八年级数学上册试题 第3章 勾股定理 期末考点复习题--苏科版（含答案）

第3章《勾股定理》期末考点复习题
考点讲练1：用勾股定理解三角形
1．如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点，画射线交于点，则线段的长为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．6
2．如图，在中，，，，是的平分线．若点P和Q分别是线段和上的动点，则的最小值是 ．
考点讲练2：已知两点坐标求两点距离
3．【项目式学习】阅读并完成以下任务：
如图①，若A，E两点在直线同侧，分别过点A，E作，C为线段上一动点，连接，．已知，设．
【任务一】
（1）用含x的代数式表示为： ；
（2）请问点C满足什么条件时，的值最小，并求出最小值；
【任务二】
由可得代数式的几何意义；如图②，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．
（3）求代数式的最小值．
4．如图，从点发出一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过的路径的长为（ ）
A． B． C． D．
考点讲练3：勾股树(数）问题
5．下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．，， B．4，5，6
C．0.6，0.8，1 D．9，12，15
6．小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25…他发现这些勾股数数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成．
(1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9、40、41，这是一组勾股数吗，请给出证明．
(2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明设这样的勾股数为m、n、（m为大于1的奇数，且），他猜想是否可以用m表示出n．若可以，请帮小明完成他的猜想，若不可以，请说明理由．
(3)当奇数时，请直接写出这组勾股数．
考点讲练4：以直角三角形三边为边长的图形面积
7．如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，求图中阴影部分的面积．
8．如图，在 中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为 ．
考点讲练5：勾股定理与网格问题
9．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，________；
(2)在图①中，在上确定一点D，连接，使；
(3)在图②中，在内确定一点E，连接、、，使．
10．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上．请用无刻度直尺按要求作图：

(1)在图1中作的高；
(2)在图2中，找一格点D使且．
考点讲练6：勾股定理与折叠问题
11．如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点D与点B重合，则的长度为 ．

考点讲练7：利用勾股定理求两条线段的平方和(差)
13．爱知中学体育组为方便学生使用体育器材，丰富课余生活，增强身体素质，计划要在道路上建立一个体育器材放置点，同时向，两栋教学楼提供器材．已知：到道路的距离，到道路的距离，，两地距离．现要求放置点到、两栋教学楼距离相等．
(1)请利用圆规与直尺在直线上作出点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)计算器材放置点到处的距离．
14．如图，在中，，，点、为上两点，点为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④
C．①③④ D．①②④
考点讲练8：利用勾股定理证明线段平方关系
15．【问题提出】
如图1，在中，，为边上一点（不与点，重合），以为直角边在右侧做等腰直角，连接．
（1）的度数为______；
（2）线段，，之间有怎样的数量关系，写出并说明理由；
【类比探究】
如图2，若点在边的延长线上，其他条件不变，
（3）试探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由．
16．已知：在中，，．点、在线段上．

(1)如图1，如果，求证：．
(2)如图2，如果，求证：．
考点讲练9：勾股定理的证明方法
17．在一次数学实践活动中，宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成了一个大正方形，如图所示．设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，大正方形边长为．请你写出之间的关系式是 ．（化到最简）
18．勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它是用代数思想解决几何问题的最重要工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦图”）就巧妙地利用面积法证明了勾股定理．

(1)如图1，用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为．
①请写出勾股定理的表达式：______．
②如图2，正方形边长为c，请你在图2中，将图1的四个三角形拼成一个能证明勾股定理的图形．
如图3，将两个全等的直角三角形按如图所示的方式放置，使点B、E、C在同一直线上，三角形的短直角边记为a，长直角边记为b，斜边记为c，请连结，试通过各部分图形面积之间的数量关系验证勾股定理．
考点讲练10：以弦图为背景的计算题
19．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是 ．
20．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．
(1)如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板．
①设，，，请你利用图1验证：；
②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？
如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓实线的周长为48，，求这个图案的面积．
考点讲练11：用勾股定理构造图形解决问题
21．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为．
(1)请利用图①证明：；
(2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形，若该图形的周长为80，，求该图形的面积．
22．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为 ．
考点讲练12：勾股定理与无理数
23．如图，在数轴上点表示的实数是 ．
24．如图，在边长为1的正方形网格中，画出三个同时满足以下三个条件的三角形．
①所画三角形的顶点都在格点上的直角三角形；
②所画三角形的三边长度至少有两边长度是无理数；
③所画的三个直角三角形互不全等．
考点讲练13：判断三边能否构成直角三角形
25． 如图，在中，，它的周长为．点P从点A出发沿边向点C以每秒的速度移动，点Q从点C出发沿边向点B以每秒的速度移动．
(1)是直角三角形吗 请说明理由．
(2)如果点P，Q同时出发，那么经过3秒， ， ，则的面积为多少
26．如图，已知等腰中，，，是边上一点，且，．
(1)求 的长；
(2)求中边上的高．
考点讲练14：图形上与已知两点构成直角三角形的点
27．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形．
28．下列叙述中，正确的是
A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方
B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
C．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若，则∠A=90
D．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90 ，则
考点讲练15：在网格中判断直角三角形
29．如图所示的网格是正方形网格，则 （点，，是网格线交点），请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出解决该题的关键思路的连线．
30．如图所示，在每个边长都为1的小正方形组成的网格中，点A、B、P均为网格的格点．
(1)线段的长度等于__________；
(2)以点A、B、P为顶点的面积为__________；
(3)仅用无刻度直尺在线段上作一个点Q，使得点Q满足．
考点讲练16：利用勾股定理的逆定理求解
31．如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮？
32．已知：四边形中，，，，，：
(1)求的长；
(2)求四边形的面积．
考点讲练17：勾股定理逆定理的实际应用
33．综合与实践：
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过去某超市实地考察调研，发现超市购物车的结构蕴含着许多数学知识，并对购物车的支架等进行测量，如图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图．测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行．
请按要求完成下列任务：
(1)判断支架与的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，作图提示：过点作交的延长线于，延长交于，请按作图提示添加辅助线，若的长度为，，求购物车把手到的距离．（结果精确到1cm，，）
34．图①是某品牌婴儿车，图②是其部分结构示意图．根据安全标准需满足，已知，，，请通过计算说明该车是否符合安全标准．
考点讲练18：勾股定理逆定理的拓展问题
35．如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且．
(1)求证：；
(2)求修建的桥梁的长．
36．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值．
（3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围．
考点讲练19：求梯子滑落高度（勾股定理的应用）
37．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，某校八年级（1）班的小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图1），进行了如下操作：
①牵线放风筝的小明手抓线的地方与地面的距离为1.5米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；
③测得小明手抓线的地方与风筝的水平距离的长为8米．

(1)求风筝的垂直高度；
(2)如图2，小明想让风筝沿方向下降9米到点M处，则他应该往回收线多少米？
38．在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变．
(1)根据题意可知：______（填“”、“”、“”）．
(2)若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号）
考点讲练20：求旗杆高度（勾股定理的应用）
39．学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离为3米，到旗杆的距离为10米（如图2）．
根据以上信息，求旗杆的高度．
40．如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：
小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图：
②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米，如图．
小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点处，作垂直于点，．
(1)请你按小明的方案求出旗杆的高度；
(2)在（）的条件下，已知小亮举起绳结离旗杆的距离米，求此时绳结到地面的高度．
考点讲练21：求小鸟飞行距离(勾股定理的应用）
41.如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，两杆相距．现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？
42．如图，学校操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高8米，树梢D到树的水平距离的长度为8米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．16米
考点讲练22：求大树折断前的高度（勾股定理的应用）
43．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量，则未折断前这棵树高为 ．
44．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为．
(1)求旗杆在距地面多高处折断；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？
考点讲练23：解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）
45．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，丈尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面处．问水的深度是多少？则水深为 尺．
46．如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为12cm，高5cm的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
考点讲练24：解决航海问题（勾股定理的应用）
47．在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为10海里/小时．
(1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间；
(2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？
48．如图，在海平面上有，，三个标记点，其中在的北偏西方向上，与的距漓是40海里，在的南偏西方向上，与的距离是30海里．
(1)求点与点之间的距离；
(2)若在点处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为25海里，此时在点处有一艘轮船准备沿直线向点处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？
考点讲练25：求河宽（勾股定理的应用）
49．直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则．
(1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答；
(2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值．
50．著名的“赵爽弦图”如图1所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，则大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a，b，斜边为c，则．
(1)图2为美国第20任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．
(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米．
(3)在第（2）问中，若千米，千米，千米，求的长．
考点讲练26：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用）
51．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，．
(1)求BC的长；
(2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶．
52．如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？
考点讲练27：判断汽车是否超速（勾股定理的应用）
53．如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米．
(1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？
(2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由．
54．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米．
(1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒
(2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由．
考点讲练28：判断是否受台风影响（勾股定理的应用）
55．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点A，B的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．
(1)海港受台风影响吗？为什么？
(2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？
考点讲练29：选址使到两地距离相等（勾股定理的应用）
56．如图，铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
57.如图所示，铁路上有A，B两点（看作直线上两点）相距，C，D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A，B，，，现在要在铁路旁修建一个检修点E，使得C，D两村到检修点E的距离相等（点A，B，C，D，E在同一平面）．
(1)请用尺规作图，在图中作出检修点E的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求检修点E应建在距A点多少千米处？
考点讲练30：求最短路径(勾股定理的应用）
58.如图所示，一只蚂蚁在棱长为的正方体表面爬行，已知，则它从下图中的顶点爬到顶点的最短距离为 ．
59.如图，一个圆柱形容器的高为，底面半径为，在容器外壁中点处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁的底部与蚊子相对的点处，壁虎捕捉蚊子的最短距离为 ．（容器厚度忽略不计）
参考答案
考点讲练1：用勾股定理解三角形
1．B
解：过点作于点，如图所示：
依题意，平分，则，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
设，
∴，
在中，由勾股定理可得，则，
解得，即，
故选：B．
2．
解：如图：作关于直线的对称点，过C作于F，
∵是的平分线
∴点在直线上，
∵点和点关于直线AD对称，
∴，
∴，
点随着点的运动而运动，当且仅当点和点F重合时有最小值，
在中，，，，
∴，即，
∴，
∴的最小值，即的最小值．
故答案为：．
考点讲练2：已知两点坐标求两点距离
3．（1）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵在直角三角形和直角三角形中，由勾股定理得：
，，
∴，
作点E关于的对称点，得，根据题意，得，
故当A、C、三点共线时，的值最小，如图，
以为一边构造矩形，得到
∴在中，由勾股定理得：
，
∴当A、C、三点共线时，的值最小，且最值为17；
（3）解：由可得代数式的几何意义：建立平面直角坐标系，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．
作点B关于的对称点，得，且，
根据题意，得，
故当A、P、三点共线时，的值最小，且最小值为，
根据两点间距离公式，得
，
∴代数式的最小值是．
4．C
解：如图所示，作关于轴的对称点，则，
∴这束光从点到点所经过的路径的长为
∵，，
∴，
故选：C．
考点讲练3：勾股树(数）问题
5．D
解：A、，，不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
B、，不是勾股数，不符合题意；
C、0.6，0.8，1不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
D、，是勾股数，符合题意；
故选：D．
6．（1）解：9、40、41是一组勾股数，理由如下：
，，
，
、40、41是一组勾股数；
（2）解：可以用表示出，理由如下：
，
，
；
（3）解：当奇数时，，
这组勾股数是17，144，145．
考点讲练4：以直角三角形三边为边长的图形面积
7．．
解：∵以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，，，
∵，，，
∴阴影部分的面积
，
∵，
∴阴影部分的面积．
8．5
解：在△中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，由勾股定理得：，
即，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积为，
∴阴影部分的面积为5，
故答案为：5．
考点讲练5：勾股定理与网格问题
9．（1）解：；
（2）解：如图，取格点，连接交于，则即为所求；
理由如下：连接，，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴ ；
（3）解：如图，如图，取格点，连接交于，取格点，，连接交于，连接，，则即为所求；
理由如下：
由（2）可得：是的垂直平分线，，
∴，，
∴为格点，
∵，
∴，
∴；
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
10．（1）解：如图，线段为所求；
，
证明：取网格点、、，连接、、，如图，

结合网格易得：，，
，即有，
，
，
在中，，即，符合要求；
（2）解：如图，点即为所求，
，
证明：结合网格图和勾股定理，可得，，
即，，
即是直角三角形，，
即有：，，即点满足要求；
考点讲练6：勾股定理与折叠问题
11．A
解：∵，，，D是边的中点，
∴，
∴，
∵将沿翻折，点C落在上的点F处，
∴，，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
∴；
故选：A．
12．
解：∵将此长方形沿折叠，使点D与点B重合，
∴，
设，
∵在长方形中，，，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
考点讲练7：利用勾股定理求两条线段的平方和(差)
13．（1）解：如图，点E即为所求．
（2）设，
，
，
，
，
，
点到处的距离．
14．D
解：，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故①正确；
由①中证明，
，
，，
，
，
连接，
，
，
，，
，
故②正确；
设与的交点为，
，，
，，
，
故④正确；
，，
，
故③不正确，
故选：D．
考点讲练8：利用勾股定理证明线段平方关系
15．解：∵，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
由（1）知：，
∴，
∵，
∴；
（3），理由如下：
∵，
∴，
∴，，
∴；
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴．
16．（1）证明：如图所示，过点C作于F，
∵，，
∴，
∴，
∴；

（2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，
∵，
∴，
由旋转得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．

考点讲练9：勾股定理的证明方法
17．
解：根据题意及图示可得，大正方形的边长为，即直角三角形斜边长，
∴大正方形的面积为，
三角形的直角边长分别为，
∴4个直角三角形的面积为，
小正方形的边长为，
∴小正方形的面积为，
∵4个直角三角形的面积与小正方形的面积的和为大正方形的面积，
∴，即，
故答案为： ．
18．（1）解：①勾股定理的表达式：，
故答案为：；
②如图2，即为所求；

（2）证明：如图3，连结、，

由题意可知：，
，，，，
，
，
，
，
．
．
，
，
，
，
，
．
考点讲练10：以弦图为背景的计算题
19．
解：由题意可得：大正方形的边长为，
小正方形的边长，
小正方形的面积为，
故答案为：
20．（1）解：①证明：中间小正方形的边长为，
小正方形的面积为
又四个直角三角形的面积为：，
大正方形的面积为：
又大正方形的边长为c，
大正方形的面积还可以表示为，
；
②解：由①可知，
，
，
，
，
，
舍负，
即直角三角形两直角边之和为；
（2）解：设，
，
外围轮廓实线的周长为48，
，
则
在中，
，
解得，
即，
．
考点讲练11：用勾股定理构造图形解决问题
21．（1）证明：由图可知，
，
．
；
（2）解：由题意得，，
设，则，，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
所以，该图形的面积是．
22．
解：由已知可得，，，
∴，
设的长为x，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
即，
整理得，，
∴
∴
而矩形面积为：，
故答案为：．
考点讲练12：勾股定理与无理数
23．
解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长，
∴点A表示的实数是，
故答案为：．
24．如图所示，
考点讲练13：判断三边能否构成直角三角形
25．（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵在中，，它的周长为．
∴，，
∵
∴是直角三角形．
（2）解：连接，如图所示：
∵点P从点A出发沿边向点C以每秒的速度移动，点Q从点C出发沿边向点B以每秒的速度移动．
∴经过3秒，，，
由（1）得是直角三角形．
则的面积．
26．（1）∵，且，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即；
（2），
过A作于E，则是的高，

∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即中边上的高是．
考点讲练14：图形上与已知两点构成直角三角形的点
27． 或5 4或10
解：如图，当时，是等腰三角形，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是等腰三角形，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是直角三角形，且，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是直角三角形，且，
，，
当时，，
解得：t=10．
故答案为：或5；4或10．
28．B
解：∵由勾股定理知，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，而直角边应该都小于斜边，所以直角三角形中，应该是较小两条边的平方和等于第三边的平方，∴A错误；
∵由勾股定理的逆定理可得：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，∴B正确；
∵，∴c为斜边，c的对角∠C=90 ，∴C错误；
∵△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠B=90 ，∴b为斜边，∴，D错误；
故选B．
考点讲练15：在网格中判断直角三角形
29．
解：延长交格点于，连接，
∴，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
故答案为：．
30．（1）解：由网格的特点和勾股定理可得；
（2）解：；
（3）解：如图所示，取格点C、D，连接交于Q，点Q即为所求；
可证明是等腰直角三角形，则，
可证明，则可证明．
考点讲练16：利用勾股定理的逆定理求解
31．解：连接，
在 中，，
在中，，且，
即，
，
，
，
所以需费用（元）．
32．（1）解：在中， ，， ，
根据勾股定理得，．
∴的长为5．
（2）解：∵，，，
∴，，
，
是直角三角形，且，
．
∴四边形的面积为36．
考点讲练17：勾股定理逆定理的实际应用
33．（1）解：，理由如下：
，，
，
为直角三角形，
，
；
（2）解：过作交的延长线于，延长交于，
，
，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
故购物车把手到的距离为．
34．解：符合安全标准，理由如下：
∵，，，
，
，
∴，
∴是直角三角形，且，
即，
∴符合安全标准．
考点讲练18：勾股定理逆定理的拓展问题
35．（1）证明：由题可知，，．
∵，
即，
∴是直角三角形，且，
∴．
（2）解：∵，，，，
∴．
答：修建的桥梁CD的长为．
36．解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，
∴52+122=x2，
∴x2=169，
当12是斜边，
则52+x2=122，
解得：x2=119，
故x2的值为169或119；
（3）∵a=2，b=4，
∴，
∴，
若△ABC是钝角三角形，
则或，
则或，
∴或；
若△ABC是直角三角形，
则或，
则或；
若△ABC是锐角三角形，
则或，
则或，
∴．
考点讲练19：求梯子滑落高度（勾股定理的应用）
37．（1）在中米，米
由勾股定理得，（米）
（米）．
∴风筝的垂直高度为米；
（2）∵米，
∴，
在中
由勾股定理得，（米）
（米）．
他应该往回收线7米．
38．（1）解：的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，
，
故答案为：；
（2）连接，
∵点B在直线上，
∴点A、B、F三点共线，
，米，米，米，
在中，米，
（米），
在中，米，
，
米，
∴小男孩需向右移动的距离为米．
考点讲练20：求旗杆高度（勾股定理的应用）
39．解：设米，根据题意得：
在中，，
即：，
解得：
答：旗杆的高度为米．
40．（1）解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，
在中，由勾股定理得，，
解得，
答：旗杆的高度为米；
（2）解：由题意可知，米， 米，，
在中，由勾股定理得米，
∴米，
∴米，
答：此时绳结到地面的高度为米．
考点讲练21：求小鸟飞行距离(勾股定理的应用）
41．解：由题意可得：，，
则，
故，
解得：，
则（m），
答：两杆底部距小鱼E处的距离分别是和．
42．B
解：如图，连接，
在中，（米），
∴（米），
即小鸟至少要飞行的长度为10米．
故选：B．
考点讲练22：求大树折断前的高度（勾股定理的应用）
43．16
由勾股定理得，，
所以．
故答案为：16．
44．（1）解：由题意，知．
因为，
设长为，则长，
则，
解得．
故旗杆距地面处折断；
（2）解：如图：
因为点P距地面，
所以，
所以，
则距离旗杆底部周围的范围内有被砸伤的风险，
所以在距离旗杆底部处有被砸伤的风险．
考点讲练23：解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）
45．
解：设水深尺，则尺，尺，
水池的边长为尺，
尺，
在中，，
，
解得：
水深为尺．
故答案为： ．
46．C
当筷子和杯底垂直时h最大，则最大，
当筷子和杯底及杯高成直角三角形时，h最小，此时，
故最小，
故取值范围是：．
故选：C
考点讲练24：解决航海问题（勾股定理的应用）
47．（1）解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上
∴，
∵港口A与灯塔C的距离是40海里，港口B与灯塔C的距离是30海里
（海里），
∵货船的航行速度为10海里/小时
（小时），
答：货船从A港口到B港口需要5小时；
（2）答：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下：
如图：过C作交于D，
在上取两点M，N使得海里
∵，
∴（海里），
∴（海里），
∵，
∴是等腰三角形
∵
∴海里，
∴（小时）
∵，
∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准．
48．（1）解：由题意，得：，；
；
海里，海里；
（海里），
即：点与点之间的距离为50海里；
（2）解：过点作交于点，在上取点，，使得海里．
；
；
；
海里；
海里；
海里；
行驶时间为（小时）．
答：有0.7小时可以接收到信号．
考点讲练25：求河宽（勾股定理的应用）
49．（1）解：，
∴梯形的面积为或，
，
，
即，
（2）解：设千米，则千米，
在中，，
即，解得：，即，
（千米），
答：新路比原路少千米，
（3）解：由题得，，
在中，，
在中，，
，
即，解得：．
50．（1）解：∵，
，
∴，即；
（2）解：设千米，则千米．
在中，，即，
解得：，
即千米，（千米）．
∴新路比原路短千米．
（3）解：设千米，则千米，
在中，，
在中，，
∴，即，
解得：，
∴的长为千米．
考点讲练26：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用）
51．（1）解：由题意可得，；
（2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为，
∴地毯面积为，
故答案为：
52．解：如图所示，

∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5，长为，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长，
由勾股定理得，
则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是13．
考点讲练27：判断汽车是否超速（勾股定理的应用）
53．（1）解：依题意可得，，
∴，为直角三角形
∵米，米，
∴米，
，
∴
答∶共用时4秒；
（2）解：超速，理由如下∶
，
∵，
∴该车超速．
54．（1）解：依题意可得，，
，为直角三角形，
米，米，
米，
，
；
答：共用时4秒；
（2）超速，理由如下：
，
，
超速．
考点讲练28：判断是否受台风影响（勾股定理的应用）
55．（1）解：海港受台风影响，理由如下：
如图，过点作于点，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴，
∵，
∴海港受台风影响．
（2）解：如图，当时，台风正好影响海港，
∴，
∴，
∵台风的速度为，
∴，
答：台风影响该海港持续的时间为．
考点讲练29：选址使到两地距离相等（勾股定理的应用）
56.解：∵C，D两村到E站的距离相等，
∴．
∵于A，于B，
∴，
∴，
∴，
设，则．
∵，，
∴，
解得：，
∴．
答：E站应建在离A站处．
57.（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，
则点即为所求．
（2）解：连接，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
∵两村到检修点的距离相等，
，
解得：．
，
答：检修点应建在距点16千米处．
考点讲练30：求最短路径(勾股定理的应用）
58.
【思路引导】本题主要考查勾股定理与最短路径问题；把正方体展开，使A、B两点在同一平面内，利用勾股定理即可求解．
【规范解答】解：如图，把棱长为的正方体展开，使A、B两点在同一平面内，
如图，当在同一条直线上时，
则，，
由勾股定理得：；
如图，当在同一条直线上时，
则，，
由勾股定理得：；
，
顶点爬到顶点的最短距离为．
故答案为：．
59.
解：如图，如图，将圆柱形容器侧面展开，连接，
则即为壁虎捕捉蚊子的最短距离，
由题意得：底面圆的周长为，高为，
∴，，
∴．
故答案为．