八年级数学上册试题 第3章 勾股定理 单元测试卷--苏科版（含答案）

第3章《勾股定理》单元测试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．若，，是一组勾股数，则的数为（　　）
A．2 B．3 C．6 D．7
2．如图，小明用的木棒加固小树，已知，，则木棒底端距树根之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
3．如图， ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为（ ）

A． B． C． D．
4．如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是，内壁高为．将一根长的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．在一个直角三角形中，已知两直角边分别为，，则下列结论不正确的是（ ）
A．斜边长为 B．面积为
C．斜边上的高为 D．斜边上的中线长为
6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（ ）
A．13 B．10 C．15 D．9
7．如图，在矩形中，，，点M，N分别在，上，且 ，，E为边上一动点，连接，将沿所在直线折叠得到，当点恰好落在线段上时，的长为（ ）
A．或2 B． C．或2 D．
8．如图，在中， ， 通过尺规作图得到的直线分别交、于D、E， 连接．若 ，则的长为（ ）
A． B． C．3 D．
9．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点P是正方形内一点，且，，，则度数为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．如图，数轴上的点、对应的实数分别是、，线段于点，且长为个单位长度．若以点位圆心，长为半径的弧交数轴于和之间的点，则点表示的实数是 ．
12．如图，在 ABC中，，以为圆心，以的长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则 ．
13．如图，在 ABC中，，，于点，且，则的长为__________．
14．如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ．
15．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知，
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；
第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，
再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米；
【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算请你求旗杆的高度是 ．
16．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设二人从出发到相遇用x个单位时间，则根据题意列方程为 ．
17．如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，点D恰好在边上，连接，则的长为 ．
18．如图， ABC是等边三角形，是的平分线上一点，于点，线段的垂直平分线交于点，垂足为点．若，则的长为
三、解答题（本大题共6个小题,共58分）
19.（8分）如图，在中，．
（1）在边上求作一点，使得点到的距离等于的长；（要求：用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
（2）在（1）的条件下，求的长．
20.（8分）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米．
（1）出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
（2）当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？
21.（10分）如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式.（说明：直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为）
【探究发现】
（1）代数式1：_________.代数式2：________；
（2）这个等式为　　　（直接写化简后的结果），用文字语言表达为_________；
【学以致用】
（3）在直角三角形中，，，.求的长.
22.（10分）如图，在四边形中，，，平分；
（1）试说明：；
（2）若，，，请判断的形状，并说明理由．
23.（10分）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天，人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，是长方形，是延长线上一点，是上一点，并且．
（1）求证：；
（2）若，长方形面积为4，请直接写出 ABC的周长______．
24.（12分）已知，的斜边在射线上，沿着射线平移，，．连接，在左侧作等腰直角三角形，，连接交于点F，连接．
（1）如图1，当点D在上时，求证：；
（2）如图2，当时，若，
①求 ；
②连接，求的度数．
参考答案
一、选择题
1．B
解：当为直角边时，，是正整数，符合题意，
当为斜边时，，不是正整数，不符合题意，
故选：B．
2．A
解：，，
．
在中，，，，
则由勾股定理知：．
故选：A．
3．A
解：如图，由勾股定理得 ，
，即，
∴；
故选：A．
4．D
解：将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，
在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，
当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，，
最长时等于杯子斜边长度是：，
此时，
的取值范围是：，
故选：D．
5．C
解：∵在一个直角三角形中，已知两直角边分别为，，
∴斜边长为，面积为，故AB正确；
斜边上的高为，故C错误；
斜边上的中线长为，故D正确，
故选：C．
6．D
解：因为小正方形的面积=，
所以小正方形的边长为，
故选D．
7．B
解：设，则，
∵矩形中，，
∴．
∵点M，N分别在上，且，，
∴，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
由折叠知，，
∴，
∴．　
，
在中，，即，
解得：，即．
故选B．
8．B
解：∵，
∴，
∴，
连接，如图：
由题意可得：是的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴CD=AB=，
故选：B；
9．A
解：由题意可知，，，
．
设的长为，则，
所以．
在直角中，，即，
解得：，
即绳索的长是10米．
故选：A．
10．C
二、填空题
11．
解：数轴上的点、对应的实数分别是、，线段于点，且长为个单位长度．
∴，
在中，，
，
∵数轴上的点A 对应的实数是
表示的实数为．
故答案为：．
12．
解：由作图过程可知，．
由勾股定理得，．
，
，
．
故答案为：．
13．
解：由题意可知，，
，
在中，，，
由勾股定理可知，
，，
同理，在中，由勾股定理可知，
，
，
代入得，
，
解得，，
故答案为：．
14．
解：向正表面展开，如图，
∴最短路径的长是，
向左表面展开，如图，
∴最短路径的长是，
向上表面展开，如图，
∴最短路径的长是，
∵，
∴最短路径的长是，
故答案为：．
15．12米
解：根据题意知：米，米．
在直角 ABC中，由勾股定理得：
，
故．
解得，
答：旗杆的高度为12米．
故答案为：12．
16．
解：如图：
设二人从出发到相遇用x个单位时间，
由题意得：，，，，
由勾股定理可得：，
∴，
故答案为：．
17．
解：∵绕点C按逆时针方向旋转得到，
∴，，，，
∴，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，，
∴为等边三角形，
∴．
∵，，
∴，
∴，，
∴．
∵，
，
，
故答案为：．
18．
解：∵ ABC是等边三角形，
∴，
∵是角平分线上的一点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵线段的垂直平分线交于点，
∴，，
∵，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，负值舍去，
故答案为：．
三、解答题
19.
解：（1）解：由角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边距离相等，运用无刻度直尺和圆规作的角平分线交于点即可，如图所示，
（2）解：在中，，
∴，
如图所示，过点作于点，则，
由（1）可知，，是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴在中，，即，
解得，，
∴的长为．
20.（1）解：如图，
出发秒钟时，米，米
米，米
米，米
（米）
出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；
（2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米，
由题意得，，解得
此时，
此时，
即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰，
答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰．
21.
解：（1）代数式1：，代数式2：，
故答案为：，；
（2）由（1）知，
用文字语言表达为在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方，
故答案为：；在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方；
（3）在直角三角形ABC中，，，，
．
22.（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：为直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
即，
∴为直角三角形．
23.（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
ABC的周长，
故答案为：．
24.（1）解：∵是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：①如图2，过点C作于H，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
由（1）可知，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：2；
②如图2，∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，都是等腰直角三角形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
由①可知，，
∴，
∵，
∴，
∴．