2025-2026学年八年级上学期期末北师大版数学测试卷（含答案）

2025-2026学年八年级上学期期末数学测试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．下列各数，，，，，，中，无理数有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．以下列数组为边长中，能构成直角三角形的（ ）
A．1，1， B．，，
C． D．，，
3．年月日，中国以一场盛大阅兵，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，阅兵式中多架飞机以轴对称的方式列阵长空（图一）象征着在民族复兴征程上夺取新的伟大胜利．如图二是现场飞机队形简略图，以飞机所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，若飞机的坐标为，则飞机的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（）
A． B．
C． D．
5．定义：已知一次函数（，为常数，），我们称函数（，为常数，）是一次函数的“相垂函数”．那么一次函数的相垂函数是（ ）
A．B．C． D．
6．下列说法正确的是（ ）.
A．没有立方根 B．9的算术平方根是
C．的平方根是 D．是的平方根
7．古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数．三只栖一树，五只没去处；五只栖一树，闲了一棵树．若设有只乌鸦，棵树，由题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
8．运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该信息，下列说法错误的是（ ）
A．样本的容量是3 B．样本的中位数是3
C．样本的众数是2 D．样本的平均数是
9．已知函数和的图像交于点，则关于的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
10．为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验．如图甲，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的关系如图乙所示．下列说法①铁块的高度为；②铁块入水之前，烧杯内水的高度为；③当铁块下降的高度为时，弹簧测力计的示数为；④当弹簧测力计的示数为时，此时铁块距离烧杯底．正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，，则这两种小麦长势更整齐的是（填“甲”或“乙”） ．
12．如图，数轴上方的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D均在格点上，点A对应的数为1，以点A为圆心，的长为半径画圆，交数轴于M、N两点（点M在点N的左侧），则点M表示的数为 ．
13．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，绳索的长度为 ．
14．重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为 ．
15．如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿折叠，使点C落在点F处，连接，若是直角三角形，则的长是 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。
16．（12分）计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
17．（6分）某公司为参加“2025年中国人形机器人生态大会”，对本公司生产的甲、乙两款人形机器人的满意度进行了评分测验，并从中各随机抽取20份对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：）下面给出了部分抽取的信息：
对甲款机器人的评数据中B等级的数据为：90，90，88，88，88，87，86，85．
对乙款机器人的评分数据为：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
对甲，乙两款机器人的满意度评分统计表：
机器人 平均数 中位数 众数 方差
甲 86 86.5 88 69.8
乙 86 85.5 a 96.6
对甲款机器人的满意度评分扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中________，________．
(2)根据以上数据，你认为哪款机器人的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可）
(3)在此次测验中，各有800人对甲、乙两款人形机器人进行评分，估计此次测验中甲、乙两款人形机器人的满意度评分为A等级的共有多少人？
18．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点坐标分别为，，．

(1)在图中画出 ABC关于轴对称的图形；
(2)在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是______，此时点关于这条直线的对称点的坐标为______；
(3)在轴上确定一点，使的周长最小．（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹）
(4)在y轴上一点M的坐标为，在x轴上有一动点Q满足最大，此时Q点的坐标为______，最大值为______．
19．（7分）如图，，将两个直角三角形按如下方式进行摆放，其中，恰好满足．
(1)求的度数；
(2)试判断与的位置关系，并说明理由．
20．（8分）手工陶艺坊制作陶杯和陶碗，陶土用量（单位：g）及成品率（成品率）如下表．第一次制作，共得到陶杯和陶碗成品80件；第二次制作，陶杯陶土用量是第一次的2倍，陶碗陶土用量是第一次的3倍，共得到成品190件．
类别 原材料 成品率
陶杯 陶土E
陶碗 陶土F
(1)第一次制作时，陶土E和陶土F的用量分别是多少？
(2)若陶土E中高岭土占比为，为制作出两次试验的陶杯成品总量，需准备多少克高岭土（不考虑损耗）？
21．（11分）在“综合与探究”课上，老师让每位同学在练习本上画出一个长方形，然后以该长方形为基本图形，以小组为单位编制一道综合探究题．
经过思考和讨论，励志小组向全班同学分享了他们编拟的试题，得到了老师的认可．同学们也眼前一亮，纷纷动手，开始了探究．请你也跟他们一起来完成这道试题吧．
如图，分别以长方形的边，所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系．已知，，点在线段上，以直线为轴，把翻折，点的对应点恰好落在线段上．
(1)请直接写出点的坐标：______，______．
(2)当点在运动过程中，设运动时间为秒．
①点从点出发以每秒个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，求的面积与之间的关系式；
②点是轴负半轴上的一个动点，若与轴交于点，是否存在等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在本题的探究过程中，让我们感悟的数学思想有______（填序号）．
①方程思想；②数形结合思想；③分类讨论思想．
22．（11分）综合与实践
生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？
素材1：如图1是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计．
素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是，单层部分的长度是，得到几组数据如下表所示．
双层部分的长度 2 6 10 …
单层部分的长度 116 108 100 …
素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为．
素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为；如图2，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为身高的．
请根据以上素材，解答下列问题：
(1)如图3，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接；根据图象思考y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围；
(2)设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数表达式，直接写出x的取值范围；
(3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度．
23．（12分）【定义1】对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为“友好函数”．
例如：一次函数，它的“友好函数”为；
【定义2】平面直角坐标系中将经过点且垂直于轴的直线记为直线．
已知一次函数，请回答下列问题：
(1)该一次函数的“友好函数”为 ；
(2)已知点在该一次函数的“友好函数”的图像上，求的值；
(3)当时，求该一次函数的“友好函数”的最大值和最小值；
(4)已知直线与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点时，直接写出的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．C
解：∵ 是有限小数，
∴ 是有理数；
∵ 是无理数，
∴ 是无理数；
∵ 是无限不循环小数，
∴ 是无理数；
∵ 是有限小数，
∴ 是有理数；
∵ 是无理数；
∵是分数，
∴ 是有理数；
∵ 是整数，
∴ 是有理数；
∴ 无理数共个；
故选：C．
2．D
解： A、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
D、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D
3．B
解：由题知，点和点关于轴对称，
因为点坐标为，
所以点的坐标为
故选：．
4．A
∵选项A：，正确；
选项B：，错误；
选项C：，因为根式加减不能直接合并，且数值不相等，错误；
选项D：，错误．
∴正确的是A．
故选：A．
5．C
解：根据题意得，
那么一次函数的相垂函数是
∴当时，，
∴一次函数与y轴交于点；
当时，，解得
∴一次函数与x轴交于点；
故选：C．
6．D
解：A. 有立方根，本选项错误，不符合题意；
B. 9的算术平方根是3，本选项错误，不符合题意；
C. 的平方根是 ，本选项错误，不符合题意；
D. 是的平方根，正确，符合题意；
故选：D．
7．A
解：设有只乌鸦，棵树，由题意可列方程组为，
故选：A
8．A
解：由方差公式可知，数据3出现了2次，数据4出现了2次，数据2出现了3次，
所以这组数据为．
A、样本的容量是，则此项错误；
B、样本的中位数是3，则此项正确；
C、样本的众数是2，则此项正确；
D、样本的平均数是，则此项正确；
故选：A．
9．A
∵ 方程 可变形为 ，
方程 可变形为 ，
∴ 方程组 的解即为函数 和 的图像交点坐标．
又∵ 两函数图像交于点 ，
∴ 方程组的解为 ．
故答案为：A．
10．C
解：当时，铁块接触水面，当时，铁块完全浸没于水中，
铁块的高度为．
故①正确；
由图像可知，当时，铁块开始接触水面，
所以铁块入水之前，烧杯内水的高度为，
故②正确；
设的解析式为，将代入得：
，
，
，
把代入，得．
故③错误；
把代入，得，
解得，
∴．
故④正确．
故选：C．
二、填空题。
11．甲
解：∵，，且，
∴甲种小麦的方差较小，长势更整齐．
故答案为：甲．
12．
解：由题意知，
∵在数轴上点A表示的数为1，点M在点A的左侧，且，
点M表示的数为．
故答案为：．
13．
【详解】解：设，
∵绳索长度不变，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在直角三角形中，，代入得，
，
解得，，
故答案为：．
14．
解：所建平面直角坐标系如图所示：
∵，，，，
∴，，，
∵是矩形的对角线，且交于一点，
∴点是的中点，
∴根据中点坐标公式可得，即，
同理可得，
∴，，
∴此“L”形的重心坐标为；
故答案为．
15．7或
解：当时，
，
，
，，共线，
，，
，
设，则，
在中，则有
解得，
；
当时，，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为7或．
故答案为：7或．
三、解答题
16．（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
由①得，
把③代入②得，
解得，
把代入③得，
∴方程组的解为；
（4）解：
由①得，
把③代入②得，
解得，
把代入③得，
∴方程组的解为﹒
17．（1）解：乙款机器人的评分数据中，85出现的次数最多，
所以其众数，
，
所以，
故答案为：85，；
（2）解：甲款机器人的满意度更好，理由如下：
因为两款机器人的平均数相等，但甲款机器人的中位数和众数更高，且方差更小，所以甲款机器人的评分分布更集中，整体满意度更好．
（3）解：（人），
答：估计此次测验中甲、乙两款人形机器人的满意度评分为等级的共有400人．
18．（1）解：如图，即为所求．
（2）解：在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是直线，即为轴，此时点关于这条直线的对称点的坐标为．
故答案为：轴，；
（3）解：如图，点即为所求．
（4）解：∵点B与点关于x轴对称，
∴，
∴，
∴当点M，点，点Q共线时，最大，
设直线的解析式为，把代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
，
．
∵，
最大值为5．
故答案为：．
19．（1）解：，，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
，，
，
由（1）可知，，
，
，
，
，
，
，
，
．
20．（1）解:设第一次制作时，陶土E的用量为，陶土F的用量为．
根据成品率及两次成品总量列方程组为
得：，
将代入①，解得：
∴．
则第一次制作时，陶土的用量为，陶土的用量为．
（2）解：两次制作陶杯成品总量（按成品率算）：．
陶土E中高岭土占比为，
∴高岭土用量为，
∴需准备g高岭土．
21．（1）解：由折叠可得，，
，，，，
，
，
设，则，，
，
，
，
故答案为：，；
（2）解：①当点在上时，，此时；
当点在上时，如图，
此时，
，
，此时；
综上，的面积与之间的关系式为；
②存在等腰三角形，点的坐标是或或，理由如下：
当时，
点，
，，
，
；
当时，
，
，
，
；
当时，如图，
设，则，
，
，
，
综上，存在等腰三角形，点的坐标为或或；
（3）解：在本题的探究过程中，让我们感悟的数学思想有通过分类讨论求得点坐标，通过设，列出方程求得的长度，所以，让我们感悟的数学思想有方程的思想、数形结合思想和分类讨论的思想方法，
故答案为：①②③．
22．（1）解：描点并作图如图所示：
根据图象可知，变量、满足一次函数关系．
设、为常数，且，
将，和，代入，
得，
解得，
．
当背带都为单层部分时，；
当背带都为双层部分时，，即，解得，
的取值范围是；
（2）解：∵背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和，
总长度为，
当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得，
∴；
（3）解：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即，．
背包提在手上，且背包的悬挂点离地面高度为，
手到地面的距离为，即．
设小明爸爸的身高为 ．
臂展和身高一样，且肩宽为，
小明爸爸一条胳膊的长度为，
，解得，
根据任务2，得，解得，
此时双层部分的长度为．
23．（1）解：由题意，根据“友好函数”的定义，
当时，，
当时，，
故答案为：；
（2）解：由题意，当时，
点在该一次函数的“友好函数”的图像上，
，
，符合题意；
当时，
点在该一次函数的“友好函数”的图像上，
，
，不符合题意；
综上，；
（3）解：当时，，随的增大而减小，
当时，有最大值为，当时，临近最小值为；
当时，，随的增大而增大，
当时，有最小值为，当时，有最大值为；
综上所述，该一次函数的“友好函数”的最大值为，最小值为；
（4）解：由题意，画出一次函数的“友好函数”的图象如下：
直线与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点，
．