八年级数学上册试题 第1章 三角形 期末知识点复习题--苏科版（含答案）

第1章《三角形》期末知识点复习题
考点01：根据三角形中线求长度
1．如图，已知分别是的高和中线，．求：
(1)的长；
(2)的面积；
(3)和的周长的差．
2．如图所示的是甲、乙、丙三名同学的折纸示意图．
(1)甲折出的是的______．
(2)乙折出的是的______．
(3)丙折出的是的______．
考点02：根据三角形中线求面积
3．已知在直角三角形中，于D， 点E是的中点，．
(1)求的面积；
(2)求的长．
4．在中，点是边上一点，且，连接，点为中点，连接并延长，交于点．若，则 ．
考点03：重心的概念
5．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图．
(1)画出的重心P．
(2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等．
6．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD交于点G．下列结论：①DE＝DF；②AE＝AF；③∠EAF+∠EDF＝180°；④AD垂直平分EF；⑤点G一定是△ABC的重心．其中结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点04：画三角形的高
7．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点、点都在网格的格点上．
(1)平移，使点A与重合，画出平移后得到的；
(2)连接、，四边形的面积是___________．
(3)画出的高．
8．如图，在每个小正方形的边长都是1的方格纸中，的顶点A，，都在小正方形的格点上，请按下列要求画出所求线段及点，要求所画线段的端点和所画的点均在格点上．
(1)画出要求的线段：
①在边上取一点，连接，使；
②画出边上的高线；
(2)求的面积；
(3)画出要求的点：在方格纸中取一点，使．
考点05：与三角形的高有关的计算问题
9.【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用，分别表示和的面积．
则，，
∵
∴．
【性质应用】
（1）如图②，是的边上的一点．若，，则______；
（2）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则__________，_________；
（3）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______．
10．如图，在中，于点为边上的中线．为中边上的高线．已知的面积为．
(1)求与的周长之差；
(2)求的长．
考点06：利用网格求三角形面积
11．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在网格点上．
(1)以点为中心将旋转，得到，画出；
(2)将向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，画出；
(3)连接，则的面积为_________．
12．如图，在边长为单位1的正方形网格中有．
(1)在图中画出关于直线成轴对称的图形；
(2)在直线上有一点P使得的值最小，请在图中标出点P的位置；
(3)求的面积．
考点07：全等三角形的性质
13．如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为 s时，与全等．
14．如图，在中，，，，.点从点出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动；在点出发的同时，点从点出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动.直线经过点，且、两点在直线的上方，分别过、两点作于点，于点.设点的运动时间为秒.
(1)用含的代数式表示的长；
(2)当、两点相遇时，求的值；
(3)当与全等时，求的值；
(4)当、两点的连线将的周长分成两部分时，直接写出的值.
考点08：尺规作图—作三角形
15．如图，已知，点D在边上．
(1)求作，使，并满足点E在的延长线上，（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)根据你的作图方法，说明的理由．
16．已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为
(1)如图，请你用直尺和圆规画出一个满足题设条件的三角形，并标记已知角的度数和已知边的长度．
(2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，则用直尺和圆规画出所有这样的三角形，并标记已知角的度数和已知边的长度；若不能，则说明理由．
(3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有______个，请用直尺和圆规画出所有这样的三角形．并标记已知角的度数和已知边的长度．
考点09：全等的性质和SAS综合
17．如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连接，．
(1)和的面积相等吗？请说明理由．
(2)与平行吗？请说明理由．
18．阅读下列材料，然后解决问题：
截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
(1)如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，把集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______．
解决问题：如图2，在四边形中，分别是边上的两点，且，求证．
考点10：全等的性质和ASA(AAS）综合
19．某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．
(1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ；
(2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点．
20．在中，，直线经过点C，且于点D，于点E．
(1)如图1，当在直线的同侧时，试说明：①；②；
(2)如图2，当直线与斜边相交时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出和正确的数量关系，不必说明理由．
考点11：全等的性质和SSS综合
21．（1）将下面证明中每一步的理由写在括号内．
已知：如图，．求证：．
证明：如图，连接．
在和中，
（ ）
（ ）
（ ）
（2）将不等式化成或的形式，并将解集在数轴上表示出来．
22．如图，两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③四边形的面积，④．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
易错考点12：全等的性质和HL综合
23．如图，为的高，为上一点，交于点，且有．
求证：．
证明：．
在和中，
．
．
上面的证明过程正确吗？如果不正确，说明错在哪里，并写出正确的证明过程．
24．如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③BF//DE；④S△BEF＝．其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点13：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合)
25．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：和，、分别为、中点，且，．
(1)当时，求证：．
(2)当时，求证：．
26．综合与实践：正方形折纸中的数学．已知正方形纸片的边长为．动手操作：
第一步：如图1，将正方形对折，使与重合，把这个正方形展平，得到折痕；
第二步：如图2，再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，得到折痕，若与交于点，与相交于点．问题解决：
(1)在图2中，四边形的形状是________；直线和的位置关系是________；
(2)在图2中，若，求的长；
拓广探索：
(3)如图3，若是边上的一点（点，除外），再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，得到折痕，若与相交于点．求的周长．
考点14：倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题）
27．【发现问题】
（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空．
【探究方法】
①延长到，使得；
②连接，通过三角形全等把、、转化到中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形．
【问题拓展】
（2）如图2，与互补，连接、，E是的中点，试说明：．
①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形
解：如图，延长至，使，连接．
因为是的中点
所以
在和中
所以
②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程．
（3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．那么的面积是___________（请直接写出答案）
28．综合与实践
【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到，依据是 ___________；
A． B． C． D．
（2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________．
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
[初步运用]
（3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长．
考点15：垂线模型（全等三角形的辅助线问题）
29．长方形零件ABCD中，BC＝2AB．两孔中心M，N到边AD上点P的距离相等，且MP⊥NP，相关尺寸如图所示，求两孔中心MN的距离．
30．如图，已知中，，，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于．
（1）证明：；
（2）试说明：；
（3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明；
（4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．
考点16：全等三角形综合问题
31．如图（1），，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点在线段上由点B向点运动，它们运动的时间为．
(1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系，并证明；
(2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，说明理由．
32．如图，，在的平分线上取点B作于点C，在直线上取一动点P，在直线上取点Q使得，．
(1)如图1，当点P在线段上运动时，求证：；
(2)如图2，当点P在延长线上时，探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)当点P运动到射线上时，直接写出、、三条线段之间的数量关系．
考点17：线段垂直平分线的性质
33．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形，，是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这张的方格纸中，找出格点，使，则满足条件的格点有 个．
34．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时， ．（用含的代数式表示）
考点18：线段垂直平分线的判定
35．如图，，与相交于点，．
(1)求证：垂直平分；
(2)过点作交的延长线于，如果；
①求证：是等边三角形；
②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系．
36．在等边三角形中，点D、E分别在边、上，且，连接、交于点F．
(1)如图1，求证：；
(2)过点E作于点G．
①如图2，若，，求的长度；
②如图3，连接、，若，求证：．
考点19：角平分线的性质定理
37．如图1，，点A，D在上，点B，C在上，平分，与交于点
(1)若，线段与相等吗？请说明理由．
(2)如图2，在的条件下，，E为上一点，且，求的长．
(3)如图3，过点D作于点F，H为上一动点，G为上一动点．当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，并说明理由．
38．如图，中，，、外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足．
(1) °（直接写出结果不写解答过程）
(2)①求证：四边形是正方形．
②若，求的面积．
(3)如图（2），在中，，高，，则的长度是 　　（直接写出结果不写解答过程）．
考点20：角平分线的判定定理
39．在平面直角坐标系中，点，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E．
(1)如图①，若点C的坐标为，求证：，并直接写出点E的坐标；
(2)如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变连接，求证：平分；
(3)在（2）的条件下，当时，试探究线段、、的数量关系，并证明．
40．如图，两个外角的平分线与相交于点，于点，于点，且，小明同学得出了下列结论：①；②点在的平分线上；③；④．其中错误的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点21：角平分线性质的实际应用
41．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：

(1)如图①，要在河边l修建一个水泵站M，使．水泵站M要建在什么位置？
(2)如图②，三条公路两两相交，现计划修建一个油库P，要求油库P到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库P的位置？（请作出符合条件的一个）
42．如图，在等腰中，，，平分．在线段上有一动点，连接，为直线上异于的一点，连接、．
(1)如图，当点在射线上时，若，直接写出：______；
(2)如图，当点在射线的反向延长线上时，
若（1）中的结论仍成立，则、、应满足怎样的数量关系，请证明；
若，且，，求的值．
考点22：等腰三角形的性质和判定
43．如图①，已知点在线段上，在和中，， ，且为的中点．
(1)若的延长线交于点，求证：；
(2)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(3)若将按如图②所示位置放置，使点在线段的延长线上（其它条件不变），（2）中结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
44．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．
小颖在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长到点，使，连接，可证得，即，请根据小颖的方法思考下列问题．

(1)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
完成上题之后，小颖善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答．
(2)如图3，在中，若是的中线，是上一点，连接并延长交边于点，且，求证：．
(3)如图4，在中，是的中点，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，连接，试探索与之间的数量与位置关系，并说明理由．
考点23：等边三角形的判定和性质
45．已知，点B为线段上的一个动点，与都为等边三角形，点D与点E在直线的两侧，连接交的延长线于点P，连接．
(1)如图1，当点B为线段的中点时，求证：．
(2)如图2，当点B不为线段的中点时，（1）的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图3，分别过点C、E作、，垂足分别为点F、G，若，，求线段的长．
46．如图，在中，过点A，B 分别作直线，，且，过点 C 作直线交直线于 D，交直线 于E．
(1)如图1，若，分别平分和，求的度数．
(2)在（1）的条件下，若，，求的长．
(3)如图2，若，且，是上一点，，连接，如果，，求的长．（用含a，b的式子表示）
考点24：含30度角的直角三角形
47．【基础巩固】（1）如图1，在等腰和等腰中，，，，连结，．求证：．
【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，若，延长交于点F，连接．
求证：
①平分
②．
【拓展提高】（3）如图3，已知中，，，，点D是直线上一动点，以为边作等边（点E在的左侧），连结，直接写出的最小值是： ．
48．在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系．
(1)如图1，当点、在边、上，且时，试问、、具有怎样的数量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
(2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，、、具有怎样的数量关系？请证明．
考点25：斜边的中线等于斜边的—半
49．在如图所示的纸片中，，D是斜边的中点，把纸片沿着折叠，点B到点E的位置，连接．若，，则等于（ ）
A．α B． C． D．
50．如图1，在中，，，D是边上不与A，B重合的一个定点．于点O，交于点E，且，，的延长线相交于点M．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)如图2，若N是的中点，求证：．
考点26：直角三角形的两个锐角互余
51．（1）如图1，C、A、E在一条直线上，，，于点C，于点E．求证：．
（2）如图2，且，且，计算图中实线所围成的图形的面积．
（3）如图3，，，连接、，且于点F，与交于点G，
①求证：；
②若，，求的面积．
52．【问题引领】
（1）问题：如图，在四边形中，，，．，分别是，上的点．且探究图中线段，，之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明≌，再证明≌．他得出的正确结论是___________．
【探究思考】
（2）问题：如图，若将问题的条件改为：四边形中，，，，问题的结论是否仍然成立？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）问题：如图在问题的条件下，若点在的延长线上，点在的延长线上，则问题的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段、、之间存在什么样的等量关系？并说明理由．
考点27：旋转模型（全等三角形的辅助线问题）
53．已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F为AB边的中点，且DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一个动点．如图1，当D与C重合时，易证：CD2＋DB2＝2DF2；
（1）当D不与C、B重合时，如图2，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
（2）当D在BC的延长线上时，如图3，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．
54． 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板，
【问题初探】
（1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：；
【类比探究】
（2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．
参考答案
考点01：根据三角形中线求长度
1．（1）解：∵，是的高，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，是的中线，
∴；
（3）∵是的中线，
∴，
∴和的周长的差为．
2．(1)高
(2)角平分线
(3)中线
（1）解：图甲中，由折叠可知，，
，
，
，
故甲折出的是的边上的高；
（2）图乙中，由折叠可知，，
故乙折出的是的角平分线；
（3）图丙中，由折叠可知，，
D点是边的中点，
故丙折出的是的边上的中线．
考点02：根据三角形中线求面积
3．（1）解：在直角三角形中，，，
，
∵点E是的中点，
∴的面积；
（2）解：在直角三角形中，于D，
，
∴，
∴
4．解：连接，
∵点F为中点，
∴，，
设，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
考点03：重心的概念
5．（1）解：如图，点即为所求，
（2）解：如图，点或（）即为所求，
．
6．D
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，∠EAG=∠FAG，故①正确，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，∠EDA=∠FDA，故②正确；
∵∠EAD+∠EDA=90°，∠FDA+∠DAF=90°，
∴∠EAD+∠EDA+∠FDA+∠DAF=180°，即∠EAF+∠EDF=180°，故③正确；
∵AE=AF，ED=FD，
∴点A，D都在线段EF的垂直平分线上，
∴AD是EF的垂直平分线，故④正确；
∵AD是△ABC的角平分线，只有当AB=AC时，AD才是中线，
∴点G不一定是△ABC的重心，故⑤错误；
故选D．
考点04：画三角形的高
7．（1）解：由图形可知：先向右移动三个单位，再向上移动一个单位得到，则如图：即为所求．
（2）解：四边形的面积是．
故答案为：5．
（3）解：如图：线段即为所求．
8．（1）解：如图所示：①线段即为所求；线段即为所求．
①∵点D是，
∴
根据等底同高的两三角形面积相等得；
∵，
∴是边上的高线．
（2）解：．
（3）解：如图所示：点即为所求．
∵
∴与的底边的高相等，
∴．
考点05：与三角形的高有关的计算问题
9．解：如图，过点A作AE⊥BC，
则
∵，
∴．
（2）解：∵和是等高三角形，
∴，
∴；
∵和是等高三角形，
∴，
∴．
（3）解：∵和是等高三角形，
∴，
∴；
∵和是等高三角形，
∴，
∴．
10．（1）解：∵为边上的中线，
∴，
∵，
∴与的周长之差为：；
（2）∵为边上的中线，的面积为，
∴的面积为，
∵为中边上的高线，
∴，
∵，
∴．
考点06：利用网格求三角形面积
11．（1）解：如图1所示，作点绕点旋转的对应点，作点绕点旋转的对应点，连接点、、得到，即为所求；
（2）解：如图2所示，分别作出点、、向右平移 7 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到的对应点、、，连接点、、，得到，则即为所求；
（3）解：如图，．
12．（1）解：如图，即为所求作；
（2）解：如图，点P即为所求作；
（3）解：的面积．
考点07：全等三角形的性质
13．2或4
解：作于E，作于F．
分以下情况：①如图1，P在上，Q在上，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵与全等，
∴，
即
；
②当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图3，
，
．
综上所述，点运动时间为2或4，与全等，
故答案为：2或4．
14．（1）解：由题意得，当点在上时，；当点在上时，；
（2）解：由题意，得，
解得．
∴当，两点相遇时，的值为；
（3）解：当点运动到点时，；当点运动到点时，．
当点在上，点在上时，如图：
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
当时，．
∴，
解得．
当点在上，点在上时，当点，重合时，．
∴．
即，
解得．
当点在上时，点到终点与点A重合，．
∴．
即，
解得．
综上，当与全等时，的值为或或；
（4）解：∵当、两点的连线将的周长分成两部分时，
∴其中一部分周长是另一部分周长的或，
点运动到点用时，点运动到点用时，
当点分别在上时，如图：
则，或
∴，或
解得：（舍），或；
当点重合，点在上时，如图：
则或
∴或
解得：（舍）或，
综上：当、两点的连线将的周长分成两部分时，的值为或．
考点08：尺规作图—作三角形
15．（1）解：如图所示即为所求．
；
（2）证明：根据作图得：，，，
∴．
16．（1）解：如图1，为所作；
（2）能．如图2，为所求；
（3）所求图形如图3所述，
故答案为：4．
考点09：全等的性质和SAS综合
17．（1）解：和的面积相等，理由如下：
连接，过点作于点，如图所示：
是的中线，
，
，，
，
即和的面积相等；
（2）证明：与平行，理由如下：
在和中，
，
，
，
．
18．（1）解：延长到点使，连接，在和中，
，
，
，
，即，
，
故答案为：；
（2）证明：延长到，使如下图所示，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
考点10：全等的性质和ASA(AAS）综合
19．（1）解：、、的数量关系为：，理由如下：
如图1所示：
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：（1）中的结论成立，证明如下：
如图2所示：
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示：
∵和都是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点．
20．（1）证明：①∵，．（已知）
∴（垂直的定义）．
∵（已知）
∴，
又∵( 直角三角形的两个锐角互余 )
∴(同角的余角相等)
在和中，
∵，，，
∴；
②∵，
∴， ，(全等三角形，对应边相等)
∴ ；(等量代换)
（2）解：（1）中的结论②不成立．；
∵，．（已知）
∴（垂直的定义）．
∵（已知）
∴，
又∵( 直角三角形的两个锐角互余 )
∴ (同角的余角相等)
在和中
∵，，，
∴，
∴， (全等三角形，对应边相等)
∴ (等量代换)
考点11：全等的性质和SSS综合
21．证明：如图，连接．
在和中，
，
，
（公共边），
（全等三角形的对应角相等）；
故答案为：公共边；；全等三角形的对应角相等；
（2）解：两边同时乘以得：，
在数轴上表示为：
22．A
解：①在和中，
，
，
结论①正确；
②由①可知：，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
结论②、④正确；
③由②可知：，
，，
又，
．
结论③正确，
综上所述：结论①②③④正确．
故选：A．
考点12：全等的性质和HL综合
23．解：不正确．三角形全等的判定方法中没有“”．正确的证明过程：
，
．
在和中，
，
．
24．D
解：①由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFG＝∠A＝90°，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），
故①正确；
②∵正方形边长是12，
∴BE＝EC＝EF＝6，
设AG＝FG＝x，则EG＝x＋6，BG＝12 x，
由勾股定理得：EG2＝BE2＋BG2，
即：（x＋6）2＝62＋（12 x）2，
解得：x＝4，
∴AG＝GF＝4，BG＝8，BG＝2AG，
故②正确；
③∵EF＝EC＝EB，
∴∠EFB＝∠EBF，
∵∠DEC＝∠DEF，∠CEF＝∠EFB＋∠EBF，
∴∠DEC＝∠EBF，
∴BF//DE，
故③正确；
④∵S△GBE＝BE BG＝×6×8＝24，
∵GF＝AG＝4，EF＝BE＝6，
∴，
∴S△BEF＝S△GBE＝×24＝，
故④正确．
综上可知正确的结论的是4个．
故选：D．
考点13：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合)
25．（1）解：在和中，，
，
，
、分别为、的中点，
，，
，
，，
在和中，，
，
故答案为：；；；；
（2）证明：如下图所示，延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接，
，
，
在和中，
，
，，
同理可证，
，，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
在和中，
．
26．（1）解：∵右下角沿MN折叠，C点与E点重合，
∴ ，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形EMCG是平行四边形，
∵，
∴四边形EMCG是菱形，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：菱形，；
（2）解：设DM=m，则CM=4-m，
∵右下角沿MN折叠，C点与E点重合，
∴CM=EM=4-m，
∵E为AD中点，
∴DE=2，
在中，DE= 2，CM=4-m，DM=m，
根据勾股定理得：，
解得：，
∴ ；
（3）解：过点C作CK⊥HP，连接CH，CP，如图：
∵正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点P重合，
∴，
∴，
∴，
由折叠可得，，
∴，
∴，
在△CDP和△CKP中，
，
∴，
∴，，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴，
在Rt△CBH和Rt△CKH中，
，
∴，
∴，
∴△AHP的周长为．
考点14：倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题）
27．解：（1）∵是的中线．
∴，
∵，，
∴，
∴，
可得 ，
即：，
∴，
故答案为：；
（2）延长至点，使得，连接，如图2：
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）如图3，由（2）可得：，，，
．
．
，，
．
，
，
，
．
28．解：（1）∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
故选：C；
（2）∵，即，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）延长到M，使，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵是中线，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
考点15：垂线模型（全等三角形的辅助线问题）
29．作ME⊥AD于点E，NF⊥AD于点F，
∴∠MEP＝∠NFP＝90°，∠EMP＋∠MPE＝90°，
∵MP⊥NP，
∴∠NPF＋∠MPE＝90°，
∴∠NPF＝∠EMP
∵PM＝PN，△EPM≌△FNP（AAS），
∴ME＝PF，PE＝FN，
令PE＝x，则EF＝NF＝x＋10，AB＝x＋11，AD＝2AB＝2x＋22，
由EF＋AD＝54＋50得x＋10＋2x＋22＝104，x＝24，
，
（mm）．
30．（1）证明：∵，
∴．
又∵ ，，
∴，，
∴．
又∵，
∴．
（2） 解：∵，
∴，．
又∵，
∴．
（3） 解：∵，
∴．
又∵ ，，
∴，，
∴．
又∵，
∴．
∴，，，
∴
（4） 解：．理由如下：
∵，
∴．
又∵ ，，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴，．
又∵，
∴．
考点16：全等三角形综合问题
31．（1）解：，理由如下：
当时，，
则，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
，
；
（2）当，或，时，与全等，理由如下：
若 ，
则，，
，
解得，，
则．
若 ，
则，，
则，
解得，，
则，
故当，或，时，与全等．
32．（1）证明：作于点D，如图，
∵是的平分线，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下，
作于点M，如图，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：点P在线段上时，此时，如图，
∵，
∴，
由（2）可知，，
∴，
即；
点P在线段的延长线上时，此时，
作于点M，如图，
∵，
∴，
由（2）知，，
∴，
即；
综上，或．
考点17：线段垂直平分线的性质
33．
解：如图，满足，在的垂直平分线上且在格点上的点有个．
故答案为：5．
34．
解：如图，连接．
垂直平分，
，，
，
当、、在同一直线上时，最小，最小值为．
周长最小值．
，点是边的中点，
，
，
，
．
故答案为：．
考点18：线段垂直平分线的判定
35．（1）证明：，，
，，
在的垂直平分线上，，
，
在的垂直平分线上，
垂直平分；
（2）①证明：如图
设，
，
，
是的外角，
，
由（1），，
，
，
，
，
，
，即，
则，
，
由（1）可知，，
是等边三角形；
②为最小值时，与的数量关系是，
理由：延长至，使，如图，
，
垂直平分，过作于交于，连接，
，
，此时为最小，
此时点的位置即为所求
由①知：，即，
即，
在中，，
，
为最小值时，与的数量关系是
36．（1）证明：∵等边三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：根据（1）得，
∴，；
∵等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．

②根据（1）得，
∴，；
∵等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
过点作交于点，交于点，则，

设，则，
∴，，
在中，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
连接，如图，

∵
∴
又∵，
∴，
在中，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴是线段垂直平分线，
∴．
考点19：角平分线的性质定理
37．（1）解：线段与相等，理由如下：
，
，
在中，，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
；
（2）过点D作于点H，如图2所示：
，，
，
平分，，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3），，这三者之间的数量关系是：，理由如下：
在的延长线上截取，连接，如图3所示：
平分，，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
38．（1）解：，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
故答案为：45；
（2）①证明：过点作于，
平分，，，
，
同理可得，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形；
②，
，
在和中，
，
，
，
同理可得，
设，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得，
，
；
（3）解：如图2所示，把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，
由折叠可得，，，，，，，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得，
，
故答案为：2.8．
考点20：角平分线的判定定理
39．（1）如图①，，，
，
又，
，
，，
，
，
，
又点的坐标为，
，
点的坐标为．
（2）如图②，过点作于点，作于点，
，
，且，
，，
，
平分．
（3）结论：．
理由：如所示，在上截取，连接，
，，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
40．A
解：如下图，过点作于点，
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，故结论①正确；
∵，且点在内部，
∴点在的平分线上，故结论②正确；
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，故结论④正确；
∵，，
∴，
∵
又∵，
∴，
∴，
即，故结论③错误．
综上所述，结论错误的是③，共计1个．
故选：A．
易错考点21：角平分线性质的实际应用
41．（1）如图1所示：M点即为所求．

（2）如图2所示（答案不唯一）．

42．（1）解：在上取一点，使得，连接，如图所示：
，
．
平分，
，
，
≌，
，．
，，
．
，
≌，
．
，，
，
故答案为：；
（2）解：①若中的结论仍成立，则、、应满足怎样的数量关系为：，理由如下：
在的延长线上取一点，使得，连接，如图所示：
，．
，
．
，
．
，
，
，
≌，
，．
，，
≌，
，
；
由可知：，，
，
，
．
，，
设，则，，
，
，
，
．
考点22：等腰三角形的性质和判定
43．（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
∵为的中点，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：，理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是等腰三角形，且是底边的中线，
∴．
（3）解：仍成立，证明如下：
作交的延长线于，连接，如图．
∴．
在与中，
∴，
∴．
又∵，，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，且是底边的中线，．
44．（1）解：如图，延长到点E，使，连接，
在与中，
在中，
故答案为：；

（2）证明：如图，延长到点，使，连接，

∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3），，理由如下：
如图，延长至点，使，连接，
，
∴，，
∵，
∴，
即
∵，
∴，
∵和是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
考点23：等边三角形的判定和性质
45．（1）证明：∵为等边三角形，点B为线段的中点，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∵与为等边三角形，
∴，，，
在与中，
，
∴，
∴，则，
∴，
∴；
（2）解：成立，证明如下：
∵与为等边三角形，
∴，，，
在与中，
，
∴，
∴，，
以为边作，另一边交于M，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：以为边作，另一边交于M，连接，
由（2）知为等边三角形，
∵，
∴，
∵，由（2）知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）知，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
46．（1）解：平分，
，
同理，，
，
，
，
；
（2）如图1，在上取一点，使，连接，

在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）如图2，
，，
为等边三角形，
，，
，，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
考点24：含30度角的直角三角形
47．解：（1），
∴，
，
在和中，
，
∴；
（2）①由（1）得，
得，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平分
②由（1）得；
∴，
由①得，
∴，
∵，
∴；
（3）取的中点，连接，
∵，，，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
即，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
过点作
∵点D是直线上一动点，
∴的最小值是，
则在中，，
∴的最小值是．
48．（1）解：之间的数量关系．理由如下：
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）猜想：结论仍然成立．
证明：在的延长线上截取，连接．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3），理由如下：
证明：在上截取，连接，
由（2）得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
考点25：斜边的中线等于斜边的—半
49．B
解：，是斜边的中点，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：B．
50．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：过点D作，交于点H，
则，
∵，
∴，
即．
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）证明：延长交于点T，连接，，如图：
∵，，
∴
∴，
∴，
∴．
∵N是的中点，
∴，
∵，
∴ ，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
由（2）知，，
∴．
∵，
∴ ，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
考点26：直角三角形的两个锐角互余
51．（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）由（1）可得：，，
∴，，，，
∴实线所围成的图形的面积；
（3）①证明：如图，过点作于，过点作交的延长线于，
由（1）可得：，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②解：由①可得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由①可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
52．解：问题1，如图1，延长到点G．使．连接，
∵，
∴，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，，
∴，即，
∵ ，
∴，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∴ ；
故他得到的正确结论是：；
问题2，问题1中结论仍然成立，如图2，
理由：延长到点G．使．连接，
∵ ，，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，，
∴，即，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∴ ；
即；
问题3．不成立，结论：，理由如下：
如图3，在上取一点G．使．连接，
∵ ，，
∴，即 ，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，，
∴，即，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∴．
即．
考点27：旋转模型（全等三角形的辅助线问题）
53．解：（1）CD2+DB2=2DF2
证明：∵DF=EF，∠DFE＝90°，
∴
∴
连接CF，BE，如图
∵△ABC是等腰直角三角形，F为斜边AB的中点
∴ ，即
∴，
又
∴
在和中
∴
∴，
∴
∴
∵，
∴CD2+DB2=2DF2 ；
（2）CD2+DB2=2DF2
证明：连接CF、BE
∵CF=BF，DF=EF
又∵∠DFC+∠CFE=∠EFB+∠CFB=90°
∴∠DFC=∠EFB
∴△DFC≌△EFB
∴CD=BE，∠DCF=∠EBF=135°
∵∠EBD=∠EBF－∠FBD=135°－45°=90°
在Rt△DBE中，BE2+DB2=DE2
∵ DE2=2DF2
∴ CD2+DB2=2DF2
54．（1）证明：在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，，理由如下：
如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．