2025-2026学年九年级上册期末苏科版数学测试卷（1-4章）（含答案）

2025-2026学年九年级上册期末数学测试卷（1-4章）
一、选择题（10题×3分=30分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．若m，n是关于x的方程的两个根，则的值为（ ）
A．4 B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．三角形的外心到三角形三边的距离相等
C．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦
D．平分弦的直径垂直于弦
5．如图，是的直径，点是上一点，连接，，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（ ）
A． B． C． D．
7．已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，则另一组数据，，，，的平均数和方差分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．物理课上，小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．如图，已知滑轮的半径，当重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则绕点O按逆时针方向旋转的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，的半径为5，弦的长为8，将劣弧沿直线折叠后的图形如图，则点O到弧所在圆的切线长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
二、填空题（6题×4分=24分）
11．已知方程的一个根为，则的值为 ．
12．的直径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是 ．
13．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
14．用一个圆心角为，半径为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为 ．
15．不透明的盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，取得黑棋的概率是；放回后，往盒中再放进10枚黑棋，搅匀后从盒中随机取出一枚棋子，取得黑棋的概率为，则 ， ．
16．如图，有一张平整的银杏叶平铺在的地面上，小惠同学为了了解该银杏叶的面积，进行了以下试验操作：先用一个边长为的正方形，将银杏叶围在其中；然后在正方形区域内随机投掷小针，记录小针投中银杏叶的次数（小针投在正方形区域外或投在边界上，则不计试验结果，重新投掷），随着试验次数增加，发现小针投中银杏叶的频率稳定在左右，根据以上试验结果，估计该银杏叶的面积为 ．
三、解答题（8题共66分）
17.（每小题3分，共6分）解下列方程；
（1）；（用配方法） （2）．
18.（共8分）如图，是的直径，点在上，点是的中点，连接．判断与的位置关系，并说明理由．
19.（8分）学校记者站要招聘名小主持人，考查形象、知识面、表达能力项素质，按形象占，知识面占，表达能力占计算加权平均数作为最后评定的总成绩．甲、乙两位同学的各项成绩如下表（单位：分）
形象 知识面 表达能力
甲
乙
（1）计算甲同学的总成绩；
（2）若乙同学要在总成绩上超过甲同学，则他的表达能力成绩应超过多少分？
20.（8分）已知关于x的方程．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有实数根；
（2）已知的一边为3，另两条边的长恰好是该方程的两个根，求a的值．
21.（8分）如图，是等腰三角形，以为直径作交底边于点，交于点，过点作于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长．
22.（8分）某商店销售一种商品，进价为每件30元．经市场调查发现，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，，其图象如图所示．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若日销售毛利润为300元，求该商品销售单价．
23.（10分）科学实验是获取经验事实和检验科学假说、理论真理性的重要途径．为进一步培养学生实践创新能力，提高学生科学素养，营造爱科学、学科学、用科学的浓厚氛围，学校将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，并演示了以下三个科学小实验：A．铅笔让水沸腾；B．不会湿的纸；C．漂浮的硬币．校团委组织了实验原理讲述的活动．
（1）若从中随机抽取一个实验讲述原理，则抽到“B．不会湿的纸”的概率是___________；
（2）若小星和小海两人各从三个实验中随机选取一个实验进行原理讲述，请你用列表或画树状图的方法，求他们恰好选到同一个实验的概率，
24.（10分）如图1，在矩形中，，，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆．
（1）当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ；
（2）在点从点向点运动过程中，①圆心的运动路径长是 ；②当与直线相切时，求的值．
（3）连接，交于点，如图2，当时，求的值．
参考答案
一、选择题
1．C
解：A. 含有两个未知数，不是一元二次方程，排除；
B. 右边为分式，不是整式方程，排除；
C. 整理为 ，是只含未知数的整式方程，且最高次数为2，符合定义；
D. 化简后为 ，是一元一次方程，排除；
故选：C．
2．C
解：
，，
，
故选：C．
3．A
解：∵m，n是关于x的方程的两个实数根，
∴，
∴，
故选：A．
4．C
解：A．不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，不符合题意；
B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，不符合题意；
C．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦，说法正确，符合题意；
D．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
5．B
解：为的直径，
，
，
，
，
故选：B．
6．B
解：如图，设正多边形的中心为，
∵、、为正多边形的顶点，
∴点、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，
∵，
∴，
∵，
∴该正多边形的边数为．
故选：B．
7．D
解：根据题意得：，，
，
，
数据，，，，的平均数和方差分别是，，
故选：D．
8．C
解：设旋转的角度是，滑轮的半径是，
由题意得：，
解得：，
绕点O按逆时针方向旋转的度数为，
故选：C．
9．C
解：四月份投入25万元，每月增长率为x，则五月份投入为万元，六月份在五月份基础上再增长，投入为万元，
根据题意，六月份投入48万元，因此方程为，
故选：C．
10．B
解：如图所示：
根据题意：，点为翻转过后的弧所在圆的圆心，
则有，
又∵，是的切线，
∴．
故选：B．
二、填空题
11．2024
解：∵方程的一个根为，
∴，即，
∴，
故答案为：2024．
12．点P在外
解：∵的直径为，
∴的半径为，
∵点P到圆心O的距离为，，
∴点P与的位置关系是点P在外．
故答案为：点P在外．
13．且
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∵是一元二次方程，
∴，
即，
故答案为：且．
14．5
解：设这个圆锥的底面圆的半径为Rcm，由题意，
，
解得（cm）．
故答案为：5
15． 15 25
解：∵盒中有x枚黑棋和y枚白棋，
∴袋中共有个棋，
∵黑棋的概率是，
∴可得关系式，
如果往口袋中再放进10个黑球，则取得黑棋的概率变为，
又可得；
联立求解可得，整理得，
解得：，
故答案为：①15，②25．
16．
解：正方形面积为：，
设该银杏叶的面积为，依题意得：
，
解得：，
∴估计该银杏叶的面积为，
故答案为：．
三、解答题
17.
解：（1）解：
，
解得：；
（2）解：
或
解得：．
18.
解：，理由如下：
∵点C是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
19.
解：（1）解：（分），
答：甲同学的总成绩分；
（2）解：，
解得：，
答：他的表达能力成绩应超过分．
20.
解：（1）证明：∵
∴无论a取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：∵
∴
∴或
解得，
∵的一边为3，另两条边的长恰好是该方程的两个根，
∴当3是斜边时，
解得；
当是斜边时，
解得；
综上所述，或或或．
21.解：（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
等腰三角形中，，
，
，
，
，
，
，
即，
为的半径，
直线是的切线；
（2）解：连接，
由（1）得，，
∴=，
，
，，，
，
．
22.
解：（1）解：设，代入，，
则，
，，
；
（2）解：根据题意，得，
，，
，
．
答：该商品销售单价为每件40元．
23.解：（1）解：小宇从四个实验中任意抽取一个进行实验原理讲述，他恰好抽到“．不会湿的纸”的概率是，
故答案为：；
（2）解：列表如下：
（A，A） （B，A） （C，A）
（A，B） （B，B） （C，B）
（A，C） （B，C） （C，C）
由表知，共有9种等可能结果，其中他们他们恰好选到同一个实验的有3种结果，
他们恰好选到同一个实验的概率．
24.解：（1）解：如图，过点作于，交于，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴的直径是，，
当时，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴的半径为，
∵，是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴与直线的位置关系是相离．
故答案为：；相离；
（2）解：①如图，
∵、运动的速度与、的比相等，
∴圆心在对角线上，
由图可知，和两点在时在点重合，
当时，直径为对角线，是的中点，
∴，由勾股定理，可得，
∴，
∴圆心的运动路径长是．
故答案为：；
②如图，当与相切时，
设切点为，连接并延长交于，
则，，
则，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，解得，
∴的值为；
（3）解：如图，过作，交的延长线于点，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得（舍去），，
∴的值为．