江苏省泰州市泰兴一中2015-2016学年高二（下）第一次段测数学试卷（理科）（解析版）

2015-2016学年江苏省泰州市泰兴一中高二（下）第一次段测数学试卷（理科）
　
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上。
1．
=　　．
2．把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是　　事件．
（填“对立”、“不可能”、“互斥事件”、“互斥事件，但不是对立”中的一个）
3．下面的伪代码执行后的结果是　　．
4．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为　　．
5．若平面α的一个法向量为=（4，1，1），直线l的一个方向向量为=（﹣2，﹣3，3），则l与α所成角的正弦值为　　．
6．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离|PA|＜1的概率为　　．
7．袋中有1个白球，2个黄球，先从中摸出一球，再从剩下的球中摸出一球，两次都是黄球的概率为　　．
8．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都为45°，则||=　　．
9．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组（即第五组）的频数为　　．
10．若执行如图所示的框图，输入x1=1，x2=2，x3=3，
=2，则输出的数等于　　．
11．现在某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为　　．
12．某班有48名学生，在一次考试中统计出的平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分缺记成了50分，乙实得70分缺记成了100分，则更正后平均分是　　，方差是　　．
13．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是　　．
14．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有　　种（用数字作答）．
　
二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．
15．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的数学平均分．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0
（1）若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率．
（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程没有实根的概率．
17．三棱柱ABC﹣A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中．已知AB=2，AC=4，A1A=3，D是BC的中点．
（1）求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；
（2）求二面角B1﹣A1D﹣C1的正弦值．
18．现有2位男生和3位女生共5位同学站成一排．（用数字作答）
（1）若2位男生相邻且3位女生相邻，则共有多少种不同的排法？
（2）若男女相间，则共有多少种不同的排法？
（3）若男生甲不站两端，女生乙不站最中间，则共有多少种不同的排法？
19．在三棱锥S﹣ABC中，底面是边长为的正三角形，点S在底面ABC上的射影O恰是AC的中点，侧棱SB和底面成45°角．
（1）若D为侧棱SB上一点，当为何值时，CD⊥AB；
（2）求二面角S﹣BC﹣A的余弦值大小．
20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A1B=2．
（1）求棱AA1与BC所成的角的大小；
（2）在棱B1C1上确定一点P，使二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为．
　
2015-2016学年江苏省泰州市泰兴一中高二（下）第一次段测数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上。
1．
=　360　．
【考点】排列及排列数公式．
【分析】利用排列计算公式即可得出．
【解答】解：原式=6×5×4×3=360．
故答案为：360．
　
2．把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是　互斥事件，但不是对立　事件．
（填“对立”、“不可能”、“互斥事件”、“互斥事件，但不是对立”中的一个）
【考点】随机事件．
【分析】利用互斥事件、对立事件的定义和性质直接求解．
【解答】解：红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，
∵事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”不能同时发生，但能同时不发生，
∴事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是互斥事件，但不是对立事件．
故答案为：互斥事件，但不是对立．
　
3．下面的伪代码执行后的结果是　41　．
【考点】茎叶图．
【分析】模拟程序的运行过程，即可得出结论．
【解答】解：由已知中的源代码，我们可模拟程序的运行过程：
当i=1时，S=0，进入循环，S=1；
当i=2时，S=1，进入循环，S=3；
当i=3时，S=3，进入循环，S=10；
当i=4时，S=10，进入循环，S=41；
i=5＞4．
故答案为：41．
　
4．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为　10　．
【考点】系统抽样方法．
【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750
求得正整数n的个数，即为所求．
【解答】解：由960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，
且此等差数列的通项公式为an=9+（n﹣1）30=30n﹣21．
由
451≤30n﹣21≤750
解得
15.7≤n≤25.7．
再由n为正整数可得
16≤n≤25，且
n∈z，
故做问卷B的人数为10，
故答案为：10．
　
5．若平面α的一个法向量为=（4，1，1），直线l的一个方向向量为=（﹣2，﹣3，3），则l与α所成角的正弦值为　　．
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【分析】设l与α所成角为θ，由sinθ=|cos＜＞|，能求出l与α所成角的正弦值．
【解答】解：∵平面α的一个法向量为=（4，1，1），直线l的一个方向向量为=（﹣2，﹣3，3），
设l与α所成角为θ，
则sinθ=|cos＜＞|===．
∴l与α所成角的正弦值为．
故答案为：．
　
6．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离|PA|＜1的概率为　　．
【考点】几何概型．
【分析】根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD的面积，以及动点P到定点A的距离|PA|＜1对应的平面区域面积，代入几何概型计算公式加以计算，可得所求概率．
【解答】解：作出满足条件的正方形ABCD，如图所示．
其中使得动点P到定点A的距离|PA|＜1的平面区域，是以A为圆心半径等于1的扇形ABD内部，如图中阴影所示．
∵正方形的面积S=1，扇形ABD的面积=．
∴动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率P==．
故答案为：
　
7．袋中有1个白球，2个黄球，先从中摸出一球，再从剩下的球中摸出一球，两次都是黄球的概率为　　．
【考点】等可能事件的概率．
【分析】先求出第一次摸出黄球的概率，再求出第二次也摸出黄球的概率，相乘，即得所求．
【解答】解：第一次摸出黄球的概率等于，第二次也摸出黄球的概率等于，
故两次都是黄球的概率为
=，
故答案为．
　
8．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都为45°，则||=　　．
【考点】点、线、面间的距离计算．
【分析】设
=，
=，
=，则两两夹角为45°，且模均为1．根据向量加法的平行四边形法则，我们易得
=++=++．我们易根据向量数量积的运算法则，求出AC1的模，即AC1的长；
【解答】解：设
=，
=，
=，则两两夹角为45°，且模均为1．
=++=++．
∴||2=（
++）2
=3+6×1×1×=3+3，
∴|AC1|=，即AC1的长为：．
故答案为：．
　
9．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组（即第五组）的频数为　360　．
【考点】频率分布直方图．
【分析】设出公差，利用9个小长方形面积和为1，求出公差，然后求解中间一组的频数．
【解答】解：设公差为d，那么9个小长方形的面积分别为0.02，0.02+d，0.02+2d，0.02+3d，0.02+4d，0.02+3d，0.02+2d，0.02+d，0.02，而9个小长方形的面积和为
1，可得
0.18+16d=1
解得d=，
∴中间一组的频数为：1600×（0.02+4d）=360．
故答案为：360．
　
10．若执行如图所示的框图，输入x1=1，x2=2，x3=3，
=2，则输出的数等于　　．
【考点】循环结构．
【分析】先弄清该算法功能，S=0+（1﹣2）2=1，i=1，满足条件i＜3，执行循环体，依此类推，当i=3，不满足条件i＜3，退出循环体，输出所求即可．
【解答】解：S=0+（1﹣2）2=1，i=1，满足条件i＜3，执行循环体，i=2
S=1+（2﹣2）2=1，i=2，满足条件i＜3，执行循环体，i=3
S=1+（3﹣2）2=2，i=3，不满足条件i＜3，退出循环体，
则S=×2=
故答案为：
　
11．现在某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为　　．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】求出m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，m取到奇数，n取到奇数的方法种数，直接由古典概型的概率计算公式求解．
【解答】解：m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，共有7×9=63种取法．
m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，
则m，n都取到奇数的方法种数为4×5=20种．
所以m，n都取到奇数的概率为．
故答案为．
　
12．某班有48名学生，在一次考试中统计出的平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分缺记成了50分，乙实得70分缺记成了100分，则更正后平均分是　70　，方差是　50　．
【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．
【分析】利用方差和平均数的计算公式求解．
【解答】解：更正后平均分是：
=（48×70﹣50﹣100+80+70）=70，
更正后方差为：
S2=（48×75﹣（50﹣70）2﹣2+（80﹣70）2+（70﹣70）2]=50．
故答案为：50．
　
13．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是　18　．
【考点】计数原理的应用．
【分析】因为lga﹣lgb=lg，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数可看作共可得到多少个不同的数，从1，3，5，7，9这五个数中任取2个数排列后（两数在分子和分母不同），减去相同的数字即可得到答案．
【解答】解：首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共A52=20有种排法，
因为=，
=，
所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，
共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是：20﹣2=18，
故答案为：18．
　
14．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有　432　种（用数字作答）．
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，分析可得，数字之和为10的情况有4，4，1，1；4，3，2，1；
3，3，2，2；再依次求得每种情况下的排法数目，进而由加法原理，相加可得答案．
【解答】解：数字之和为10的情况有4，4，1，1；4，3，2，1；
3，3，2，2；
取出的卡片数字为4，4，1，1时；有A44种不同排法；
取出的卡片数字为3，3，2，2时；有A44种不同排法；
取出的卡片数字为4，3，2，1时；每个数字都有两种不同的取法，则有24A44种不同排法；
所以共有2A44+24A44=18A44=432种不同排法．
　
二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．
15．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的数学平均分．
【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．
【分析】（1）频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于1，可求出分数在[70，80）内的频率，即可求出矩形的高，画出图象即可
（2）同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分
【解答】解：（1）分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.05+0.1+0.15+0.15+0.25）=0.30
，补全后的直方图如图：
（2）估计本次考试的数学平均分为=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．
　
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0
（1）若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率．
（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程没有实根的概率．
【考点】等可能事件的概率．
【分析】（1）本题是一个古典概型，用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件，基本事件（a，b）的总数有36个满足条件的事件是二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有两正根，根据实根分布得到关系式，得到概率．
（2）本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a﹣2）2+b2＜16}，做出两者的面积，得到概率．
【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型
用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件
依题意知，基本事件（a，b）的总数有36个
二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有两正根，
等价于
即
“方程有两个正根”的事件为A，则事件A包含的基本事件为（6，1）、
（6，2）、（6，3）、（5，3）共4个
∴所求的概率为
（2）由题意知本题是一个几何概型，
试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，
其面积为S（Ω）=16
满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a﹣2）2+b2＜16}
其面积为
∴所求的概率P（B）=
　
17．三棱柱ABC﹣A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中．已知AB=2，AC=4，A1A=3，D是BC的中点．
（1）求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；
（2）求二面角B1﹣A1D﹣C1的正弦值．
【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角．
【分析】（1）由题中的坐标系，得到A、B、C、D、A1、B1、C1各点的坐标，从而得出、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组解出=（3，0，1）是平面A1C1D的一个法向量，结合=（1，﹣2，3），
利用空间向量的夹角公式和直线所平面所成角的定义与性质，即可算出直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；
（2）设平面A1B1D的一个法向量为=（a，b，c），由、的坐标利用数量积为零建立关于a、b、c的方程组，得到=（0，3，2），结合=（3，0，1）是平面A1C1D的一个法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦值，再由同角三角函数的关系即可算出二面角B1﹣A1D﹣C1的正弦值．
【解答】解：（1）根据题意，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），
D（1，2，0），A1（0，0，3），B1（2，0，3），C1（0，4，3），
∴=（1，2，﹣3），=（0，4，0），
设平面A1C1D的一个法向量是=（x，y，z），
可得：，
取z=1，得x=3，y=0，可得=（3，0，1），
设直线DB1与平面A1C1D所成角为α，而=（1，﹣2，3），
∴sinα=|cos＜，＞|==．
因此，直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值等于；
（2）设平面A1B1D的一个法向量为=（a，b，c），
结合=（1，2，﹣3）、=（2，0，0），可得：，
取b=3，得a=0，c=2，可得=（0，3，2），
设二面角B1﹣A1D﹣C1的大小为β，得
|cosβ|=|cos＜，＞|===
∴sinβ==，即二面角B1﹣A1D﹣C1的正弦值等于．
　
18．现有2位男生和3位女生共5位同学站成一排．（用数字作答）
（1）若2位男生相邻且3位女生相邻，则共有多少种不同的排法？
（2）若男女相间，则共有多少种不同的排法？
（3）若男生甲不站两端，女生乙不站最中间，则共有多少种不同的排法？
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】（1）相邻问题利用捆绑法；
（2）若男女相间，则用插空法；
（3）若男生甲不站两端，女生乙不站最中间，则利用间接法．
【解答】解：（1）利用捆绑法，可得共有A22A22A33=24种不同的排法；
（2）利用插空法，可得共有A22A33=12种不同的排法；
（3）利用间接法，可得共有A55﹣3A44+C21A33=60种不同的排法．
　
19．在三棱锥S﹣ABC中，底面是边长为的正三角形，点S在底面ABC上的射影O恰是AC的中点，侧棱SB和底面成45°角．
（1）若D为侧棱SB上一点，当为何值时，CD⊥AB；
（2）求二面角S﹣BC﹣A的余弦值大小．
【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质．
【分析】（1）以OB、OC、OS为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，由SB和底面成45°角得Rt△SOB中，S0=OB=3，从而得到A、B、C、S各点的坐标．设（0＜λ＜1），算出向量=（3﹣3λ，﹣，3λ），结合=（3，，0）且，解关于λ的方程得，即可求出满足条件的值；
（2）利用垂直向量数量积为0的方法，列方程解出是平面SBC的一个法向量，而是平面ACB的一个法向量，从而算出cos＜＞=，由此即可得出二面角S﹣BC﹣A的余弦值大小．
【解答】解：（1）根据题意，OB、OC、OS所在直线两两互相垂直
因此以OB、OC、OS为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示
∵SB和底面成45°角，∴Rt△SOB中，∠SB0=45°，S0=OB==3
由此可得C（0，，0），A（0，﹣，0），S（0，0，3），B（3，0，0）
设（0＜λ＜1），则
=（3﹣3λ，0，3λ）
∴==（3﹣3λ，0，3λ）﹣（0，，0）=（3﹣3λ，﹣，3λ）
∵=（3，，0），且
∴=3（3﹣3λ）+×（﹣）+0=0，解之得
故，可得，即=时CD⊥AB；
（2）设平面SBC的一个法向量为
则，取z=1得
∵是平面ACB的一个法向量
∴所成角（或其补角）就是二面角S﹣BC﹣A的平面角
∵cos＜＞===
由图形可知二面角S﹣BC﹣A是锐二面角
∴二面角S﹣BC﹣A的余弦值大小为arccos．
　
20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A1B=2．
（1）求棱AA1与BC所成的角的大小；
（2）在棱B1C1上确定一点P，使二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为．
【考点】用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法．
【分析】（1）因为AB⊥AC，A1B⊥平面ABC，所以以A为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y轴，以过A，且平行于BA1的直线为z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A1B=2求出所要用到的点的坐标，求出棱AA1与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AA1与BC所成的角的大小；
（2）设棱B1C1上的一点P，由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABA1的一个法向量，把二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标．
【解答】解：（1）如图，以A为原点，AC、AB所在直线分别为x轴和y轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），
，．
所以==，
所以向量与所成的角为，
故AA1与棱BC所成的角是．
（2）设P为棱B1C1上的点，
由，得P（2λ，4﹣2λ，2）．
设平面PAB的法向量为=（x，y，z），
，，
由，得，
取x=1，得z=﹣λ，故=（1，0，﹣λ）．
而平面ABA1的一个法向量是=（1，0，0），
则=，
解得，即P为棱B1C1中点，其坐标为P（1，3，2）．
　
2016年10月20日