杭州学军中学 2025 学年高一(上)数学周末练（12）
班级___________姓名___________
一、单选题
1．计算： sin 20°sin80° + cos 20°sin170° =（ ）
A 1
1 3 3
． B．-2 C． D．2 -2 2
2 ．函数 y = tan 2x
π
- ÷ 的定义域为
è 4
ì
A． íx x kπ
π ,k ü ì 3π ü + Z B．2 í
x x kπ + ,k Z
4
ìx x kπ 3π ,k π 3π üC． í + D． í + , k Z
8 2 8
3．函数 f sin xx = 在 -π,π2 上的大致图象为（ ）x +1
A． B．
C． D．
4．设 f (n) = logn+1(n + 2)(n N+ )，现把满足乘积 f (1) f (2)L f (n) 为整数的 n 叫做“贺数”，则在区间
(1, 2015)内所有“贺数”的个数是
A．9 B．10 C． 29 D．210
π
5．已知函数 f (x) = sin(3wx - )sin(2wx
5π
+ )在区间 (0,π)恰有 6 个零点，若w > 0，则w 的取值范围
4 6
为（ ）
(3 ,13) (13 ,17) (17 ,19] (19 7A． B． C． D． , ]
4 12 12 12 12 12 12 4
5
6 ．已知函数 f (x) = a x + bx (a > b > 0, a 1,b 1)是R 上的偶函数，若 f (a) < f b - 2 ÷ ，则
a 的取值范
è
围是（ ）
A (1,
1
+ ) B (2,+ ) C , 2 ． ． ． ÷ D． (1, 2)
è 2
p p
7 ．已知函数 f x = sin wx + j w > 0, j
p
< f x f f - = 0
è 2 ÷
，若 ÷对任意实数 x 都成立 ÷ ，且函 è 6 è 3
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p数 f x 在区间 ,p ÷上单调，则j 的值为（ ）
è 4
p p p p
A． B． C． D12 ．－6 3 6
8．已知函数 f (x) = x | x |，则下列命题错误的是( )
1 1
A．函数 f (sin x)是奇函数，且在 (- , ) 上是减函数
2 2
B．函数 sin( f (x))
1 1
是奇函数，且在 (- , ) 上是增函数
2 2
C．函数 f (cos x)是偶函数，且在( 0, 1)上是减函数
D．函数 cos( f (x)) 是偶函数，且在 (-1,0) 上是增函数
二、多选题
9．已知函数 f x = 2sin 2x
π
- ÷ ，则下列说法正确的是（4 ）è
f x π A． 的图象关于点 ,08 ÷对称è
B． f x π图象的一条对称轴是 x =
8
C． f x1 f x2 = 4, x x
π
1 2 ，则 x1 - x2 的最小值为 2
x é πD．若 ê ,
11π ù
4 24 ú时，函数
y = f x - a 有两个零点，则实数 a的取值范围是 é 2, 2
10．已知函数 f x ，g x 的定义域均为R ，且 f x - g 1+ x = 2，g x + f 3- x = 4 ，若 g x 为
偶函数， f 3 =1，则（ ）
A． g 2 = 1 B． g 4 = -2
28
C． g x = g 8 + x D． g k = 26
k =1
11．已知函数 f x = sin sinx + cos cosx ，下列关于该函数结论正确的是（ ）
A． f x π的图象关于直线 x = 2 对称
B． f x 的一个周期是 2π
C． f x 的最大值为 2
D． f x 在区间 0,
π
÷上单调递增
è 2
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三、填空题
12．函数 f (x) = loga (3- ax)在区间（2,6）上递增，则实数 a的取值范围是 ．
y213．若 (x + 2)2 + =1，则 x2 + y2 的取值范围为 ．
4
b
14．若 sin2018α–(2–cosβ)1009≥(3–cosβ–cos2α)(1–cosβ+cos2α)，则 sin(α+ )= ．
2
四、解答题
15 A = x x2．已知集合 - 3x + 2 = 0 2 2，非空集合B = x 2ax - 3 a +1 x + 4 = 0 ．
(1)若 AI B = 2 ，求： a的取值集合；
(2)若 x A是 x B的必要条件，求： a的取值集合．
1
16 2．已知a 、 b 为锐角， sina = ， tan b = ．
10 3
(1)求 tan 2a 的值：
(2)求a + 2b 的大小．
17．已知函数 f (x) = sin(2x
π
- ) .
6
g(x) f (π(1)若 = - x)，求函数 g(x)的单调递增区间；
6
(2)当 x [
π
- ,0]时，函数 y = 2af (x) + b 的最大值为 1，最小值为-3，求实数 a,b的值.
4
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18．已知函数 f (x) = 3sin(wx + j) ，其中w > 0,0 < j < π .如图是函数 f (x) 在一个周期内的图象，A 为
1
图象的最高点，B,C 为图象与 x 轴的交点，VABC 为等边三角形，且 f x + 3 ÷ 是偶函数.è
(1)求函数 f (x) 的解析式；
(2) 3解不等式 f (x) ，实数 x 的取值范围；
2
(3)若 f (x) 在[0, m]只有两条对称轴，求 m 的取值范围.
1+ t
19．已知函数 g(x) = a x (a > 1) ，且 f (x) = g(x) + g(x) 是定义在 R 上的奇函数．
（1）求实数 t 的值并判断函数 f (x) 的单调性（不需要证明）；
（2）关于 x 的不等式 f (x2 + bx) + f (4 - x) > 0在 (0, + )上恒成立，求实数 b 的取值范围；
（3）若 h(x) = g(2x) + [g(2x)]-1 - 2mf (x)在 (0, + )上有两个零点 x1, x2 ，求证：m > 2 且 x1 + x2 > loga (2 + 3)．
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1．A
2．D
3．B
4．A
5．C
【详解】函数 f (x) = sin(3wx
π 5π
- )sin(2wx + )，由 f (x) = 0
π 5π
，得 sin(3wx - ) = 0或 sin(2wx + ) = 0 ，
4 6 4 6
f (x) (1+ 4k)π (1+ 6k)π解得 的正零点为 或 ,k N，
12w 12w
f (x) π , 5π , 7π , 9π , 13π , 17π , 19π则函数 从左到右的零点依次为： ，
12w 12w 12w 12w 12w 12w 12w
f (x) 17π 19π 17 19为了使得 在区间 (0,π)恰有 6 个零点，只需 < π ，解得 < w ，
12w 12w 12 12
17 19
所以实数w 的取值范围为 ( , ] .
12 12
故选：C
6．D
【详解】因为 f x 是偶函数，所以 f -x = f x ，
a xbx -1
所以 a- x x x+ b- x = a x + bx ，整理得 a + b a x = 0，è bx ÷
由题意可知 a x + bx > 0，所以 a xbx =1，所以 ab =1，
x
所以 f (x) = a x 1+ ÷ ，
è a
又 a > b > 0，则 a >1，
任取x1， x2 0, + ，且 x1 < x2，
x x x x x x x +x
f (x ) f x a x 1
x
1 é
x
1 2 ù a 1 - a 2x a 1 a 2 -1 a 1 - a 2 a 1 2 -1
所以 11 - 2 = + a ÷
- êa 2 + a ÷
ú = = ，
è ê è ú a
x1 a x2 a x1 +x2
因为 a >1， x1 < x2，则 a x1 - a x2 < 0，
又x1， x2 0, + ，所以 x1 + x2 > 0，
所以 a x1 +x2 >1，所以 a x1 +x2 -1 > 0，
所以 f (x1) - f x2 < 0，
所以 f x 在 0, + 上单调递增，
又因为 f x 是偶函数，所以 f x 在 - ,0 上单调递减，
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因为 f (a) < f
b 5- 2 ÷
，
è
a b 5 1 5所以 < - = - ，又a >1，解得1< a < 2，
2 a 2
故选：D
7．C
p p p p 1 k
【详解】因为 f x f ÷对任意实数 x 都成立，且 f - ÷ = 0，故 - (- ) = ( + )T ,k N ，
è 6 è 3 6 3 4 2
T 2p即 = ，因此w = 2k +1，
1+ 2k
f x p ,p p p 3p T 3p 4又函数 在区间 ÷上单调，故 - = ，即T ，因此0 < w ,w =1，
è 4 4 4 2 2 3
f p 由 - ÷ = 0
pw pw
，可得 sin(- +j) = 0 ，解得j = + k π,k Z
è 3 3 3 1 1
pw pw p
由 f (
p ) = 1，可得 sin( +j) =1 j = - + 2k π + , k Z6 ，解得 ，6 6 2 2 2
p
当w =1时，j = ，满足题意．
3
故选：C．
8．A
【详解】对于 f (x) = x | x |，定义域为 R 关于原点对称，
且 f -x = -x -x = -x x = - f x ，
\ f x 是奇函数，
又 y = sinx是奇函数， y = cosx是偶函数，
\ f sinx 和 sin f x 是奇函数， f cosx 和 cos f x 是偶函数，
2
ìx ，x…0又 f x = x x = í
-x2
，
，x < 0
\ f x 在R 上是增函数，
Q y sinx 1 1= - 在 ， ÷上是增函数， y = cosx在 0，1 上是减函数，
è 2 2
\ f sinx 1 1在 -
， ÷上是增函数， f cosx 在 0，1 上是减函数，故 A 错误，C 正确；
è 2 2
x 1 1当 -
， ÷时， f x
1 1 - ， ，
è 2 2 è 4 4 ÷
Q y = sinx 1 1 在 - ， ÷上单调递增，
è 4 4
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\sin f x 1 1 在 - ， ÷上单调递增，故 B 正确；
è 2 2
当 x -1，0 时， f x -1，0 ，
Q y = cosx 在 -1，0 上单调递增，
\cos f x 在 -1，0 上单调递增，故 D 正确．
故选：A．
9．BC
f x π é π π ù【详解】 - + ÷ = 2sin ê2 -x + ÷ - ú = 2sin
2x π - +
= 2sin 2x π-
4 4 4 4 ÷ 4 ÷
= f x ，
è è è è
故 A 不正确；B 正确；
f x 2sin 2x π= -
4 ÷
的图象如所示，
è
若 f x1 f x2 = 4, x1 x2 ，则 f x1 = f x2 = 2，
由图可知，因为 f x 2sin 2x π= -
π
÷ 的最小正周期为T = ，
è 4 2
所以 x
π
1 - x2 = T =min ，故 C 正确；2
f π π π π ÷ = 2sin 2 × - ÷ = 2sin = 2 ，
è 4 è 4 4 4
f 11π 11π π 2π ÷ = 2sin
2 × -
÷ = 2sin = 3 ，
è 24 è 24 4 3
x é π 11π ù若 ê , ú时，函数 y = f x - a 有两个零点，即 f x = a4 24 ，
即 y = f x 与 y = a 的图象有两个交点，
由图可知， a é 3,2 ，故 D 不正确.
故选：BC.
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10．ACD
【详解】由 f x - g 1+ x = 2，以3 - x 替换 x 得 f 3- x - g 4 - x = 2，
结合 g x + f 3- x = 4 得 g x + g 4 - x = 2 ，
由于 g x 是偶函数，所以 g x + g 4 + x = 2，
则 g x + 4 + g 8 + x = 2，所以 g 8 + x = g x ，C 选项正确.
由 g x + g 4 - x = 2 令 x = 2得 2g 2 = 2, g 2 =1，A 选项正确.
由 g x + f 3- x = 4 令 x = 0得 g 0 + f 3 = g 0 +1 = 4, g 0 = 3，
由 g x + g 4 - x = 2 令 x = 0得 g 0 + g 4 = 3 + g 4 = 2, g 4 = -1，B 选项错误.
由 g x + g 4 - x = 2 令 x =1得 g 1 + g 3 = 2，
所以 g 1 + g 2 + g 3 + g 4 = 2 +1-1 = 2，
由 g x + g 4 + x = 2得 g 1 + g 5 = 2， g 2 + g 6 = 2 ，
g 3 + g 7 = 2， g 4 + g 8 = 2，
所以 g 1 + g 2 + g 3 + g 4 + g 5 + g 6 + g 7 + g 8 = 8，
由于 g x 是周期为8的周期函数，
28
所以 g k = 8 3 + g 1 + g 2 + g 3 + g 4 = 24 + 2 = 26 ，D 选项正确.
k =1
故选：ACD
11．ABD
【详解】对于 A： f π - x = sin é sin π - x ù + cos écos π - x ù = sin sinx + cos -cosx
= sin sinx + cos cosx = f x π，所以 f x 的图象关于直线 x = 2 对称，故 A 正确；
对于 B： f x + 2π = sin ésin x + 2π ù + cos écos x + 2π ù = sin sinx + cos cosx = f x ，
所以 f x 的一个周期是 2π，故 B 正确；
对于 C：-1 sinx 1，所以 y = sin sinx 的最大值为 sin1，当 sinx =1时， y = cos cosx = cos0 =1，
取得最大值，所以 f x 的最大值为 sin1+1，故 C 错误；
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对于 D：y = sinx
π π π
在 0, ÷上单调递增，sin =1 < ，所以 y = sin sinx
π
在 0, ÷上单调递增，y = cosx
è 2 2 2 è 2
0, π 在 ÷上单调递减，且值域为( 0, 1)，
è 2
π π
根据复合函数的单调性易知， y = cos cosx 在 0, ÷上单调递增，所以 f x 在区间 0, ÷上单调递
è 2 è 2
增，故 D 正确．
故选：ABD.
1
12．0 < a
2
13． éê1,
28ù
3 ú
14．±1
【详解】由已知得： sin2018 a + sin4 a (2 - cos b )1009 + (2 - cos b )2
因为左边 2，右边 2，
所以 sin2018 a + sin4 a =(2 - cos b )1009 + (2 - cos b )2 = 2，
ìsina = ±1 ì p a =kp +
所以 ícos 1 ，所以b = í
2
b = 2np
b
所以a + =（k + n)p
p
+ , (k, n Z ) b,所以 sin(a + ) = ±1，故填±1.
2 2 2
1
15 (1) ì ü． í ；
3
(2) 1 .
【详解】（1）化简 x2 - 3x + 2 = 0 得 x - 2 x -1 = 0 ，解得 x = 2或 x =1，所以 A = 1,2 ，
因为 AI B = 2 ，所以 2 B且1 B ，
2
所以8a - 6 a +1 + 4 = 0，即 3a -1 a -1 = 0 a 1，解得 = 或 a =1，
3
当 a =1 2时， 2ax - 3 a2 +1 x + 4 = 0，即 2x2 - 6x + 4 = 0 ，化简得 x2 - 3x + 2 = 0 ，解得 x =1或 x = 2，
即B = 1,2 ，不符合题意，舍去；
a 1= 2当 时， 2ax - 3 a2 +1 x + 4 = 0 2 10，即 x2 - x + 4 = 0，化简得 x23 3 - 5x + 6 = 0，解得 x = 2或3
x = 3，即B = 2,3 ，满足题意.
a 1故
ì ü
í ．
3
（2）若 x A是 x B的必要条件，则B A，
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又B ，由（1）可知 B = 1 或 2 或 1,2 .
①由（1）可知当B = 1,2 时， a =1 .
② B = 1 2a - 3 a2当 时，由 +1 + 4 = 0 1，解得 a = - 或 a =1，由（1）知 a =1不成立；
3
a 1当 = - 2时，方程 2ax - 3 a2 +1 x + 4 = 0，即 x2 +5x - 6 = 0的解为 x = -6或 x =1，B = -6,1 ，此时3
B A，舍去.
B = 2 a 1③当 时，由（1）可得 = 或 a =1，此时 a =1不符合题意，舍去；
3
a 1当 = 时，由（1）可知B = 2,3 ，此时B A，舍去.
3
综上所述：a 1 .
7
16．(1)
24
a + 2b π(2=)
4
π 2
【详解】（1）因为a 0, 2 ÷
， sina = ，
è 10
cosa 1 sin2 a 7 2
sina 1
所以 = - = ，所以 tana = = ，
10 cosa 7
tan 2a 2 tana 2 49 7所以 = = = ；
1- tan2 a 7 48 24
2 tan b 2 9 3
（2）因为 tan b
1
= ，所以 tan 2b = = =
3 1- tan2 b 3 8 4
，
1 3
+
所以 tan a + 2b tana + tan 2b= = 7 4 =1，
1- tana tan 2b 1 3-
28
π
tana 1= < 1 a 0, π因为 ，且 ÷ ，所以0 < a < ；7 è 2 4
π
因为 tan 2b
3
= < 1，且 b 0,
π
÷，所以0 < 2b < ，4 è 2 4
0 a 2b π所以 < + < ，所以a + 2b
π
= .
2 4
π 5π
17．(1)[kπ + ,kπ + ](k Z) ；
3 6
ìa = -4 ìa = 4
(2) í
b = -7
或 íb 5 . =
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【详解】（1）依题意， g(x) = f (
π
- x) = sin[2(π π π- x) - ] = -sin(2x - )
6 6 6 6
2kπ π π 3π由 + 2x - 2kπ + , k Z kπ
π
，得 + x kπ
5π
+ , k Z，
2 6 2 3 6
所以函数 g(x)
π 5π
的单调递增区间为[kπ + ,kπ + ](k Z) .
3 6
π π 2π π
（2）当 x [- ,0]时， 2x - [- ,- ]，则 sin(2x
π
- ) [-1, 1- ]，即-1 f (x)
1
- ，
4 6 3 6 6 2 2
令 f (x) = t [ 1,
1
- - ]，则 y = 2at + b，显然 a 0，
2
1 ì-2a + b =1 ìa = -4
当 a < 0时，函数 y = 2at + b在[-1,- ]上单调递减，于是
2 í
，解得
-a + b = -3
í
b 7
，
= -
ì-2a + b = -3 ìa = 4
当 a > 0时，函数 y = 2at + b [
1
在 -1,- ]上单调递增，于是 í a b 1 ，解得 íb 5 ，2 - + = =
ìa = -4 ìa = 4
所以实数 a,b的值为 íb 7 或= - í b 5
.
=
f (x) 3 sin π π 1 7 1318．(1) = x +
é ù é
÷ ；(2) ê- + 4k,1+ 4k ú k Z ；(3) ,è 2 3 ÷ 3 ê 3 3
【详解】（1）由 f (x) = 3sin(wx + j) 可知，点 A 的纵坐标为 3；
w 2π π因为VABC 为等边三角形，所以BC = 2，即函数的周期T = 4，所以 = = ，
T 2
所以 f (x) = 3 sin
π
x +j
, f x 1+ = 3 sin π π÷ ÷ x + +j
÷ ，
è 2 è 3 è 2 6
0 < j < π π π 7π< +j < f 1 π π因为 ，所以 ，又 x + 3 ÷ 是偶函数，所以
+j = ，
6 6 6 è 6 2
π π π
所以j = ，所以 f (x) = 3 sin x + .
3 2 3 ֏
2 f (x) 3（ ）不等式 即 sin
π x π+ 1 ÷
π
，所以 + 2kπ
π π 5π
x + + 2kπ, k Z ，
2 è 2 3 2 6 2 3 6
1
所以- + 4k x 1+ 4k,k Z ，
3
é 1
所以实数 x 的取值范围 ê- + 4k,1+ 4k
ù
ú k Z ； 3
π x π π 1（3）令 + = + kπ,k Z ，解得 x = + 2k, k Z ，
2 3 2 3
所以 f (x)
1 1 7
图象的对称轴为 x = + 2k, k Z ，所以当 x 0 时，两相邻的对称轴为 x = , x = ，
3 3 3
f (x) [0, m] 7 13 7 13 m < é , 因为 在 只有两条对称轴，所以 ，故 m 的取值范围为 ê ÷ .3 3 3 3
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19．（1） t = -2，R 上的增函数 （2） (-3, + ) （3）证明见解析
f (x) a x 1+ t【详解】（1）由题意 = + x 是定义在 Ra 上的奇函数
所以 f (0) = 0，所以1+ (1+ t) = 0 ，即 t = -2，经检验， t = -2是 f (x) 是奇函数）
由题意得： f (x) = a x
1
- x ，因为 a >1， f (x) 是 R 上的增函数.a
（2）因为奇函数 f (x) 是定义域在 R 上的增函数
又 f (x2 + bx) + f (4 - x) > 0 f (x2 + bx) > f (x - 4) x2 + bx > x - 4
b x 4即 > - - +1在 (0, + )x 上恒成立
4
由基本不等式，当且仅当 x = 2时， -x - +1x 取得最大值-3
所以b > -3，则实数 b 的取值范围为 (-3, + ) .
h(x) a2x 1 2m(a x 1 1 1（3）由题意： = + - - x2x x ) = (a - )
2
x - 2m(a
x - x ) + 2a a a a
u = a x 1令 - x , Q x (0,+ ), \u (0,+ )a
则 p(u) = u2 - 2mu + 2 在 (0, + )有两个不相等的零点，函数的对称轴是u = m
ìm > 0 ìm > 0
\ í p(0) > 0
í p(0) = 2 > 0 解得：m > 2
p(m) < 0 p(m) = -m
2 + 2 < 0
设u 21,u2 是方程u - 2mu + 2=0的两个不等的正实数根
u1 = m + m
2 - 2, u2 = m - m
2 - 2, \u1u2 = 2
u 1 1又 1 = a
x1 - x2x ,u2 = a -a 1 a x2
1 1 1 a x2 a x1
\u u x1 x2 x1x21 2 = (a - x )(a - x ) = a + x x - ( x + x ) = 2a 1 a 2 a 1 2 a 1 a 2
x2 x1
由基本不等式Q x1 x2 ,
a a
\ x + > 2a 1 a x2
\2 < a x1 + x 12 + - 2, \(a x1 + x2 )2 - 4a x1 + x2x + x +1 > 0a 1 2
解得： a x1 + x2 < 2 - 3 或 a x1 + x2 > 2 + 3
Q x + x > 0,a > 1, \a x1 + x21 2 > 1, \a
x1 + x2 > 2 + 3
Qa > 1, \ x1 + x2 > loga (2 + 3)
所以：m > 2 且 x1 + x2 > loga (2 + 3) .
杭州学军中学2025学年高一(上)数学周末练（12）参考答案
