27.2.2 相似三角形的性质 教学课件（23张PPT）数学人教版九年级下册

(共23张PPT)
第27章 相似
27.2 相似三角形
27.2.2 相似三角形的性质
1. 掌握相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线的比与相似比的关系；
2. 理解并掌握相似三角形及相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系；
3. 能运用相似三角形的性质解决与对应线段、周长、面积相关的实际问题与计算问题.
一、新知引入
二、新知讲解
三、典型例题
四、当堂巩固
五、课堂总结
六、作业布置
　　三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等．
新知引入
思考：如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？
根据三角形相似的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成比例．下面，我们研究相似三角形的其他几何量之间的关系．
新知讲解
知识点一：相似三角形对应高、中线、角平分线的比与相似比的关系
探究一：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比是多少？
A
B
C
A′
C′
B′
D
D′
如图，分别作△ABC 和△A'B'C' 的对应高 AD 和 A'D'．
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B′．
又△ABD 和△A'B'D'都是直角三角形，
∴△ABD∽△A'B'D'．∴==k．
归纳：相似三角形对应高的比等于相似比．
注意：是对应边上的高！
新知讲解
探究二：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应中线的比是多少？
如图，分别作△ABC 和△A'B'C'的中线 AE 和 A'E'，
则===k，∴==k，　　　　　
∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′．
∴△ABE∽△A'B'E'，∴==k.
归纳：相似三角形对应中线的比等于相似比．
A′
A
B
C
A′
C′
B′
E
E′
注意：是对应边上的中线！
新知讲解
探究三：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，对应角平分线的比是多少？
如图，分别作△ABC 和△A'B'C'的角平分线 AF 和A'F'，
则∠FAB＝∠CAB，∠F′A′B′＝∠C′A′B′．
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B'，∠CAB＝∠C′A′B′，
∴∠FAB＝∠F′A′B′，∴△ABF∽△A'B'F'．
∴==k.　　　　　　
A
B
C
F
F′
A′
C′
B′
归纳：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
注意：是对应边上的角平分线！
归纳小结
　　相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．
　　一般地，我们有：
　　相似三角形对应线段的比等于相似比．
数学思想：从特殊到一般
新知讲解
探究四：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，它们周长的比是多少？
思考：相似三角形的周长有什么关系？
∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，
∴＝=k，
∴AB＝kA'B'，AC＝kA'C'，BC＝kB'C'，
∴===k.
归纳：相似三角形周长的比等于相似比．
知识点二：相似三角形周长、面积的比与相似比的关系
新知讲解
探究五：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，它们面积的比是多少？
思考：相似三角形面积的比与相似比有什么关系？
如图，分别作△ABC和△A'B'C' 的对应高 AD 和 A'D'．
∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，
∴==k，
∴==.
A
B
C
A′
C′
B′
D
D′
归纳：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
典型例题
例1　已知△FHB∽△EAD，且对应角平分线的比为2.
(1)它们的相似比为__________；
(2)若FH＝6，则EA＝__________；
(3)对应高的比为__________，对应中线的比为__________；
(4)若△FHB的周长为30，则△EAD的周长为__________.
2
3
2
2
15
针对练习
1.已知△ABC∽△DEF，且相似比为，则下列说法错误的是(　　)
A．∠ABC＝∠DEF，＝ B．对应角平分线的比为
C．对应高的比为 D．周长的比为
C
2.顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形对应高的比是__________.
3.已知两个三角形相似，其中一个三角形三边的长分别是4，6，8，另一个三角形的某一边的长是2，则该三角形的周长是(　　)
A．4.5　　　　 B．6
C．9　　　　 D．以上答案都有可能
D
小结：在相似三角形中，如果没有指定对应边，需要进行分类讨论.
典型例题
例2　若△ABC∽△DEF，＝4，则△ABC与△DEF的面积之比为(　　)
　A．2 B．4 C． D．16
D
【针对练习】
1.已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝6，S△DEF＝3，则＝__________.
2.若两个相似三角形的相似比为，且它们的面积和为102 cm2，则较大三角形的面积为__________cm2.
75
解：在△ABC 和△DEF 中，∵AB＝2DE，AC＝2DF，
∴==，又∠D＝∠A，
∴△DEF∽△ABC，△DEF 与△ABC 的相似比为．
∵△DEF 的边 EF 上的高为6，面积为12，
∴△DEF 的边 EF 上的高为×6=3，面积为.
典型例题
例3　如图，在△ABC 和△DEF 中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D．若△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为12，求△DEF 的边 EF 上的高和面积．
针对练习
1.如图，在△ABC 中，两条中线 BE，CD 相交于点 O，求△EOD 与△BOC 的面积比．
解：∵BE、CD是△ABC的中线，
∴DE=BC，DE∥BC，
∴=，△DOE∽△COB，
∴==，
∴S△DOE：S△COE=1：4．
针对练习
2.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，AD＝2DB，
AE＝2EC. 求的值．
解：∵AD＝2DB，AE＝2EC，
∴＝，＝.
∴＝.
又∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC.
∴＝()2＝()2＝.
思考：若题干条件不变，
则=_______
归纳小结
这类题的解题步骤：先根据题目条件判定三角形相似，
利用 “相似三角形的周长比等于相似比”，求解未知周长；
利用 “相似三角形的面积比等于相似比的平方”，求解未知面积.
当堂巩固
1．两个相似三角形的相似比为，那么它们对应边上的高之比是(　　)
A． B． C． D．
C
2．若△ABC∽△DEF，且相似比为2，△ABC的面积为16，则△DEF的面积为(　　)
A．32 B．8 C．4 D．16
C
3．若某直角三角形的两条直角边各扩大2倍，则该直角三角形(　　)
A．每个角扩大4倍 B．周长扩大2倍
C．周长扩大4倍 D．面积扩大8倍
D
当堂巩固
4．如图，△ABC是面积为18 cm2的等边三角形，被一边平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，则图中阴影部分的面积为(　　)
A．4 cm2 B．6 cm2 C．8 cm2 D．10 cm2
B
5. 如图，在 ABCD中，点P是CD的中点，AC与PB交于点Q.
若△CPQ的周长为6、面积为4，求△ABQ的周长和面积．
当堂巩固
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∴△ABQ∽△CPQ.
∵点P是CD的中点，
∴CD＝2CP＝AB.
∴＝2.
∵△ABQ∽△CPQ，
∴==2，=()2=4，
∴△ABQ的周长为12、面积为16.
相似三角形的性质
对应线段
周长
课堂总结
对应高的比
对应中线的比
对应角平分线的比
周长的比
等于相似比
面积
面积的比等于相似比的平方
作业布置
教材P39 练习第1、2、3题