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浙教版 2024八年级上册
八年级数学上册期末模拟卷
【杭州市专用】试卷分析
知识点分布
一、单选题 1 0.94 轴对称图形的识别
2 0.85 点到直线的距离；角平分线的性质定理；作角平分线(尺规作图)
3 0.75 其他问题(一次函数的实际应用)；求自变量的值或函数值；判断一次函数的增减性；求一次函数解析式
4 0.65 根据一次函数解析式判断其经过的象限
5 0.65 点坐标规律探索
6 0.65 已知二元一次方程组的解的情况求参数；由不等式组解集的情况求参数
7 0.65 角平分线的性质定理；作角平分线(尺规作图)；垂线段最短；用勾股定理解三角形
8 0.65 三线合一；等边三角形的判定和性质；线段垂直平分线的判定
9 0.65 等边对等角；等腰三角形的定义；线段垂直平分线的性质
10 0.64 角平分线的性质定理；三角形三边关系的应用
知识点分布
二、填空题 11 0.75 比较一次函数值的大小
12 0.65 一次函数与几何综合；用勾股定理解三角形；折叠问题
13 0.65 勾股定理与折叠问题
14 0.65 三角形三边关系的应用；斜边的中线等于斜边的一半
15 0.65 求一元一次不等式组的整数解；由不等式组解集的情况求参数
16 0.64 用勾股定理解三角形；折叠问题；中点坐标
知识点分布
三、解答题 17 0.85 求一元一次不等式的解集；在数轴上表示不等式的解集
18 0.75 两直线平行内错角相等；全等的性质和SAS综合（SAS）
19 0.65 求最短路径(勾股定理的应用)
20 0.65 一次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数与几何综合；求直线围成的图形面积
21 0.65 求点到坐标轴的距离；已知点所在的象限求参数
22 0.65 方案选择(一元一次方程的应用)；求一次函数解析式；从函数的图象获取信息
23 0.65 用一元一次不等式解决实际问题；分式方程的经济问题
24 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；用勾股定理解三角形；等边对等角2025—2026学年八年级上学期期末模拟卷【杭州专用】
数 学
（测试范围：八年级上册浙教版2024，第1-5章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列图标是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点．连接并延长交于点．若，则点到直线的距离是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．已知某山区的气温与海拔高度之间满足一次函数关系，某气象站测得该山区气温随海拔高度变化的部分数据如下表，根据表格中的数据，下列说法错误的是（ ）
海拔高度 0 1 2 3 4 …
气温 17 11 5 …
A．海拔每上升，气温下降
B．y与x之间的函数关系式为
C．随着x的增大，y在不断地减小
D．当气温为时，海拔高度是
4．若一次函数（、为常数，且）的图象不经过第二象限，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，，……按这样的规律，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
6．若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的值的和是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，，为上一动点，则的最小值为（ ）
A．7 B． C． D．8
8．如图，在四边形中，，点E在上，连接相交于点F，．若，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．下列条件：①；②；③；④边上的高线和中线重合；⑤和边上的高相等．能确定为等腰三角形的是（ ）
A．②③⑤ B．①②③④ C．①②⑤ D．①②④⑤
10．如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．一次函数的图象过点，则和的大小关系是 ．（用“<”连接）
12．已知直线与轴、轴分别交于点和点，是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标是 ．
13．如图，在长方形中，，，点E是边上一点，连接，将长方形沿翻折，点C落在点处，点D落在点处，且边恰好经过点A，再将沿翻折，点落在点处，连接，则的面积为 ．
14．如图，是直角三角形，且，，斜边的端点、分别在的两边，上滑动，，连接，则线段的最大值是 ．
15．关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解的差是3，则满足条件a所有的整数解的和是 ．
16．如图，在中，，，，点在上，将沿着所在直线翻折，使点落在边上的点处，则的长为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．解不等式，并把解集表示在数轴上．
18．如图，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
19．如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是，高是．
(1)小明在长方体盒子里插入一根细木棒，细木棒经过，两点，求该长方体盒子中放入细木棒（）的长度；
(2)在长方体盒子外表面的点处有一只蚂蚁，若它想吃到点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段上的一个动点（不与点O，点A重合），过点C作x轴的垂线l交直线于点D，在射线上取点E，使 ，设点C的横坐标为m．
(1)直接写出A，B两点的坐标；
(2)若点E落在直线上，求m的值；
(3)若的面积等于面积的一半，求m的值．
21．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．
(1)点的“长距”为___________；
(2)若点是“完美点”，求的值；
(3)若点的长距为4，且点在第四象限内，点的坐标为，试说明点是“完美点”．
22．某食品加工厂需要一批食品包装盒，供应这种包装盒有两种方案可供选择：
方案1：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费用与包装盒数x满足如图1的函数关系．
方案2：租用机器自己加工，所需费用（包括租用机器的费用和生产包装盒的费用）与包装盒数x满足如图2的函数关系．
根据图象回答下列问题：
(1)求：方案1中每个包装盒的价格；
(2)求：方案2中租用机器的费用是多少元，生产一个包装盒的费用是多少元；
(3)请分别求出、与x的函数关系式；如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．
23．2025年9月20日“世界的白鹤梁幸福的新涪陵”涪陵白鹤梁文化旅游节顺利拉开帷幕，推出了多款以白鹤梁为主题的文化产品，推动了涪陵本地文旅产品经济的发展．滨江路某文创店想购进A、B两种商品，已知每件B种商品的进价比每件A种商品的进价多5元，且用300元购进A种商品的数量是用100元购进B种商品数量的4倍．
(1)求每件A种商品和每件B种商品的进价分别是多少元？
(2)商店决定购进A、B两种商品共50件，A种商品加价5元出售，B种商品比进价提高后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于210元，求A种商品至少购进多少件？
24．【问题背景】如图，是等腰直角三角形，，，点为中点．点是线段上一个动点，在线段上取一点使得．
【提出问题】当点在线段上移动时，的长度是否发生变化？
【初步思考】小明通过尝试画出在不同位置时的图形，发现的长度发生了变化．于是他采用以下思路进行说理：
思路：求出在两个不同位置时，的长度．
先求出点在特殊位置时的长度：
如图，当点与点重合时，易求得．
再求出点不与两端点，重合时的长度：
如图，小明在右侧作，且．连接，．可证得：．请你根据以下问题帮小明继续完成探究：
（1）求证：．
（2）当时，求的长度．
【延伸思考】如图，当点运动到线段上时，点落在线段的延长线上．如果题干中其余条件不变．请解决以下问题：
（3）当时，_____．（直接写出答案）
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D A B A A C D D
1．D
本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的概念求解即可．
解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
2．A
本题考查角平分线的性质及尺规作图、点到直线的距离，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键．
过D作于H，根据作图过程，得平分，再根据角平分线的性质得到即可求解．
解：过D作于H，
根据作图过程，得平分，又，，
∴，
即点到直线的距离是6．
故选：A．
3．D
本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，解题的关键是根据表中的数据求出函数关系式．
通过表格数据确定气温y与海拔高度x之间的一次函数关系，并验证各选项是否符合该关系．
∵ 从表格数据可知，当时，，时，；
x每增加，y减少，
∴ 函数关系为，
选项A、B、C均符合该函数关系：
A：海拔每上升，气温下降，正确；
B：，经代入验证正确；
C：斜率，y随x增大而减小，正确；
选项D：当时，代入，
∴，解得，
即海拔高度为，而非，故D错误．
故选：D．
4．A
本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
由题意易得，然后问题可求解．
解：由一次函数（k，b为常数，且）的图象不经过第二象限，可知：该函数图象经过第一、三、四象限，
∴，
∴一次函数经过第一、二、四象限；
故选：A．
5．B
本题考查了点坐标规律探索，由题意可得点（为正整数）的横坐标为，纵坐标为每个一循环，从而得出点的横坐标为，再由，得出点的纵坐标与的纵坐标相同为，由此即可得解，正确得出规律是解此题的关键．
解：∵，，，，，……，
∴点（为正整数）的横坐标为，纵坐标为每个一循环，
∴点的横坐标为，
∵，
∴点的纵坐标与的纵坐标相同，为，
∴点的坐标为，
故选：B．
6．A
本题考查解一元一次不等式组，学生的计算能力以及推理能力，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的范围，本题属于中等题型．
根据不等式组求出的范围，然后再根据关于，的方程组的解为正整数得到或或，从而确定所有满足条件的整数的值的和．
解：，
不等式组整理得：，
由不等式组至少有4个整数解，则
得到，
解得：，
解方程组，
得，
又关于，的方程组的解为正整数，
∴是正整数，是正整数，
或或者，
解得或或（舍去），
则或，
∴满足题意的整数的值为
则
所有满足条件的整数的值的和是．
故选：A．
7．A
本题考查了勾股定理、角平分线的尺规作图、垂线段最短、角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先利用勾股定理可得，再得出射线是的角平分线，然后根据垂线段最短、角平分线的性质定理解答即可得．
解：∵在中，，，，
∴，
由尺规作图可知，射线是的角平分线，
由垂线段最短可知，当时，的值最小，最小值等于，
故选：A．
8．C
本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系．
首先根据，可证是等边三角形，连接交于点G，可证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知．
解：如图所示，连接交于点G，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故选：C．
9．D
本题考查了等腰三角形的判定定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：①∵，
∴，故为等腰三角形，符合题意；
②能确定为等腰三角形，符合题意；
③只能说明和互余，无法得出和相等，不能确定为等腰三角形，不符合题意；
④边上的高线和中线重合，根据线段垂直平分线的性质，得出能确定为等腰三角形，符合题意；
⑤和边上的高相等，设边上的高，边上的高为，则，结合，，能确定为等腰三角形，符合题意；
综上所述，能确定为等腰三角形的是①②④⑤，
故选：D．
10．D
本题考查了角平分线的性质定理，三角形三边关系定理，三角形的面积公式，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．
根据题意，得、和的边上的高相等，设这个相等的高长为，得到，，，利用三角形的三边关系定理解答即可．
解：∵是三条角平分线的交点，
∴、和的边上的高相等，设这个相等的高长为，
∵的面积记为，的面积记为，的面积记为，
∴，，
∴，，，
由三角形三边关系得，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴可能的值为8，
选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意．
故选：D．
11．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．由一次函数解析式可知，所以随值的增大而减小，只需比较，即可求解．
解：一次函数中，，
随值的增大而减小，
，
，
故答案为：．
12．
本题主要考查一次函数与几何的综合，勾股定理及轴对称图形的性质，熟练掌握一次函数与几何的综合，勾股定理及轴对称图形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，由折叠的性质可知：，设，则有，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可．
解：令时，则有，解得：，
令时，则有，
∴，
∴，
由折叠的性质可知：，
∴，
设，则有，
在中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴；
故答案为．
13．
本题重点考查勾股定理与折叠问题，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解，熟练掌握折叠的原理和勾股定理是完成本题的关键．
第一步先利用折叠原理，得到为直角三角形，求得的值，并得到的值；第二步，求解，先设，得到，利用第一步的结论，通过勾股定理得到的值；第三步过作交于，利用直角三角形的性质和勾股定理计算得到的值，第四步用三角形的面积公式，利用前两步的结论计算完成求解．
解：由已知条件和折叠可知，为直角三角形，，，
∴，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，
∴，即，
过作交于，如下图，
由翻转的性质知，为直角三角形，
∴，，
根据直角三角形的面积公式得，
∴，
故的高为的长，底边为，
∴，
故答案为：．
14．
本题考查了直角三角形的性质、三角形的三边关系等知识．取的中点，连接、．根据直角三角形的性质，求出，根据三角形的三边关系可知，推出当、、共线时，的值最大，得出答案即可．
解：如图，取的中点，连接、，
∵，，，
∴，
∵，
∴当、、共线时，的值最大，此时．
故答案为：4．
15．94
本题主要考查了不等式组的整数解，
先求出不等式组的解集，再根据题意得出最小整数解，进而得出关于a的不等式组，然后求出整数解，并求和即可.
解：不等式组，
解不等式①，得；
解不等式②，得，
∴不等式组的解集是.
∴不等式组的最大整数解是9.
∵不等式组的最大整数解和最小整数解的差为3，
∴最小整数解是6，
∴，
解得，
∴，
则.
故答案为：94.
16．
本题主要考查折叠的性质，勾股定理，平面直角坐标系以及中点坐标公式等知识，建立平面直角坐标系，由勾股定理求出，由折叠得，，得垂直平分，求得，运用待定系数法求出的解析式，联立方程组并求解得出，从而可求出的长．
解：以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点建立平面直角坐标系，设交于点，如图，
在中，，，，
∴，
∴，，
由折叠得，，，
∴，垂直平分，
∴，
设所在直线解析式为，
把代入得：，
∴，
∴所在直线解析式为；
设所在直线解析式为，
把，代入得：，
∴，
∴所在直线解析式为；
联立方程组，
解得，
∴点的坐标为，
∴．
故答案为：．
17．，见解析
本题考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟记运算步骤是关键．
按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
解：，
，
解得：．
把解集表示在数轴上，如下图：
18．(1)见解析
(2)
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据边角边证明全等即可；
（2）直接根据全等三角形对应角相等求解即可．
（1）证明：∵，
，
在与中，
∵
；
（2），
．
19．(1)
(2)
本题考查了平面展开-最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可；
（2）将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．
（1）解：由题意得该长方体盒子中放入细木棒（）的长度是：
．
（2）解：将长方体的正面和右侧面展开，如图，，
将长方体的上底面和右侧面展开，如图，；
将长方体的正面和下底面展开，如图，．
∵，
∴它沿盒子表面爬行的最短路程为．
20．(1)，
(2)
(3)或
本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，一次函数性质，正确地理解题意是解题的关键．
（1）解方程即可得到，；
（2）由点C在线段上，且横坐标为m，得到，求得，得到，把代入，解方程即可得到结论；
（3）由轴，交直线于点D，得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论．
（1）解：在中，令，则，令，则，
∴，；
（2）解：∵点C在线段上，且横坐标为m，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∵点C在线段上，
∴把代入，得，
解得：；
（3）解：∵轴，交直线于点D，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
，
∵，
∴，
即，
∵，
∴当时，
解得，
当时，
解得．
综上所述，或．
21．(1)2
(2)或
(3)见解析
本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”．
（1）根据“长距”的定义解答即可；
（2）根据“完美点”的定义解答即可；
（3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可．
（1）解：根据题意，得点到轴的距离为2，到轴的距离为1，
∴点A的“长距”为2．
（2）解：∵点是“完美点”，
∴，
∴或，
解得或.
（3）解：∵点的长距为4，且点C在第四象限内，
∴，
解得，
∴，
∴点D的坐标为，
∴点D到x轴、y轴的距离都是5，
∴点D是“完美点”．
22．(1)方案1的盒子单价为5元
(2)租用机器的费用为20000元，盒子的单价为元
(3)；；当时，两种方案同样省钱；当时，选择方案1；当时，选择方案2，理由见解析
本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
（1）根据图1得出答案；
（2）根据图2得出租赁机器的费用和盒子的单价；
（3）利用待定系数法分别求出两个函数的解析式，求出两个相等时的值，然后得出答案．
（1）解：，
∴方案1中每个包装盒的价格是元；
（2）解：根据函数的图象可以知道租赁机器的费用为元，
盒子的单价为，
故盒子的单价为元；
（3）解：设图1的函数解析式为：，由图象知函数经过点，
∴，
解得，
∴函数的解析式为；
设图2的函数关系式为，
由图象知道函数的图象经过点和，
∴，
解得：，
∴函数的解析式为，
令，
解得，
∴当时，两种方案同样省钱；当时，选择方案1；当时，选择方案2．
23．(1)每件A种商品的进价是15元，每件B种商品的进价是20元
(2)A种商品至少购进10件
本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，根据题意找出数量关系列出方程或不等式是解答本题的关键．
（1）设每件A种商品的进价是x元，则每件B种商品的进价是元，根据题意可列出关于x的分式方程，解出x即可求出每件A种商品的进价和每件B种商品的进价．
（2）设A种商品购进y件，则B种商品购进件，即可列出关于y的不等式，解出不等式即可求出至少需要购进A种商品的数量．
（1）解：设每件A种商品的进价是x元，则每件B种商品的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
元，
答：每件A种商品的进价是15元，每件B种商品的进价是20元；
（2）解：设A种商品购进y件，则B种商品购进件，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为
答：A种商品至少购进10件．
24．[初步思考]（）证明见解析；（）；[延伸思考]（）．
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
[初步思考]（）在右侧作，且，连接，，通过角度和差可得，证明，根据性质可得；
（）由是等腰直角三角形，，则，通过全等三角形性质及角度和差可得，设，则，由勾股定理得，即，解得即可；
[延伸思考]（）如图，在右侧作，且，连接，，同（）理得，所以，由，，可得到，证明，设，则，由勾股定理得，即，解得即可．
[初步思考]（）证明：在右侧作，且，连接，，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（）解：如图，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设，则，
由勾股定理得：，
∴，解得：，
∴；
[延伸思考]（）如图，在右侧作，且，连接，，
∴，
∴，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，解得：，
∴，
故答案为：．
