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同步探究学案
课题 数学活动 探究比例的性质与探究取值的规律 单元 第十八章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．通过探究比例的性质，掌握比例的相关性质，并能进行简单证明与应用． 2．探究分式取值规律． 3．培养从特殊到一般的探究思维、小组合作能力与逻辑推理能力．
重点 比例相关性质的探究与证明；分式取值规律的发现与验证．
难点 比例性质证明过程中分式基本性质的灵活运用；分式取值规律的严谨证明及逆向运用．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：已知3:4=6:8，请同学们计算、的值，观察它们之间有什么关系？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助比例的性质及完全平方公式，研究比例的相关性质及分式的取值规律。 活动1：探究比例的相关性质 找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立（即a，b，c，d成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之间有什么关系． （1）和；（2）和；（3）和；（4）和． 多找几组这样的数a，b，c，d试一试． 猜想各组中的两个分式之间的关系，并证明你的猜想． 活动2：探究取值的规律 填写下表，分别求出当，，，，，，，，，时的值．
由填写完成的表，你能提出关于的值的一些猜想吗？能证明你提出的猜想吗？
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．若，则 ． 3．已知，求的值 选做题： 4．已知，则 ． 【综合拓展类练习】 5．一道习题及其不完整的解答过程如下： 已知，求的值． 解：设， 则，， ① ，……第一步 ② ．……第二步
(1)第一步的①处应填________，第二步的②处应填________； (2)模仿上述解答过程，已知，求的值．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知，下列比例式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 2．已知，则 ． 3．已知 ，且，求的值． 选做题： 4．若，则的值是________ 【综合拓展类作业】 5．（1）若，，则__________； （2）若，则__________.
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第十八章 分式
数学活动 探究比例的性质与探究取值的规律
1．通过探究比例的性质，掌握比例的相关性质，并能进行简单证明与应用．
2．探究分式取值规律．
3．培养从特殊到一般的探究思维、小组合作能力与逻辑推理能力．
问题：已知3:4=6:8，请同学们计算、的值，观察它们之间有什么关系？
=
这些比例式中隐藏着怎样的规律？类似的规律在其他比例中是否也存在？今天我们通过数学活动一起探索比例的奥秘吧！
活动1：探究比例的相关性质
找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立（即a，b，c，d成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之间有什么关系．
（1）和； （2）和；
（3）和； （4）和．
多找几组这样的数a，b，c，d试一试．
猜想各组中的两个分式之间的关系，并证明你的猜想．
猜想：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若且），则．
你能证明这些猜想吗？
（1）若，则； （2）若，则；
证明：（1）∵
∴
即
∴
（2）∵
∴
∴
（3）若，则；
（3）∵
∴
即：
（4）若且），则．
（4）设，则
∵
，
∴
比例的相关性质
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若且），则．
活动2：探究取值的规律
填写下表，分别求出当，，，，，，，，，时的值．
由填写完成的表，你能提出关于的值的一些猜想吗？能证明你提出的猜想吗？
2 2
归纳：
（1）与对应的代数式值相等；
（2）为正数和对应的负数时，代数式值相等；
（3）代数式的最小值为2．
2 2
【知识技能类练习】必做题：
1．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
A
【知识技能类练习】必做题：
2．若，则 ．
2
【知识技能类练习】必做题：
3．已知，求的值
解：∵，
∴．
【知识技能类练习】选做题：
4．已知，则 ．
【综合拓展类练习】
5．一道习题及其不完整的解答过程如下：
已知，求的值．
解：设，
则，， ① ，……第一步
② ．……第二步
(1)第一步的①处应填________，第二步的②处应填________；
【综合拓展类练习】
(2)模仿上述解答过程，已知，求的值．
解：（2）设，
，
．
数学活动
探究取值的规律
探究比例的相关性质
【知识技能类作业】必做题：
1．已知，下列比例式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
A
【知识技能类作业】必做题：
2．已知，则 ．
14
【知识技能类作业】必做题：
3．已知 ，且，求的值．
解：设，
，
则，
，
的值为．
【知识技能类作业】选做题：
4．若，则的值是________
【综合拓展类作业】
5．（1）若，，则__________；
（2）若，则__________.中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第十三课时《数学活动 探究比例的性质与探究取值的规律》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是人教2024版八上分式这一章的章末数学活动课，承接分式基本性质与比例基础内容．教材通过两个核心活动展开，一是探究比例合比、分比等性质，二是探索分式的取值规律，通过“观察—猜想—证明”借助类比思想与数式通性，衔接分数相关知识，注重知识迁移，既巩固分式运算与推理能力，又渗透建模思想，为后续函数值域、比例应用等学习奠定基础．
学习者分析 学生已掌握分式的基本性质、分式的加减乘除运算，以及比例的基本性质，具备初步的合情推理和演绎推理能力．学生对动手操作、自主探究类活动兴趣较高，但在抽象证明和规律总结方面仍需引导，尤其在运用分式性质进行严谨推理时可能存在困难，需要通过实例铺垫和分步引导突破难点．
教学目标 1．通过探究比例的性质，掌握比例的相关性质，并能进行简单证明与应用． 2．探究分式取值规律． 3．培养从特殊到一般的探究思维、小组合作能力与逻辑推理能力．
教学重点 比例相关性质的探究与证明；分式取值规律的发现与验证．
教学难点 比例性质证明过程中分式基本性质的灵活运用；分式取值规律的严谨证明及逆向运用．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．通过探究比例的性质，掌握比例的相关性质，并能进行简单证明与应用． 2．探究分式取值规律． 3．培养从特殊到一般的探究思维、小组合作能力与逻辑推理能力．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：已知3:4=6:8，请同学们计算、的值，观察它们之间有什么关系？ 预设：= 导言：这些比例式中隐藏着怎样的规律？类似的规律在其他比例中是否也存在？今天我们通过数学活动一起探索比例的奥秘吧！学生活动2： 学生独立计算后分享结果活动意图说明： 从具体比例式切入，通过简单计算引发学生认知冲突，快速聚焦探究主题．衔接已学比例基本性质，搭建知识迁移桥梁，激发学生好奇心与探究欲，为后续活动铺垫．环节三：新知讲解教师活动3： 活动1：探究比例的相关性质 找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立（即a，b，c，d成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之间有什么关系． （1）和；（2）和； （3）和；（4）和． 多找几组这样的数a，b，c，d试一试． 猜想各组中的两个分式之间的关系，并证明你的猜想． 预设： 1．分组任务：4人一组，每组找3组非零数，满足（如；等）． 计算记录：在任务单上计算4组分式的值：与、与、与、与（需满足）． 2．猜想 （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若且），则． 3．证明 （1）∵ ∴ 即 ∴ （2）∵ ∴ ∴ （3）∵ ∴ 即： （4）设，则 ∵ ， ∴ 4．归纳： 比例的相关性质： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若且），则． 指出：比例性质的前提是“各分母不为0”，可用于分式化简与比例变形． 活动2：探究取值的规律 填写下表，分别求出当，，，，，，，，，时的值．
由填写完成的表，你能提出关于的值的一些猜想吗？能证明你提出的猜想吗？ 预设：，，2，，，，，2，， 归纳：（1）与对应的代数式值相等； （2）为正数和对应的负数时，代数式值相等； （3）代数式的最小值为2．学生活动3： 学生分小组合作探究，每组派代表展示数据，说说发现的规律，然后认真听老师的点评与讲解 活动意图说明： 通过分组探究、猜想归纳与逻辑证明，让学生亲历 “特殊到一般” 过程，掌握比例性质、发现代数式取值规律，提升分式运算与推理能力，深化公式应用，渗透数学思想，培养合作探究意识．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：数学活动 探究比例的性质与探究取值的规律一、比例的性质 二、取值的规律教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 答案：A 解析：本题考查比例性质求分式值，熟记比例性质是解决问题的关键． 根据已知比例关系，设参数表示和，代入分式计算即可得到答案． 解：∵， 则设，，其中， ∴， 故选：A． 2．若，则 ． 答案：2 解析：本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，利用完全平方公式展开所求表达式，并代入已知条件计算，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 解：∵， ∴， 故答案为：． 3．已知，求的值 答案： 解析：本题考查比例的性质．根据比例的性质，即可求解． 解：∵， ∴． 选做题： 4．已知，则 ． 答案： 解析：本题考查比例性质，熟记比例性质是解决问题的关键． 由，可设，将代入计算即可得到答案． 解： ， 设， ， 故答案为：． 【综合拓展类练习】 5．一道习题及其不完整的解答过程如下： 已知，求的值． 解：设， 则，， ① ，……第一步 ② ．……第二步
(1)第一步的①处应填________，第二步的②处应填________； (2)模仿上述解答过程，已知，求的值． 答案：(1)； (2) 解析：本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． （1）根据比例的基本性质即可得到答案； （2）设，得到，代入计算即可得到答案． 解：（1）第一步的①处应填，第二步的②处应填； 故答案为：，； （2）设， ， ．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知，下列比例式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：A 解析：本题考查了比例的性质，解题关键是掌握比例的性质并能熟练运用求解． 由已知等式直接利用比例的基本性质推导． 解：∵， ∴， ∴选项A正确， 故选：A． 2．已知，则 ． 答案：14 解析：本题考查了完全平方公式的应用． 由已知方程变形得到的值，然后利用完全平方公式求解． 解：由，可知， 两边同除以得， 即． 则， 即， 所以． 故答案为：14． 3．已知 ，且，求的值． 答案： 解析：本题考查了比例的基本性质，分式的化简求值，掌握比例的基本性质是解题的关键． 设，得，再代入进行化简计算即可． 解：设， ， 则， ， 的值为． 选做题： 4．若，则的值是 答案： 解析：本题考查了比例的性质，由已知条件求出与的比值，设（），则， 再代入所求分式计算即可得出结果，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 解：∵， ∴， ∴， 设（），则， ∴， 故答案为：． 【综合拓展类作业】 5．（1）若，，则__________； （2）若，则__________； 答案：（1）；（2）； 解析：本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据完全平方公式变形求解即可； （2）根据完全平方公式变形求解即可； 解：（1）， ，即， 又， ； 故答案为：； （2）， ，即， ， ； 故答案为：．
教学反思 本节课通过两个探究活动，引导学生自主参与知识形成过程，有效激发了学生的学习兴趣．在比例性质证明和分式规律探究环节，多数学生能通过小组合作完成任务，但部分学生在严谨性方面仍需加强．后续教学中，可增加针对性的证明练习，同时设计更多开放性问题，进一步提升学生的逻辑推理能力和创新思维．
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