模拟]已知二次函数f(x)满足f(x)>3－6x的解集为(1，3)，且f(0)＝0.
(1)求f(x)的解析式．
(2)当x∈ (t∈R)时，若函数f(x)的最大值为－3，求t的值．
解： (1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝0，
f(x)>3－6x的解集为(1，3)，
即ax2＋(b＋6)x－3>0的解集为(1，3)，
课标要点三 二次函数的单调性与最值
课标要点三 二次函数的单调性与最值
课标要点四 二次函数中的恒成立问题
例4(1)已知函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，当x∈[－2，2]时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
(2)已知f(x)＝x2＋2x＋1＋a，若对任意的x∈R，f(f(x))≥0恒成立，求实数a的取值范围．
课标要点四 二次函数中的恒成立问题
课标要点四 二次函数中的恒成立问题
课标要点四 二次函数中的恒成立问题
[题后感悟]
由不等式恒成立求参数取值范围一般有两个解题思路：一是分离参数，二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值，若不分离参数，则一般需要对参数进行分类讨论求解；若分离参数，则① x∈I，a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max； x∈I，a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.② x∈I，使a≥f(x)成立 a≥f(x)min； x∈I，使a≤f(x)成立 a≤f(x)max.(共44张PPT)
第7课时 一元二次方程、不等式
第二单元 一元二次函数、方程和不等式
教材要点梳理
1．一元二次不等式的概念及解法
(1)概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式称为一元二次不等式．
(2)解法：①将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数________零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0).
②计算方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)对应的__________．
③当_________时，求出相应的一元二次方程的根．
大于
判别式
Δ≥0
教材要点梳理
④利用二次函数的图象与x轴的________确定一元二次不等式的解集．
交点
教材要点梳理
2.三个“二次”之间的关系
判别式 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根 有两个相异的
实数根x1，x2(x1x1＝x2＝－ 没有实数根
一元二次不等式
ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集 ________________ _________________ ______
一元二次不等式
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集 ________________ _______ _______
{x|xx2}
R
{x|x1
教材要点梳理
3.可化为一元二次不等式(组)的分式不等式
教材要点梳理
[常用结论]
1．绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集为(－a，a).
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
2．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形．
3．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件可由其对应的函数图象得出．
教材要点梳理
教材要点梳理
直击概念 挖掘教材
知本探源
1．判断下列结论是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则必有a<0.( )
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )
(3) ≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.( )
√
×
×
教材要点梳理
(4)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.( )
×
教材要点梳理
教考衔接本栏目结合真题易错点与教材习题综合改编
2．不等式(x－1)(x－3)>0的解集为__________________．
【解析】 由方程(x－1)·(x－3)＝0，可得方程的两根为x1＝1，x2＝3，结合一元二次不等式的解法，可得不等式(x－1)·(x－3)>0的解集为{x|x<1或x>3}．
3．已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为_____．
【解析】 因为2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，
所以x＝－1为方程2x2＋kx－m＝0的一个根，所以k＋m＝2.
{x|x<1或x>3}
2
教材要点梳理
4．不等式0＜x2－x－2≤4的解集为________________________．
[－2，－1)∪(2，3]
教材要点梳理
5．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1a<0的解集为____________________．
教材要点梳理
6．已知一元二次方程x2＋2ax＋a＋6＝0有两个异号实数根，则实数a的取值范围是_____________．
【解析】 令f(x)＝x2＋2ax＋a＋6，因为方程x2＋2ax＋a＋6＝0有两个异号实数根，所以f(0)＝a＋6<0，
解得a<－6.
a<－6
教材要点梳理
7．不等式mx2＋mx＋1＞0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_____________．
[0，4)
课标要点一 一元二次不等式及其解法
例1(1)已知p：|x－1|≤2，q： ≤0，则p是q的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
C
课标要点一 一元二次不等式及其解法
(2)2025·保定模拟解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R).
课标要点一 一元二次不等式及其解法
课标要点一 一元二次不等式及其解法
[题后感悟]
含有参数的不等式的求解，需要对参数进行分类讨论，讨论有三层：第一，若二次项系数含参数，先讨论二次项系数是否为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式；第二，当二次项系数不为零时，若不易分解因式，则依据判别式符号进行分类讨论；第三，对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
课标要点一 一元二次不等式及其解法
变式题(1)[多选题]已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是( )
A．a>0
B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6}
C．a＋b＋c>0
D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为
ABD
课标要点一 一元二次不等式及其解法
课标要点一 一元二次不等式及其解法
(2)2025·珠海模拟已知函数f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8.
①若不等式f(x)<0的解集为 ，求a的值．
②当a<0时，求关于x的不等式f(x)>0的解集．
课标要点一 一元二次不等式及其解法
课标要点一 一元二次不等式及其解法
课标要点二 一元二次不等式恒成立与能成立问题
考向1 在实数集上的恒成立问题
例2 (1)已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是( )
A．[0，1]
B．(0，1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
A
课标要点二 一元二次不等式恒成立与能成立问题
(2)[多选题]对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，则实数k可以是( )
A．0 B．－24
C．－20 D．－2
ACD
课标要点二 一元二次不等式恒成立与能成立问题
课标要点二 一元二次不等式恒成立与能成立问题
[题后感悟]
课标要点二 一元二次不等式恒成立与能成立问题
考向2 给定区间上的恒成立问题
例3 [2025·杭十四模拟]已知函数f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1，若f(x)≥0对一切x∈ 恒成立，则m的取值范围为______________．
[1，＋∞)
课标要点二 一元二次不等式恒成立与能成立问题
课标要点二 一元二次不等式恒成立与能成立问题
考向3 不等式能成立或有解问题
例4(1)若存在x∈[0，1]，使不等式x2－4x－m≥0成立，则m的最大值为( )
A．0 B．1
C．－3 D．3
A
课标要点二 一元二次不等式恒成立与能成立问题
(2)已知关于x的不等式ax2－2x＋3a<0在(0，2]上有解，则实数a的取值范围是( )
【解析】 (1)由题意得，当x∈[0，1]时，m≤(x2－4x)max.
令f(x)＝x2－4x，x∈[0，1]，
由f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4可知，当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝0，
A
课标要点二 一元二次不等式恒成立与能成立问题
课标要点二 一元二次不等式恒成立与能成立问题
课标要点二 一元二次不等式恒成立与能成立问题
[题后感悟]
1．恒成立问题求参数范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
2．解决不等式能成立问题的策略一般也是转化为函数最值问题，即a>f(x)能成立 a>f(x)min；a≤f(x)能成立 a≤f(x)max.
课标要点二 一元二次不等式恒成立与能成立问题
[融会贯通]
1．[2025·盐城模拟]当x∈R时，不等式x2－2x－1－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－2)
C．(－∞，0] D．(－∞，0)
【解析】 由题意，当x∈R时，不等式x2－2x－1－a≥0恒成立，故Δ＝(－2)2＋4(1＋a)≤0，解得a≤－2，故实数a的取值范围是 .
A
课标要点二 一元二次不等式恒成立与能成立问题
2．设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，则( )
C
课标要点二 一元二次不等式恒成立与能成立问题
课标要点二 一元二次不等式恒成立与能成立问题
3．已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)<5－m恒成立，则
实数m的取值范围为______________．
课标要点二 一元二次不等式恒成立与能成立问题
课标要点二 一元二次不等式恒成立与能成立问题
4．已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为________________________．
(－∞，1)∪(3，＋∞)
课标要点三 一元二次不等式的实际应用
例5[2025·广州模拟]某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在今年利用新技术生产某款智能手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本200万元，每生产x千部手机，需另投入成本P(x)万元，且P(x)＝ 由市场调研知，每部手机售价5 000元，且全年内生产的手机若不超过100千部，则当年能全部销售完．
(1)求出今年的利润y(万元)关于年产量x(千部)(x≤100)的函数关系式(利润＝销售额－成本).
(2)今年年产量x(千部)为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
课标要点三 一元二次不等式的实际应用
课标要点三 一元二次不等式的实际应用
课标要点三 一元二次不等式的实际应用
[题后感悟]
解不等式应用题，一般可按如下四步进行：①阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．②引进数学符号，用不等式表示不等关系．③解不等式．④回答实际问题．(共34张PPT)
第5课时 基本不等式
第二单元 一元二次函数、方程和不等式
教材要点梳理
1．基本不等式
(1)基本不等式成立的条件：______________．
(2)等号成立的条件：当且仅当_________时取等号．
a>0，b>0
a＝b
教材要点梳理
2．几个重要的不等式
2
2ab
教材要点梳理
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为_______，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为____________________________________________．
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
教材要点梳理
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值，是___________(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值，是
_______(简记：和定积最大).
教材要点梳理
直击概念 挖掘教材
知本探源
1．判断下列结论是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”．
×
√
×
√
×
教材要点梳理
教考衔接本栏目结合真题易错点与教材习题综合改编
2．已知x＞0，则2－3x－ 的最大值是____________．
教材要点梳理
3．设x，y∈R，且x＋y＝4，则3x＋3y的最小值为______．
4．若正实数a，b满足a＋4b＝ab，则ab的最小值为______．
18
16
教材要点梳理
5．函数y＝x＋ (x≥0)的最小值为______．
1
教材要点梳理
6．若a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为______．
9
教材要点梳理
7．某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，t∈N*)的关系式为s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为______．
8
课标要点一 利用基本不等式求最值
考向1 代换法
例1 (1)已知a>0，b>0，3a＋ ＋3b的最小值为( )
A．13 B．19
C．21 D．27
D
课标要点一 利用基本不等式求最值
(2)2025·福州模拟已知x>0，y>0，且4x＋2y－xy＝0，则2x＋y的最小值为( )
A．16 B．8＋4
C．12 D．6＋4
A
课标要点一 利用基本不等式求最值
课标要点一 利用基本不等式求最值
[题后感悟]
运用代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).
(2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．
(4)利用基本不等式求解最值．
课标要点一 利用基本不等式求最值
考向2 消元法
例2 (1)已知x>0，y>0，且x＋y＝7，则 的最大值为( )
A．36 B．25
C．16 D．9
(2)已知正实数a，b满足ab－b＋1＝0，则 ＋4b的最小值是______．
B
9
课标要点一 利用基本不等式求最值
课标要点一 利用基本不等式求最值
[题后感悟]
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但应注意保留元的范围．
课标要点一 利用基本不等式求最值
[融会贯通]
1．2025·巴蜀中学模拟已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小值是( )
A．4 B．5
C．7 D．9
C
课标要点一 利用基本不等式求最值
课标要点一 利用基本不等式求最值
2．[多选题]若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是( )
BC
课标要点一 利用基本不等式求最值
课标要点一 利用基本不等式求最值
3．函数y＝ (x＞－1)的最小值为______．
9
课标要点一 利用基本不等式求最值
4．[2025·汕头模拟]已知x>1，则y＝ 的最大值为______．
课标要点二 利用基本不等式求参数的值或范围
例3 (1)已知实数x，y满足x＋y－xy＝0且xy>0, 若不等式4x＋9y－t≥0恒成立，则实数t的最大值为( )
A．9 B．12
C．16 D．25
(2)2025·邯郸模拟若关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，则实数a
的取值范围为________________．
D
课标要点二 利用基本不等式求参数的值或范围
课标要点二 利用基本不等式求参数的值或范围
课标要点二 利用基本不等式求参数的值或范围
[题后感悟]
1．对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值．
2．利用基本不等式确定等号成立的条件，也可得到参数的值或范围．
课标要点二 利用基本不等式求参数的值或范围
变式题已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝xy，若不等式x＋2y≥m2－2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．[－2，4]
B．(－2，4)
C．(－∞，－2]∪[4，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(4，＋∞)
A
课标要点二 利用基本不等式求参数的值或范围
课标要点三 基本不等式的实际应用
课标要点三 基本不等式的实际应用
课标要点三 基本不等式的实际应用
因为300>275，所以当年产量为30千件时，该企业所获年利润最大，最大为300万元．
课标要点三 基本不等式的实际应用
[题后感悟]
基本不等式的实际应用问题的解题技巧
(1)理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题．
(2)注意定义域，验证取得等号的条件是否成立．
(3)注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等．
