九年级数学上册试题 第1章 一元二次方程 单元测试卷--苏科版（含答案）

第1章《一元二次方程》单元测试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,）
1．下列方程为一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
3．设方程的两根分别是，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
4．下列关于的一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A． B．
C． D．
5．关于的一元二次方程没有实数根，则直线不经过的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．关于的方程的两个根是等腰 ABC的两条边长，已知一个根是2，则 ABC的周长为（ ）
A．14 B．10 C．14或10 D．10或12
7．已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（ ）．
A． B．1 C．或 D．或1
8．平面直角坐标系中，P点坐标为，且实数，满足则点到原点的距离的最小值为（　　）
A． B． C． D．
9．已知，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．若m，n同号，则 D．若m，n异号，则
10．印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．方程的解是 ．
12．若化简后的二次根式与是同类二次根式，则 ．
13．用配方法解方程，方程可化为，则 ．
14．已知关于x的一元二次方程的两个实数根相等，则 ．
15．如图，直线与轴交于点，与反比例函数交于点，将点绕点按逆时针方向旋转，其对应点恰好在轴上，则的值为 ．
16．方程的两个根分别是，则
17.图①为淮安清晏园中的曲桥，桥身蜿蜒曲折，与周围亭台阁楼相映成趣．图②是某景区池塘的示意图，点与点由段曲桥连接，各段桥长如图所示（单位：），桥中各弯曲处均成直角．若边与边垂直，边比边长，则
18．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，过点A的直线与y轴交于点B．将直线绕点A按顺时针方向旋转得到直线，设直线与y轴的负半轴交于点C，当时， ．
三、解答题（本大题共6个小题,共58分）
19.（8分）解方程：
（1）（用配方法解）； （2）（用公式法解）．
20.（8分）解方程：
（1）； （2）．
21.（10分）已知 ABC的两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边的长是10．
（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当n为何值时， ABC为等腰三角形？并求 ABC的周长．
22.（10分）如图，在菱形中，过点A作、垂直于、，垂足分别为E、F．
（1）求证；
（2）若，的面积为，求菱形的面积．
23.（10分）2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某玩具商店推出促销活动，已知吉祥物公仔每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，
（1）若“巳升升”吉祥物的销售单价增加元，则当天销售量为_________件；
（2）当该吉祥物公仔的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是3610元；
24.（12分）对于问题：关于的方程的解是，、、均为常数，，求方程的解．
（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题：
小明的思路 第1步 把1，代入到第1个方程中求出的值； 第2步 把的值代入到第1个方程中求出的值； 第3步 解第2个方程．
（2）小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“”，则“”的值为　　　　，从而更简单地解决了问题．
参考答案
一、选择题
1．A
解：A、符合定义，符合题意，故选项正确；
B、含有两个未知数不符合定义，不符合题意，故选项错误；
C、未知数的最高次数是3不符合定义，不符合题意，故选项错误；
D、含有分式不符合定义，不符合题意，故选项错误；
故选：A．
2．B
解：，
，
∴或，
，，
故选：B．
3．A
解：因为方程的两根分别是，
所以．
故选：A．
4．B
解：对于一元二次方程 ，判别式 ：
选项A：，
，，，
，方程有两个实数根．
选项B：
，，，
，方程无实数根．
选项C：
，，，
，方程有两个实数根．
选项D：
，，，
，方程有两个实数根．
综上，只有选项B的判别式为负，故无实数根．
故选B．
5．C
解：根据题意得，，
解得，
则直线，随着的增大而减小，且直线与轴交于正半轴，
所以，直线经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限，
故选：C．
6．A
解：由题意得
，
解得：，
设另一根为，
，
解得：，
当为腰时，
此种情况不符合；
当为腰时，
，
符合题意，
ABC的周长为：，
故选：A．
7．A
解：∵m是关于x的一元二次方程的一个实数根，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
整理可得：，
解得：或，
∵，
∴，
故选：A．
8．B
解：∵P点坐标为，
∴点到原点的距离为：，
∵，
∴
，
故选：B．
9．D
解：、．显然成立，故该选项不符合题意；
、展开得：，故该选项不符合题意；
、∵，又m，n同号，
∴，
∴m，n是一元二次方程的两个同号根，
∴，
∴，
又∵
∴，故该选项不符合题意；
、∵，又m，n异号，
∴，
∴m，n是一元二次方程的两个异号根，
∴，
∴，则或,
又∵
综上可，故该选项符合题意；
故选：D．
10．D
解：这群猴子的总数是只，
一队猴子数是只．
根据题意得：．
故选：D．
二、填空题
11．，
解：方程变形为，
或，
解得，，
故答案为：，．
12．3
解：化简后的二次根式与是同类二次根式，
，
解得：，，
当时，，，
是最简二次根式，且二者相等，是同类二次根式，
故符合题意。
当时，，
不是最简二次根式，不符合题干“化简后的二次根式”的要求，
故不符合题意，应舍去，
综上所述，，
故答案为：3．
13．4
解：
，
∴，
故答案为：4．
14．
解：∵一元二次方程的两个实数根相等，
∴，且，
解得，
故答案为：．
15．48
解：如图，作轴于点，记直线交轴于点，
在直线中，
当时，，当时，，
∴，，
∴，，，
由旋转的性质得，
∴，
设，则，
∵，
∴，
整理得，
解得，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质得，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：48．
16．
解：∵方程的两个根分别是，
∴，，
∴，，
∴
，
故答案为：．
17．9
解：如图，作交的延长线于点，连接
设，则，依题意得
解得：或（舍去）
故答案为：．
18．
解：过作轴于，过作交于，过作轴于，
∴，
∴，
∵将直线绕点A按顺时针方向旋转得到直线，直线与y轴的负半轴交于点C，
∴，点必定在y轴的正半轴且在点下方，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，则，，
∵点A的坐标是，
∴，
∴，，
∴，
∴；
设，则直线解析式为，
代入，得，
解得，
整理得：①，
∵，，，
∴，
整理得：②，
得，，
∴，
解得：（舍去）或，
∴．
故答案为：．
三、解答题
19.（1）解：，
，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
，
∴，
∴方程有两不等实数根，
∴，
∴．
20.（1）解：
∴ =102 -4×3×（-3）=136>0 ，
，
，
经检验，是该方程的解，
方程的解为；
（2）解：
，
经检验，使得，
是该方程的增根，
故该方程无解．
21.
解：（1）证明：
∴无论n为何值方程总有两个不等实根；
（2）解：∵方程有两个不相等实根，
ABC为等腰三角形，
∴方程的其中一根应为10，
∴，
即：，
解得，
当时，方程为，
解得，
∴三边为10，10，12，周长为，
当时，方程为，
解得，
∴三边为8，10，10，周长为．
22.
解：（1）证明：∵菱形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
设等边的边长为，
∵的面积为，
∴，
解得：（负值已舍去），
∴，
设，则，
∵在中，，
∴，
解得：（负值已舍去），
∴，，
∴菱形的面积．
23.
解：（1）解：设“巳升升”吉祥物的销售单价增加元，
则当天销售量为件，
故答案为：；
（2）设该吉祥物公仔的销售单价为y元（），
则当天的销售量为件，
依题意，得：，
整理，得，
解得：．
答：当该吉祥物公仔的销售单价为49元时，该产品的当天销售利润是3610元．
24.（1）解：把，分别代入原方程得，，
得：，
∵，
∴，
解得：，
原方程为：，
，
将和代入第2个方程得，，
解得：，；
（2）解：把第二个方程中的“”看作第一个方程中的“”，
∵x的值为1或,
则“”的值为1或；
故答案为：1或；