山东省2025年夏季普通高中学业水平合格考试数学试题（含解析）

山东省2025年夏季普通高中学业水平合格考试数学试题
本试卷共4页，满分为 100分，考试时间为90分钟
一、选择题(本题共20小题，每小题3分，共60分，每小题只有一个选项符合题目要求。)
1 . 已知全集U={1,2,3,4},集合M={1,2},则集合 = ( )
A . {1,2} B . {3,4}
C . {2,4} D . {1,2,3,4}
2 . i是虚数单位,≈+2i=1+i,则复数x的实部是 ( )
A . -1 B . 1
C . 2 D . 3
3 . 若向量 则a·b=( )
A . -3 B . -2
C . 3 D . 2
4 . 若a＞1,b＜ . 2,则a-b的取值范围是 ( )
A . (-1,1∞) B . (-∞,3)
C . [-1,+∞) D . (-∞,3]
5 . 已知函数y=f(x)图象如图所示，则该函数解析式可能是
( )
( )
A . B .
C . D .
7 . 抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件A-“正面向上”，则下面结论正确的是 ( )
A . 抛掷1次硬币，事件A 发生的概率为1
B . 抛掷10次硬币，事件A发生的次数一定是5
C . 重复抛掷硬币，事件A 发生的频率等于事件A 发生的频率
D . 重复抛掷硬币，随着抛掷次数的增大，事件A发生的频率稳定于0 . 5
8 . 已知函数 且a≠1) . 若 . x ,x ∈R,则 ( )
9 . 已知圆锥的底面半径为1，母线长为 则圆锥的体积为 ( )
A . B . π
C,2π: D . 3π
10 . 函数 的定义域是
A . {x|1＜x＜2}
C . {x|1≤x≤2} D . {x|x＜1或x＞2}
11 . 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c . 若 则b= ( )
A . 1 B .
C . D . 7
12 . 下列样木数据中，方差最大的一组是()
A . 5,5,5,5,5 B . 4,4,5,6,6
C . 3,3,5,7,7 D . 2,2,5,8 . 8
13 . 下列命题中为假命题的是 ( )
D . xC(0,|∞), ln(x|1)＞0
14 . 某企业三个分厂生产同一种电子产品，产量分布如图所示。若第一，第二，第三分厂生产每件电子产品的成本(单位：元)分别为9 . 8，10，10 . 2，则该企业每件电子产品的平均成本约为 ( )
A . 9 . 02 B . 9 . 06
C . 9 . 94 D . 9 . 96
15 . 已知 则cos20= ( )
A .
C . D .
16 . 声强I(单位：W/m )是指声音的强度，声强级 L(单位:dB)与声强的关系为 L = 若两人交谈时的声强为10 ,则声强级为 ( )
A . 6 B . 30
C . 60 D . 120
是 的 ( )
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
18 . 已知a= logo . s0 . 3,b=log 0 . 5,c= logc,30 . 5,则 ( )
A . a＜b＜c B . b＜a＜c
C . c＜b＜u D . b＜c＜ . a
19 . 已知 f(x)是定义域为R为奇函数,满足 f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则 f(1)+∫(2)+f(3)+…+f(10)= ( )
A . -10 B . 0
C . 2 P10
20 . 如图是一个正方体的展开图，将其还原为正方体后，则
A . AB∥EF
B . B,C,D,H四点共面
C . AB∥平面DEF
D . AF⊥平面BCD
二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分)
21 . 某志愿服务小组有两名男生和两名女生，从中任选一人参加志愿服务，则女生被选中的概率是
22 . 若函数 是增函数，则实数a 的取值范围是 .
23 . 已知向量 e ，e 不共线，若向量 与 的方向相同，则实数λ的值为 .
24 . 已知a＞0,若x＞0,y＞0时,不等式(x+y) 成立 . 则a 的最小值是 .
25 . 如图,A、B、C 为山脚两侧共线的三点,M、N,A,C在同 一铅垂平面内，计划沿线直 AC 开通穿山隧道 . 若在山顶 P 处测得三点A，B，C的俯角分别为∠MPA=30°,∠NPB=45°,∠NPC=30°,若 BC=1km,则隧道 DE的长度是 km .
三、解答题(本题共3小题，共25分 . )
26 . (本小题满分 8 分)已知函数 f(x)- 将函数 y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求函数 y=g(x)的最小正周期与值域 .
27 . (本小题满分8分)如图，在三棱锥 P-ABC 中,∠ACB-90°,PA⊥平面ABC .
(1)求证:BC⊥平面 PAC;
(2)D 是 PA 的中点,在 AC上是否存在点E,使得 DE∥平面 PBC 若存在,确定点 E的位置，并证明；若不存在，说明理由 .
28 . (本小题满分 9分)已知函数 mx+1 .
(1)若f(x)是偶函数，求实数m的值；
(2)若函数 2|, x ∈|0,π|,使得 求实数m的取值范围 .
山东省2025年夏季普通高中学业水平合格考试
数学答案
1 . B 由题意可得U={1,2,3,4},集合 M={1,2} .
2 . B 首先,z+2i-2i-1+i-2i,简化后,得z-1-i . 1是实部，-1是虚部 .
-3 .
4 . A 由于b＜2,可得 b＞ 2,a|(b)＞1( (2);简化得a-b＞-1,即a-b的取值范围是:(-1,+∞) .
5 . B 选项A, 在(-∞,0)和((0,() . 上均单调递减，与图象不符 . 选项 . B: 在( ):(1)上先增后减，在(0，+∞)上先减后增，与图象一致 . 选项( 在(-∞,0)和(0,+∞)区间上均单调递增，与图象不符 . 选项D, 非奇函数，与图象不符。
5 . A 原式
7 . D选项A，对于一枚质池均匀的硬币，正面朝上的概率是 ，故A 错误 . 选项B，虽然正面朝上的期望次数是5，但并不能保证正面朝上的次数刚好是5，选项B错误 . 选项C，寒伴A 的频率是观察到的正面次数除以总抛挥次数，而这个频率不一定等于事件A的概率(即 )，选项C错误 . 选项D，根据大数定律，随着抛掷次数的增加，观察到的正面频率将接近正面概率 . 即 ，选项D正确 .
8 . B 选项A, ≠ 播除,选项B, . f∫(x ),故符合,选项C, 与 不相等，排除，选项D 与不相等，排除 .
9 . B由勾股定理，高 圆锥体积公式 代入得
10 . A使原函数有意义即分母不为零且平方根下为正数。,-x -3x-2=-(x-1)(x-2),因此,不等式变为-(x-1)(x-2)＞0,等价于(x-1)(x-2)＜0,解得x∈(1,2),这意味着函数 的定义域是{x|1＜＜ . r＜2} .
由余弦定理得 1+3+3=7,则
12 . D选项A ，平均数 方差 选项 B . 平均数 方差 选项C，平均 数 方 差选项 D . 平均数
方差
13 . C 选项A . 例如 和2 =4),因此这个命题是真命题；选项B，由于 . 对于所有实数x都成立，所以 也成立，该命题为真命题；选项 . 由于判别式△小于C，二次方程 没有实数解，该命题为假命题；选项 D，由于：y= ln(x+1)是增函数,且ln1=0,对于x＞0,有x+1＞1,因此 ln(x+1)＞ ln 1-0,该命题为真命题 .
14 . 1〕 平均成本为9 . 8×0 . 5÷10×0 . 2+10 . 2×0 . 3-4 . 9 2|3 . C6=9 . 96 .
15 . A利用余弦的二倍角公式cos 2θ=1-2sin θ代入得
16 . C 若两人交谈的声强为10 .
则声强级为
17 . A当 时，则 当 时 +2kx或 故 不能推出 所以 是 的充分不必要条件 .
由于 ln 0 . 3＜0 且 ln C . 5＜0 . 故 由于 ln 0 . 5＜0且ln 3＞0,故 由于 hr 0 . 50,且 ln 0 . 3＜0,故0＜c＜1,综上,b＜c＜a。
19 . C f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,所以f(0)=0可得f(-x)=-f(x),f(1-x)=f(1+x)即有f(r+2)=f(-x),即 f(x÷2)=-f(r),进而得剑 f(x|4)=-f(x|2)=f(x),所以 f(x)为周期为4的函数,若 f(1)-2,可得 f(3)-f(-1)--f(1)=-2 . f(2)=-f(0)=0,f(4)=f(0)=0,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+C=0,可得f(1)+f(2)+f(6)+…+f(10)=2×0+2+0=2 .
20 . D根据展开图，确定各面和棱的位置关系，选项A . AB和EF 垂直,而非平行,因此A 错误;选项 B,B、C、D、H 四点不共面，因此B错误；选项C，AB与平面DEF 不能平行。因此C错误;选项D . AF CD,AF⊥BD,CD∩BD=D . BD,CD 平面BCD . ∴AF⊥平面BCD:因此D正确 .
21 . 解析：概率因此，女生被选中的概率是-
答案：
22 . 解析:函数 f(x)在x≤1时,f(x)=2ax 1,在x＞1时为f(r)-3 ,
对于x≤1,f(x)=2ax-1单调递增,需2a＞0,即a＞0;对于x＞1,f(x)=3" . 单调递增，恒成立 . 在x=1处，左极限lim-f(x)=2u-1,右极限 lim-f(x)=3，为保证函数在 . x=1处连续且增,需24 1≤3 . 解得a≤2,综上,a的取值范围为0＜a≤2,即(0。2]。答案:(0,2」
23 . 解析:设向量a=λe |e 和b=e:|(2λ 1)e 方向相同，即存在正数k使得a-kb .
由 比较系数得
将k=λ代入第二个方程，得： -1=0-＞λ=1 . 或 由于k=λ＞0,故λ-1 . .
答案：1
24 . 解析：将不等式展开得：
由基本不等式 当且仅当 时取等号，
因此，不等式最小值为 为使不等式恒成立。需 解得a≥4 .
答案：4
25 . 解析：由题意可得∠NPB=45°,∠NPC=30°,所以∠BCP=30°,∠BPC=15°, 又 BC=1, sin 15°=
在△PBC中，由正弦定理得 斗 因为∠MPA = 30°,所以 . ∠A = 30°, ∠APB = 105°, 在△APB中,由
正弦定理得 所以 F 所以 DE
答案：
26 . 解:函数 图象上横坐标仲长到原来2倍，纵坐标不变，得函数：y=g(x)图象,g(x) 因此 在g(x)中, 最小正周期为 余弦函数 的值域是[-1,1],因比g(x)值域是「-2,2 ,综上所述,函数y=g(x)最小正周期为4π,值域为[-2,2] .
27 . 解:(1)∵PA⊥平面ABC,且BC 平面ABC,∴PA⊥BC,
∵∠ACB-90°,∴AC BC,由于AC∩PA=A且AC,PA 平面 PAC . 可得BC⊥平面 PAC .
(2)在AC上存在点E,使得DE∥平面 PBC,且点E是AC的中点。
∵D 是 PA 的中点:E 是 AC 的中点,∴DE 是△PAC的中位线。
∴DE∥PC,
∵PC 平面 PBC且DE 平面PBC,
∴DE∥平面 PBC,
∴E是AC的中点时,DE∥平面 PBC .
28 . 解：(1)由偶函数性质∫(x)=∫(-x),得 解得m=0。
(2)函数 在 0，π]内值域为[一1,2] .
当x ∈[1,2]时，总有 使得 ∫(x ),
转化为函数 f(x)的值域是g(x)的值域的子集；
即:当x∈[1,2]时,-1≤f(x)≤2,
函数
其对称轴
当 时,即m≤2,可得f(x) min-f(2)-2m-3。
f(x) max=f(-1)=-m;所 . 以解得1≤m≤2;
当 时,即2＜m≤4可得 1 1, f (x) min = 2m 3 或 m,所以 或m≥-1此时无解。
当 时,即m＞4,可得f(x) min-f(-1)--m,f(x) max=f(2)=2m③，此时无解 .
综上m的取值范围为[1，2]。
(3)因为 ∫(x)是奇函数,
所以 可化为 f(k
·
又因为 f(x)在R上单调递减 .
所以
令 则不等式可化为
整理得 即 恒成立 .
因为 设 当
且仅当1=1时取等号)。则 恒成立 .
因为 在 上单调递增，
所以
所以 则k＞1
所以实数k的取值范围是(