广东省佛山市S6高质量发展联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题
1．（2025高二上·佛山期中）若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（ ）
A． B． C．，2， D．
2．（2025高二上·佛山期中）不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是奇数的概率是（ ）．
A． B． C． D．
3．（2025高二上·佛山期中）直线，无论取何值，该直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高二上·佛山期中）已知为实数，直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2025高二上·佛山期中）已知圆与圆外切，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高二上·佛山期中）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二上·佛山期中）已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·佛山期中）棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二上·佛山期中）已知直线，则下列选项中正确的有（ ）
A．直线的倾斜角为
B．直线的斜率为
C．直线不经过第三象限
D．直线的一个方向向量为
10．（2025高二上·佛山期中）已知，为随机事件，，，则下列结论正确的有（ ）
A．若，为互斥事件，则
B．若，为互斥事件，则
C．若，相互独立，则
D．若，相互独立，则
11．（2025高二上·佛山期中）在正方体中，，为正方形内（包括边界）一动点，为的中点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点，使得
C．若，则的最大值为
D．满足的点的轨迹长度为
12．（2025高二上·佛山期中）直线与间的距离为
13．（2025高二上·佛山期中）在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是
14．（2025高二上·佛山期中）如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点，是线段上的一点，且满足平面，则
15．（2025高二上·佛山期中）如图，已知正方体的棱长为1，Q为的中点，点P在棱上，．
（1）求点到平面的距离；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
16．（2025高二上·佛山期中）已知点，点，直线过点且与直线垂直.
（1）求直线的方程；
（2）求直线关于直线的对称直线的方程.
17．（2025高二上·佛山期中）甲、乙两人参加射击训练，甲每次击中目标的概率都是，乙每次击中目标的概率都是，假设每人每次射击的结果相互独立.
（1）若甲、乙各射击1次，求甲击中目标次数等于乙击中目标次数的概率；
（2）若甲、乙各射击2次，求甲、乙两人中至少有一人击中目标2次的概率.
18．（2025高二上·佛山期中）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程；
（3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值.
19．（2025高二上·佛山期中）如图，四棱锥中，，．
（1）证明：平面；
（2）若，且，，三棱锥外接球的球心为，求直线与平面所成角正弦值；
（3）若平面PAD平面PBC，，且AB=BC=1，AD=，求BP的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据向量垂直，数量积为零逐项计算判断即可.
2．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：在5个球中随机摸出2个球，
共有：共10种情况，
则两个球的数字之和是奇数有共6种情况，
所以，两个球的数字之和是奇数的概率是.
故答案为：D.
【分析】先求出5个球中随机摸出2个球的所有可能性，再选出两个球的数字之和是奇数的情况，根据古典概率公式，从而得出两个球的数字之和是奇数的概率.
3．【答案】B
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】解：因为，
所以，
当时，解得，
故该直线过定点.
故答案为：B.
【分析】将方程变形，从而解方程组得出该直线恒过的定点坐标.
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：当时，，直线不重合，即必要性成立；若，则，解得，当时，，不重合，即充分性不成立，
则“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】求出直线时的的值并结合充分、必要条件的定义判断即可.
5．【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：因为圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
由圆外切，得，
则，
所以.
故答案为：C.
【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径长，再利用两圆外切的位置关系判断方法，从而列方程求解得出实数a的值.
6．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：依题意，
得
，
所以
，
则，所以.
故答案为：C.
【分析】以，，作为一组基底表示出，再根据数量积的运算律求出的值，从而得出BM的长.
7．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆的标准方程为，
易知圆心为，半径为，
设，变形得，
的几何意义为圆上点与定点连线的斜率，
因为是圆上任意一点，所以圆与直线有公共点，
所以圆心到直线的距离不大于圆的半径，
则，解得，
故的最小值为.
故答案为：B.
【分析】化圆的一般方程为标准方程求得圆心和半经，易知的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆有交点，利用点到直线的距离小于等于半径列式求解即可.
8．【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：记在底面内的投影为，
则底面，
因为平面，
所以，
又因为在正四面体中，是等边三角形，
所以，是的中心，
则，
由题意，得，
则，
所以的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系：
设与轴正半轴所成的角为，则，
所以，
则，
设直线与直线所成的角为，
所以，
因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件判断出点的轨迹，建立空间直角坐标系，再利用线线角的向量求法，从而将所求夹角余弦值表示为三角型函数，结合三角型函数的有界性求出直线与直线所成的角的余弦值的取值范围.
9．【答案】C,D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的方向向量
【解析】【解答】解：因为，可以表示为，
所以，倾斜角为，故选项A、选项B错误；
因为直线，
所以直线的斜率，纵截距，
则直线不经过第三象限，故选项C正确；
取直线上两点，，
得到方向向量，
则直线的一个方向向量为，故选项D正确.
故答案为：CD.
【分析】由直线得到直线的斜率和直线的倾斜角，从而判断出选项A和选项B；通过计算直线的斜率和截距，从而判断直线是否经过第三象限，则判断出选项C；取直线上两点，从而得到直线的一个方向向量，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：对于A：若，为互斥事件，
则，故A正确；
对于B：若，为互斥事件，则，
所以，故B错误；
对于C：若，相互独立，则与相互独立，
所以，故C正确；
对于D：若，相互独立，则，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用互斥事件求概率公式，则可判断选项A和选项B；利用独立事件求概率公式，则可判断选项C；利用独立事件求概率公式，先计算出的值，再由可判断选项D，从而找出结论正确的选项.
11．【答案】A,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量垂直的坐标表示；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、因为平面平面，平面，
所以点到平面的距离等于，
因为四边形是边长为的正方形，故，
则为定值，故A正确；
B、取的中点，的中点，连接，
以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则、、、、、．
设，其中、，则，，
，
因为，所以，则不存在点，使得，故B错误；
C、，，则，即，
因为，所以，当时，
的最大值为，故C错误；
D、，，
由，可得，即，
又因为、，所以、，
所以点的轨迹为平面内的线段，
即图中的线段，由图知，
故满足的点的轨迹长度为，故D正确．
故答案为：AD.
【分析】利用锥体体积公式求解即可判断A；取的中点，的中点，连接，以为原点，建立空间直角坐标系，设点，其中、，利用空间向量法即可判断BC；根据确定点的轨迹，即可求得其长度判断D.
12．【答案】
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：将直线两边同时除以，得到.此时两条直线与，、的系数相同，符合两平行直线间距离公式的使用条件.
根据距离公式，，，，，则距离.
故答案为：.
【分析】首先需要将两条直线的方程化为、系数相同的形式，然后运用两平行直线间的距离公式（其中直线方程为和）来求解.
13．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：设“开关，，闭合”分别为事件，，，
则灯亮这一事件为，且，，相互独立，互斥，
所以
.
故答案为：.
【分析】灯亮则开关闭合且，至少有一个闭合，再结合对立事件求概率公式、独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出灯亮的概率.
14．【答案】
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：如图，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则设，
所以，，
设面的一个法向量，
则，所以，令，得，
因为平面，所以，则，
所以则，
所以，则，
因为，所以．
故答案为：．
【分析】利用已知条件建立空间坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用平面得出，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出的值.
15．【答案】（1）解：如图建系，
根据已知条件，可得：，
则，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
所以，
则点到平面的距离为：；
（2）解：由平面的法向量为，平面的法向量为，
所以平面与平面的夹角的余弦值为：
.
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用建系的方法得出点的坐标和向量的坐标，利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出点到平面的距离.
（2）利用平面的法向量和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出平面与平面的夹角的余弦值．
（1）如图建系，根据已知条件可得：，
则，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以，
则点到平面的距离；
（2）由平面的法向量为，平面的法向量为，
所以平面与平面的夹角的余弦值为：
.
16．【答案】（1）解：点，，则，
因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
又因为直线过点，
所以直线的方程为，即；
（2）解：联立，解得，则的交点坐标为，
直线上取点，
设关于对称的点为，
则，解得，
则直线关于直线对称的直线经过点，
代入两点式方程得，即，
故直线关于直线的对称直线的方程为.
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程；直线的两点式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】（1）利用斜率公式以及直线垂直斜率乘积为得直线的斜率，再利用点斜式求直线方程即可；
（2）联立两直线求交点，直线上取点，设关于对称的点为，求出点关于直线的对称点，最后利用两点式求直线方程即可.
（1）因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
又直线过点，所以直线的方程为，即.
（2）由解得，故的交点坐标为，
因为在直线上，设关于对称的点为，
则解得
所以直线关于直线对称的直线经过点，
代入两点式方程得，即，
所以直线关于直线的对称直线的方程为.
17．【答案】（1）解：设“甲击中目标次”，“乙击中目标次”，
设为“甲击中目标次数等于乙击中目标次数”，
则，与互斥，所以
（2）解：设“甲击中目标2次”，“乙击中目标2次”，
法一：设“甲、乙两人中至少有一人击中目标2次”，
“甲、乙两人都未击中目标2次”，与互为对立事件，
则，
所以.
法二：设“甲、乙两人中至少有一人击中目标2次”，
则两两互斥，
所以
.
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）“甲击中目标次”，“乙击中目标次”，根据，从而计算得出甲击中目标次数等于乙击中目标次数的概率.
（2）利用两种方法求解.
法一：设“甲、乙两人中至少有一人击中目标2次”，“甲、乙两人都未击中目标2次”，与互为对立事件，利用对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而得出甲、乙两人中至少有一人击中目标2次的概率.
法二：设“甲、乙两人中至少有一人击中目标2次”，则，从而计算得出甲、乙两人中至少有一人击中目标2次的概率.
（1）设“甲击中目标次”，“乙击中目标次”.
设为“甲击中目标次数等于乙击中目标次数”，则，与互斥，
所以.
（2）设“甲击中目标2次”，“乙击中目标2次”.
法一：设“甲、乙两人中至少有一人击中目标2次”，“甲、乙两人都未击中目标2次”，与互为对立事件，
，
所以.
法二：设“甲、乙两人中至少有一人击中目标2次”，
则两两互斥，
所以
.
18．【答案】（1）解：设圆的方程为，圆心为，
由直线与圆相切于点，
则，解得，
故圆的方程为；
（2）解：设圆心到直线的距离为d，因为，所以，解得，
①当直线斜率不存在时，，满足到直线的距离；
②当直线斜率存在时：设方程：，即，
，整理得，解得，
则，即，
综上：直线的一般式方程为或；
（3）解：由题意知，，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
由，得，解得或，则点A的坐标为，
又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为，
由题可知：，
，
因为，同理，
所以，
当且仅当时等号成立，故的最大值为.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设圆方程为，根据直线与圆的位置关系和两直线的位置关系列方程组求解即可；
（2）根据几何法求弦长可得圆心到直线的距离为，易知当直线斜率不存在时满足题意；当斜率不存在时，设直线方程，利用点线距公式计算建立关于k的方程求解即可；
（3）直线方程联立圆的方程，解得，同理可得，则，结合基本不等式求解即可.
（1）由题可知，设圆的方程为，圆心为，
由直线与圆相切于点，
得，解得，
所以圆的方程为；
（2）设圆心到直线的距离为d，
∵，∴，.
①当直线斜率不存在时，，满足到直线的距离；
②当直线斜率存在时：设方程：，即，
，整理得，解得，
，即，
综上：直线的一般式方程为或；
（3）由题意知，，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
由，得，
解得或，则点A的坐标为，
又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为，
由题可知：，
，
又，同理，
，
当且仅当时等号成立，
的最大值为.
19．【答案】（1）证明：在平面ABCD中，因为，，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）解：因为平面ABC，平面，
所以，，又因为，
以A为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
因为中，，
所以外心为AC中点，
则三棱锥外接球球心O在过M且垂直于平面ABC的直线上，
则设，
又因为，
所以，
则 ，所以，则，
又因为，，
设平面PBC的一个法向量为，
则令，得，，
所以平面PBC的一个法向量为，
设直线AO与平面PBC所成角为，
则.
（3）解：以为原点，以，所在直线分别为轴，轴，
以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，设，
所以，，
设平面PAD的一个法向量为，
则
令，得，，
所以平面PAD的一个法向量为，
同理可得，平面PBC的一个法向量为，
又因为平面PAD平面PBC，所以，
则，所以，
又因为，，且，
所以，
则或a=，
当时，；
当时，，
则.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意可知，由线面平行的判定定理证出平面.
（2）先建立空间直角坐标系，从而确定球心位置，再利用数量积求向量夹角公式得出直线与平面所成角正弦值.
（3）先建立空间直角坐标系，利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而分别求出平面PAD的法向量和平面PBC的法向量，再利用法向量数量积为0可得b的取值范围，从而得出BP的取值范围.
（1）在平面ABCD中，因为，，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）因为平面ABC，平面，
所以，，又因为，
以A为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
因为中，，所以外心为AC中点，
故三棱锥外接球球心O在过M且垂直于平面ABC的直线上，故设，
又因为，所以，故，所以，
所以，又因为，，
设平面PBC的一个法向量为，
于是令，得，，
所以平面PBC的一个法向量为，
设直线AO与平面PBC所成角为，
则.
（3）以为原点，以，所在直线分别为轴，轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，设，所以，，设平面PAD的一个法向量为，
于是令，得，，
所以平面PAD的一个法向量为，
同理平面PBC的一个法向量为，
又因为平面PAD平面PBC，
所以，所以，所以
又因为，，且，
所以，所以或
当时，，
当时，，
故.
1 / 1广东省佛山市S6高质量发展联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题
1．（2025高二上·佛山期中）若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（ ）
A． B． C．，2， D．
【答案】C
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据向量垂直，数量积为零逐项计算判断即可.
2．（2025高二上·佛山期中）不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是奇数的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：在5个球中随机摸出2个球，
共有：共10种情况，
则两个球的数字之和是奇数有共6种情况，
所以，两个球的数字之和是奇数的概率是.
故答案为：D.
【分析】先求出5个球中随机摸出2个球的所有可能性，再选出两个球的数字之和是奇数的情况，根据古典概率公式，从而得出两个球的数字之和是奇数的概率.
3．（2025高二上·佛山期中）直线，无论取何值，该直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】解：因为，
所以，
当时，解得，
故该直线过定点.
故答案为：B.
【分析】将方程变形，从而解方程组得出该直线恒过的定点坐标.
4．（2025高二上·佛山期中）已知为实数，直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：当时，，直线不重合，即必要性成立；若，则，解得，当时，，不重合，即充分性不成立，
则“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】求出直线时的的值并结合充分、必要条件的定义判断即可.
5．（2025高二上·佛山期中）已知圆与圆外切，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：因为圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
由圆外切，得，
则，
所以.
故答案为：C.
【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径长，再利用两圆外切的位置关系判断方法，从而列方程求解得出实数a的值.
6．（2025高二上·佛山期中）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：依题意，
得
，
所以
，
则，所以.
故答案为：C.
【分析】以，，作为一组基底表示出，再根据数量积的运算律求出的值，从而得出BM的长.
7．（2025高二上·佛山期中）已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆的标准方程为，
易知圆心为，半径为，
设，变形得，
的几何意义为圆上点与定点连线的斜率，
因为是圆上任意一点，所以圆与直线有公共点，
所以圆心到直线的距离不大于圆的半径，
则，解得，
故的最小值为.
故答案为：B.
【分析】化圆的一般方程为标准方程求得圆心和半经，易知的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆有交点，利用点到直线的距离小于等于半径列式求解即可.
8．（2025高二上·佛山期中）棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：记在底面内的投影为，
则底面，
因为平面，
所以，
又因为在正四面体中，是等边三角形，
所以，是的中心，
则，
由题意，得，
则，
所以的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系：
设与轴正半轴所成的角为，则，
所以，
则，
设直线与直线所成的角为，
所以，
因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件判断出点的轨迹，建立空间直角坐标系，再利用线线角的向量求法，从而将所求夹角余弦值表示为三角型函数，结合三角型函数的有界性求出直线与直线所成的角的余弦值的取值范围.
9．（2025高二上·佛山期中）已知直线，则下列选项中正确的有（ ）
A．直线的倾斜角为
B．直线的斜率为
C．直线不经过第三象限
D．直线的一个方向向量为
【答案】C,D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的方向向量
【解析】【解答】解：因为，可以表示为，
所以，倾斜角为，故选项A、选项B错误；
因为直线，
所以直线的斜率，纵截距，
则直线不经过第三象限，故选项C正确；
取直线上两点，，
得到方向向量，
则直线的一个方向向量为，故选项D正确.
故答案为：CD.
【分析】由直线得到直线的斜率和直线的倾斜角，从而判断出选项A和选项B；通过计算直线的斜率和截距，从而判断直线是否经过第三象限，则判断出选项C；取直线上两点，从而得到直线的一个方向向量，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．（2025高二上·佛山期中）已知，为随机事件，，，则下列结论正确的有（ ）
A．若，为互斥事件，则
B．若，为互斥事件，则
C．若，相互独立，则
D．若，相互独立，则
【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：对于A：若，为互斥事件，
则，故A正确；
对于B：若，为互斥事件，则，
所以，故B错误；
对于C：若，相互独立，则与相互独立，
所以，故C正确；
对于D：若，相互独立，则，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用互斥事件求概率公式，则可判断选项A和选项B；利用独立事件求概率公式，则可判断选项C；利用独立事件求概率公式，先计算出的值，再由可判断选项D，从而找出结论正确的选项.
11．（2025高二上·佛山期中）在正方体中，，为正方形内（包括边界）一动点，为的中点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点，使得
C．若，则的最大值为
D．满足的点的轨迹长度为
【答案】A,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量垂直的坐标表示；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、因为平面平面，平面，
所以点到平面的距离等于，
因为四边形是边长为的正方形，故，
则为定值，故A正确；
B、取的中点，的中点，连接，
以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则、、、、、．
设，其中、，则，，
，
因为，所以，则不存在点，使得，故B错误；
C、，，则，即，
因为，所以，当时，
的最大值为，故C错误；
D、，，
由，可得，即，
又因为、，所以、，
所以点的轨迹为平面内的线段，
即图中的线段，由图知，
故满足的点的轨迹长度为，故D正确．
故答案为：AD.
【分析】利用锥体体积公式求解即可判断A；取的中点，的中点，连接，以为原点，建立空间直角坐标系，设点，其中、，利用空间向量法即可判断BC；根据确定点的轨迹，即可求得其长度判断D.
12．（2025高二上·佛山期中）直线与间的距离为
【答案】
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：将直线两边同时除以，得到.此时两条直线与，、的系数相同，符合两平行直线间距离公式的使用条件.
根据距离公式，，，，，则距离.
故答案为：.
【分析】首先需要将两条直线的方程化为、系数相同的形式，然后运用两平行直线间的距离公式（其中直线方程为和）来求解.
13．（2025高二上·佛山期中）在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：设“开关，，闭合”分别为事件，，，
则灯亮这一事件为，且，，相互独立，互斥，
所以
.
故答案为：.
【分析】灯亮则开关闭合且，至少有一个闭合，再结合对立事件求概率公式、独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出灯亮的概率.
14．（2025高二上·佛山期中）如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点，是线段上的一点，且满足平面，则
【答案】
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：如图，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则设，
所以，，
设面的一个法向量，
则，所以，令，得，
因为平面，所以，则，
所以则，
所以，则，
因为，所以．
故答案为：．
【分析】利用已知条件建立空间坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用平面得出，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出的值.
15．（2025高二上·佛山期中）如图，已知正方体的棱长为1，Q为的中点，点P在棱上，．
（1）求点到平面的距离；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）解：如图建系，
根据已知条件，可得：，
则，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
所以，
则点到平面的距离为：；
（2）解：由平面的法向量为，平面的法向量为，
所以平面与平面的夹角的余弦值为：
.
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用建系的方法得出点的坐标和向量的坐标，利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出点到平面的距离.
（2）利用平面的法向量和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出平面与平面的夹角的余弦值．
（1）如图建系，根据已知条件可得：，
则，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以，
则点到平面的距离；
（2）由平面的法向量为，平面的法向量为，
所以平面与平面的夹角的余弦值为：
.
16．（2025高二上·佛山期中）已知点，点，直线过点且与直线垂直.
（1）求直线的方程；
（2）求直线关于直线的对称直线的方程.
【答案】（1）解：点，，则，
因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
又因为直线过点，
所以直线的方程为，即；
（2）解：联立，解得，则的交点坐标为，
直线上取点，
设关于对称的点为，
则，解得，
则直线关于直线对称的直线经过点，
代入两点式方程得，即，
故直线关于直线的对称直线的方程为.
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程；直线的两点式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】（1）利用斜率公式以及直线垂直斜率乘积为得直线的斜率，再利用点斜式求直线方程即可；
（2）联立两直线求交点，直线上取点，设关于对称的点为，求出点关于直线的对称点，最后利用两点式求直线方程即可.
（1）因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
又直线过点，所以直线的方程为，即.
（2）由解得，故的交点坐标为，
因为在直线上，设关于对称的点为，
则解得
所以直线关于直线对称的直线经过点，
代入两点式方程得，即，
所以直线关于直线的对称直线的方程为.
17．（2025高二上·佛山期中）甲、乙两人参加射击训练，甲每次击中目标的概率都是，乙每次击中目标的概率都是，假设每人每次射击的结果相互独立.
（1）若甲、乙各射击1次，求甲击中目标次数等于乙击中目标次数的概率；
（2）若甲、乙各射击2次，求甲、乙两人中至少有一人击中目标2次的概率.
【答案】（1）解：设“甲击中目标次”，“乙击中目标次”，
设为“甲击中目标次数等于乙击中目标次数”，
则，与互斥，所以
（2）解：设“甲击中目标2次”，“乙击中目标2次”，
法一：设“甲、乙两人中至少有一人击中目标2次”，
“甲、乙两人都未击中目标2次”，与互为对立事件，
则，
所以.
法二：设“甲、乙两人中至少有一人击中目标2次”，
则两两互斥，
所以
.
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）“甲击中目标次”，“乙击中目标次”，根据，从而计算得出甲击中目标次数等于乙击中目标次数的概率.
（2）利用两种方法求解.
法一：设“甲、乙两人中至少有一人击中目标2次”，“甲、乙两人都未击中目标2次”，与互为对立事件，利用对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而得出甲、乙两人中至少有一人击中目标2次的概率.
法二：设“甲、乙两人中至少有一人击中目标2次”，则，从而计算得出甲、乙两人中至少有一人击中目标2次的概率.
（1）设“甲击中目标次”，“乙击中目标次”.
设为“甲击中目标次数等于乙击中目标次数”，则，与互斥，
所以.
（2）设“甲击中目标2次”，“乙击中目标2次”.
法一：设“甲、乙两人中至少有一人击中目标2次”，“甲、乙两人都未击中目标2次”，与互为对立事件，
，
所以.
法二：设“甲、乙两人中至少有一人击中目标2次”，
则两两互斥，
所以
.
18．（2025高二上·佛山期中）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程；
（3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值.
【答案】（1）解：设圆的方程为，圆心为，
由直线与圆相切于点，
则，解得，
故圆的方程为；
（2）解：设圆心到直线的距离为d，因为，所以，解得，
①当直线斜率不存在时，，满足到直线的距离；
②当直线斜率存在时：设方程：，即，
，整理得，解得，
则，即，
综上：直线的一般式方程为或；
（3）解：由题意知，，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
由，得，解得或，则点A的坐标为，
又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为，
由题可知：，
，
因为，同理，
所以，
当且仅当时等号成立，故的最大值为.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设圆方程为，根据直线与圆的位置关系和两直线的位置关系列方程组求解即可；
（2）根据几何法求弦长可得圆心到直线的距离为，易知当直线斜率不存在时满足题意；当斜率不存在时，设直线方程，利用点线距公式计算建立关于k的方程求解即可；
（3）直线方程联立圆的方程，解得，同理可得，则，结合基本不等式求解即可.
（1）由题可知，设圆的方程为，圆心为，
由直线与圆相切于点，
得，解得，
所以圆的方程为；
（2）设圆心到直线的距离为d，
∵，∴，.
①当直线斜率不存在时，，满足到直线的距离；
②当直线斜率存在时：设方程：，即，
，整理得，解得，
，即，
综上：直线的一般式方程为或；
（3）由题意知，，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
由，得，
解得或，则点A的坐标为，
又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为，
由题可知：，
，
又，同理，
，
当且仅当时等号成立，
的最大值为.
19．（2025高二上·佛山期中）如图，四棱锥中，，．
（1）证明：平面；
（2）若，且，，三棱锥外接球的球心为，求直线与平面所成角正弦值；
（3）若平面PAD平面PBC，，且AB=BC=1，AD=，求BP的取值范围.
【答案】（1）证明：在平面ABCD中，因为，，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）解：因为平面ABC，平面，
所以，，又因为，
以A为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
因为中，，
所以外心为AC中点，
则三棱锥外接球球心O在过M且垂直于平面ABC的直线上，
则设，
又因为，
所以，
则 ，所以，则，
又因为，，
设平面PBC的一个法向量为，
则令，得，，
所以平面PBC的一个法向量为，
设直线AO与平面PBC所成角为，
则.
（3）解：以为原点，以，所在直线分别为轴，轴，
以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，设，
所以，，
设平面PAD的一个法向量为，
则
令，得，，
所以平面PAD的一个法向量为，
同理可得，平面PBC的一个法向量为，
又因为平面PAD平面PBC，所以，
则，所以，
又因为，，且，
所以，
则或a=，
当时，；
当时，，
则.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意可知，由线面平行的判定定理证出平面.
（2）先建立空间直角坐标系，从而确定球心位置，再利用数量积求向量夹角公式得出直线与平面所成角正弦值.
（3）先建立空间直角坐标系，利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而分别求出平面PAD的法向量和平面PBC的法向量，再利用法向量数量积为0可得b的取值范围，从而得出BP的取值范围.
（1）在平面ABCD中，因为，，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）因为平面ABC，平面，
所以，，又因为，
以A为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
因为中，，所以外心为AC中点，
故三棱锥外接球球心O在过M且垂直于平面ABC的直线上，故设，
又因为，所以，故，所以，
所以，又因为，，
设平面PBC的一个法向量为，
于是令，得，，
所以平面PBC的一个法向量为，
设直线AO与平面PBC所成角为，
则.
（3）以为原点，以，所在直线分别为轴，轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，设，所以，，设平面PAD的一个法向量为，
于是令，得，，
所以平面PAD的一个法向量为，
同理平面PBC的一个法向量为，
又因为平面PAD平面PBC，
所以，所以，所以
又因为，，且，
所以，所以或
当时，，
当时，，
故.
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