2025-2026学年人教A版数学选择性必修第一册课时练习：3.2.1 双曲线及其标准方程（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年人教A版数学选择性必修第一册课时练习：3.2.1 双曲线及其标准方程（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 71.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-05 00:00:00 | ||
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文档简介
3.2.1 双曲线及其标准方程
一．选择题
1.已知点F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则点P的轨迹是( )
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.直线
D.一条射线
2.双曲线=1的焦点坐标为( )
A.(-,0),(,0)
B.(0,-),(0,)
C.(-5,0),(5,0)
D.(0,-5),(0,5)
3.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( )
A. B.
C. D.
4.已知方程(1+k)x2-(1-k)y2=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围为( )
A.(-1,1)
B.(1,+∞)
C.(-∞,-1)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
5.(多选题)已知θ∈,关于x,y的方程为=1,则下列说法正确的是( )
A.当θ∈时,方程表示焦点在y轴上的椭圆
B.当θ∈时,方程表示焦点在x轴上的椭圆
C.当θ∈时,方程表示焦点在x轴上的双曲线
D.当θ∈时,方程表示焦点在y轴上的双曲线
6.已知F1,F2为椭圆=1与双曲线-y2=1的公共焦点,P是两曲线的一个交点,则cos∠F1PF2等于( )
A. B. C. D.
7.一动圆P过定点M(-4,0),且与已知圆N:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是( )
A.=1(x≥2)
B.=1(x≤-2)
C.=1
D.=1
8.设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为( )
A. B.3 C. D.2
9.若点P在双曲线=1的右支上,双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,则|PF1|的最小值等于( )
A.19 B.1
C.18 D.20
10.设F1,F2是双曲线-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线上,当△PF1F2的面积等于1时,的值为( )
A.0 B. C.1 D.2
11.已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,M,N为异于F1,F2的两点,且MN的中点在双曲线C的左支上,点M关于F1和F2的对称点分别为A,B,则|NA|-|NB|等于( )
A.26 B.-26
C.52 D.-52
12.已知双曲线=1的右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,),则△APF周长的最小值为( )
A.4+ B.4(1+)
C.2() D.+3
13.(多选题)已知点P是双曲线E:=1右支上的一点,F1,F2分别为双曲线E的左、右焦点,△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的是( )
A.点P的横坐标为
B.△PF1F2的周长为
C.∠F1PF2小于
D.△PF1F2的内切圆半径为
二．填空题
14.若双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点坐标是(0,3),则实数k的值为 .
15.设双曲线=1的两个焦点分别为F1,F2,P为双曲线上一点,若|PF1|·|PF2|=32,则= .
16.已知双曲线与椭圆=1有相同的焦点,且双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4,则双曲线的方程为 .
三．解答题
17.已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若点M在双曲线上,F1,F2为左、右焦点,且|MF1|+|MF2|=6,试判断△MF1F2的形状.
18.在周长为48的直角三角形MPN中,∠MPN=,tan∠PMN=,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线的方程.
19.如图,已知圆A:(x+3)2+y2=4,点B的坐标为(3,0),P是圆A上任意一点.线段BP的垂直平分线l与直线AP相交于点Q.当点P在圆A上运动时,求点Q的轨迹C的方程.
3.2.1 双曲线及其标准方程
一．选择题
1.D
因为F1,F2是定点,且|F1F2|=10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹是以F2(2,3)为端点的一条射线.
2.C
由双曲线的标准方程,知a=4,b=3,则c=5.又因为焦点在x轴上,所以焦点坐标为(-5,0),(5,0).
3.D
由题意知,a=1,b=,所以c2=a2+b2=4,得c=2,则F(2,0).将x=2代入x2-=1,得y=±3,则|PF|=3.
又点A的坐标是(1,3),所以点A到直线PF的距离为2-1=1,故△APF的面积为×3×1=.
4.A
由题意得解得即-15 .ABC
当θ∈时,cos θ>sin θ>0,故A正确;
当θ∈时,sin θ>cos θ>0,故B正确;
当θ∈时,sin θ>0,cos θ<0,方程表示焦点在x轴上的双曲线,故C正确,D不正确.
6.D
不妨设点P在第一象限,左、右焦点分别为F1,F2,依题意有解得|PF1|=,|PF2|=,又|F1F2|=4,所以由余弦定理可得cos∠F1PF2=.
7.C
由已知得N(4,0),当圆P与圆N内切时,圆N在动圆P的内部,有|PN|=|PM|-4;当圆P与圆N外切时,有|PN|=|PM|+4,故||PN|-|PM||=4.由双曲线的定义得点P的轨迹为以M,N为焦点的双曲线,且2a=4,c=4,则a2=4,b2=12.故动圆圆心P的轨迹方程为=1.
8.B
由已知在双曲线C中,有a=1,c=2,不妨设F1(-2,0),F2(2,0),
因为|OP|=2=|F1F2|,
所以点P在以F1F2为直径的圆上,
即△F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形,
故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
即|PF1|2+|PF2|2=16,
又||PF1|-|PF2||=2a=2,
所以4=||PF1|-|PF2||2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16-2|PF1||PF2|,
解得|PF1||PF2|=6,
所以|PF1||PF2|=3.故选B.
9.A
由已知得a=9,b=,c=10,故|PF1|的最小值等于a+c=19.
10.A
由已知得c=,F1(-,0),F2(,0),不妨设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),由×2c×y0=1得y0=,代入双曲线方程可得x0=,即P,于是,故=0.
11.D
设MN与双曲线的交点为点P,由几何关系结合三角形中位线,可得|NA|=2|PF1|,|NB|=2|PF2|,
则|NA|-|NB|=2(|PF1|-|PF2|),
又点P位于双曲线的左支上,
则|NA|-|NB|=2(|PF1|-|PF2|)=2×(-2×13)=-52.
12.B
设左焦点为G,则|PF|-|PG|=2×2=4,△APF的周长l=|PA|+|PF|+|AF|=|AF|+|PG|+4+|PA|,当P,A,G三点共线时,|PA|+|PG|取最小值,且最小值为|AG|=2,又|AF|=2,所以l的最小值为4+2+2=4(1+).
13.ABC
设△F1PF2的内心为I,连接IP,IF1,IF2,
双曲线E:=1中的a=4,b=3,c=5,不妨设P(m,n),m>0,n>0,由△PF1F2的面积为20,可得|F1F2|n=cn=5n=20,即n=4,由=1,可得m=,故A正确;
由P,且F1(-5,0),F2(5,0),可得,
则tan∠F1PF2=∈(0,),则∠F1PF2<,故C正确;
由|PF1|+|PF2|=,
则△PF1F2的周长为+10=,故B正确;
设△PF1F2的内切圆半径为r,可得r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)=·|F1F2|·4,可得r=40,解得r=,故D不正确.
故选ABC.
二．填空题
14. -1
将双曲线方程8kx2-ky2=8化为标准方程为=1.
∵焦点在y轴上,∴<0,即k<0,
∴c2=-=9,
∴k=-1.
15.0
由题意,得||PF1|-|PF2||=6,c2=9+16=25,联立=||PF1|-|PF2||2+2|PF1||PF2|=36+64=100=,因此PF1⊥PF2,则=0.
16.=1
椭圆的焦点分别为(0,-3),(0,3),故可设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),且c=3,则a2+b2=9.
由双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4,可得两交点的坐标分别为(,4),(-,4),由交点在双曲线上知=1,解方程组
故所求双曲线的方程为=1.
三．解答题
17.
(1)椭圆方程可化为=1,焦点在x轴上,且c=,
故设双曲线方程为=1(a>0,b>0),
则有解得a2=3,b2=2,
所以双曲线的标准方程为=1.
(2)不妨设点M在双曲线的右支上,
则有|MF1|-|MF2|=2,
又|MF1|+|MF2|=6,
解得|MF1|=4,|MF2|=2.
又|F1F2|=2,
因此在△MF1F2中,边MF1最长.
因为cos∠MF2F1=<0,
所以∠MF2F1为钝角,故△MF1F2为钝角三角形.
18.
∵∠MPN=,tan∠PMN=,
∴可设|PN|=3k,|PM|=4k,k>0,
则|MN|=5k.
∵△MPN的周长为48,
∴3k+4k+5k=48,
∴k=4,∴|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.
以MN所在直线为x轴,MN的中点为原点建立 平面直角坐标系,
设所求双曲线的方程为=1(a>0,b>0),由|PM|-|PN|=4,得2a=4,a=2,
∴a2=4.由|MN|=20,得2c=20,c=10,
∴b2=c2-a2=96,
∴所求双曲线的方程为=1.
19.
由题意,得圆A:(x+3)2+y2=4的圆心为A(-3,0),半径r=2,且|QP|=|QB|,
∴||QA-|QB||=||QA|-|QP||=|AP|=2,
∴点Q的轨迹是以A(-3,0),B(3,0)为焦点的双曲线.
设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),
则2a=2,c=3,
∴b2=c2-a2=8,
∴点Q的轨迹方程为x2-=1.
一．选择题
1.已知点F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则点P的轨迹是( )
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.直线
D.一条射线
2.双曲线=1的焦点坐标为( )
A.(-,0),(,0)
B.(0,-),(0,)
C.(-5,0),(5,0)
D.(0,-5),(0,5)
3.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( )
A. B.
C. D.
4.已知方程(1+k)x2-(1-k)y2=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围为( )
A.(-1,1)
B.(1,+∞)
C.(-∞,-1)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
5.(多选题)已知θ∈,关于x,y的方程为=1,则下列说法正确的是( )
A.当θ∈时,方程表示焦点在y轴上的椭圆
B.当θ∈时,方程表示焦点在x轴上的椭圆
C.当θ∈时,方程表示焦点在x轴上的双曲线
D.当θ∈时,方程表示焦点在y轴上的双曲线
6.已知F1,F2为椭圆=1与双曲线-y2=1的公共焦点,P是两曲线的一个交点,则cos∠F1PF2等于( )
A. B. C. D.
7.一动圆P过定点M(-4,0),且与已知圆N:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是( )
A.=1(x≥2)
B.=1(x≤-2)
C.=1
D.=1
8.设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为( )
A. B.3 C. D.2
9.若点P在双曲线=1的右支上,双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,则|PF1|的最小值等于( )
A.19 B.1
C.18 D.20
10.设F1,F2是双曲线-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线上,当△PF1F2的面积等于1时,的值为( )
A.0 B. C.1 D.2
11.已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,M,N为异于F1,F2的两点,且MN的中点在双曲线C的左支上,点M关于F1和F2的对称点分别为A,B,则|NA|-|NB|等于( )
A.26 B.-26
C.52 D.-52
12.已知双曲线=1的右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,),则△APF周长的最小值为( )
A.4+ B.4(1+)
C.2() D.+3
13.(多选题)已知点P是双曲线E:=1右支上的一点,F1,F2分别为双曲线E的左、右焦点,△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的是( )
A.点P的横坐标为
B.△PF1F2的周长为
C.∠F1PF2小于
D.△PF1F2的内切圆半径为
二．填空题
14.若双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点坐标是(0,3),则实数k的值为 .
15.设双曲线=1的两个焦点分别为F1,F2,P为双曲线上一点,若|PF1|·|PF2|=32,则= .
16.已知双曲线与椭圆=1有相同的焦点,且双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4,则双曲线的方程为 .
三．解答题
17.已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若点M在双曲线上,F1,F2为左、右焦点,且|MF1|+|MF2|=6,试判断△MF1F2的形状.
18.在周长为48的直角三角形MPN中,∠MPN=,tan∠PMN=,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线的方程.
19.如图,已知圆A:(x+3)2+y2=4,点B的坐标为(3,0),P是圆A上任意一点.线段BP的垂直平分线l与直线AP相交于点Q.当点P在圆A上运动时,求点Q的轨迹C的方程.
3.2.1 双曲线及其标准方程
一．选择题
1.D
因为F1,F2是定点,且|F1F2|=10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹是以F2(2,3)为端点的一条射线.
2.C
由双曲线的标准方程,知a=4,b=3,则c=5.又因为焦点在x轴上,所以焦点坐标为(-5,0),(5,0).
3.D
由题意知,a=1,b=,所以c2=a2+b2=4,得c=2,则F(2,0).将x=2代入x2-=1,得y=±3,则|PF|=3.
又点A的坐标是(1,3),所以点A到直线PF的距离为2-1=1,故△APF的面积为×3×1=.
4.A
由题意得解得即-1
当θ∈时,cos θ>sin θ>0,故A正确;
当θ∈时,sin θ>cos θ>0,故B正确;
当θ∈时,sin θ>0,cos θ<0,方程表示焦点在x轴上的双曲线,故C正确,D不正确.
6.D
不妨设点P在第一象限,左、右焦点分别为F1,F2,依题意有解得|PF1|=,|PF2|=,又|F1F2|=4,所以由余弦定理可得cos∠F1PF2=.
7.C
由已知得N(4,0),当圆P与圆N内切时,圆N在动圆P的内部,有|PN|=|PM|-4;当圆P与圆N外切时,有|PN|=|PM|+4,故||PN|-|PM||=4.由双曲线的定义得点P的轨迹为以M,N为焦点的双曲线,且2a=4,c=4,则a2=4,b2=12.故动圆圆心P的轨迹方程为=1.
8.B
由已知在双曲线C中,有a=1,c=2,不妨设F1(-2,0),F2(2,0),
因为|OP|=2=|F1F2|,
所以点P在以F1F2为直径的圆上,
即△F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形,
故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
即|PF1|2+|PF2|2=16,
又||PF1|-|PF2||=2a=2,
所以4=||PF1|-|PF2||2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16-2|PF1||PF2|,
解得|PF1||PF2|=6,
所以|PF1||PF2|=3.故选B.
9.A
由已知得a=9,b=,c=10,故|PF1|的最小值等于a+c=19.
10.A
由已知得c=,F1(-,0),F2(,0),不妨设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),由×2c×y0=1得y0=,代入双曲线方程可得x0=,即P,于是,故=0.
11.D
设MN与双曲线的交点为点P,由几何关系结合三角形中位线,可得|NA|=2|PF1|,|NB|=2|PF2|,
则|NA|-|NB|=2(|PF1|-|PF2|),
又点P位于双曲线的左支上,
则|NA|-|NB|=2(|PF1|-|PF2|)=2×(-2×13)=-52.
12.B
设左焦点为G,则|PF|-|PG|=2×2=4,△APF的周长l=|PA|+|PF|+|AF|=|AF|+|PG|+4+|PA|,当P,A,G三点共线时,|PA|+|PG|取最小值,且最小值为|AG|=2,又|AF|=2,所以l的最小值为4+2+2=4(1+).
13.ABC
设△F1PF2的内心为I,连接IP,IF1,IF2,
双曲线E:=1中的a=4,b=3,c=5,不妨设P(m,n),m>0,n>0,由△PF1F2的面积为20,可得|F1F2|n=cn=5n=20,即n=4,由=1,可得m=,故A正确;
由P,且F1(-5,0),F2(5,0),可得,
则tan∠F1PF2=∈(0,),则∠F1PF2<,故C正确;
由|PF1|+|PF2|=,
则△PF1F2的周长为+10=,故B正确;
设△PF1F2的内切圆半径为r,可得r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)=·|F1F2|·4,可得r=40,解得r=,故D不正确.
故选ABC.
二．填空题
14. -1
将双曲线方程8kx2-ky2=8化为标准方程为=1.
∵焦点在y轴上,∴<0,即k<0,
∴c2=-=9,
∴k=-1.
15.0
由题意,得||PF1|-|PF2||=6,c2=9+16=25,联立=||PF1|-|PF2||2+2|PF1||PF2|=36+64=100=,因此PF1⊥PF2,则=0.
16.=1
椭圆的焦点分别为(0,-3),(0,3),故可设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),且c=3,则a2+b2=9.
由双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4,可得两交点的坐标分别为(,4),(-,4),由交点在双曲线上知=1,解方程组
故所求双曲线的方程为=1.
三．解答题
17.
(1)椭圆方程可化为=1,焦点在x轴上,且c=,
故设双曲线方程为=1(a>0,b>0),
则有解得a2=3,b2=2,
所以双曲线的标准方程为=1.
(2)不妨设点M在双曲线的右支上,
则有|MF1|-|MF2|=2,
又|MF1|+|MF2|=6,
解得|MF1|=4,|MF2|=2.
又|F1F2|=2,
因此在△MF1F2中,边MF1最长.
因为cos∠MF2F1=<0,
所以∠MF2F1为钝角,故△MF1F2为钝角三角形.
18.
∵∠MPN=,tan∠PMN=,
∴可设|PN|=3k,|PM|=4k,k>0,
则|MN|=5k.
∵△MPN的周长为48,
∴3k+4k+5k=48,
∴k=4,∴|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.
以MN所在直线为x轴,MN的中点为原点建立 平面直角坐标系,
设所求双曲线的方程为=1(a>0,b>0),由|PM|-|PN|=4,得2a=4,a=2,
∴a2=4.由|MN|=20,得2c=20,c=10,
∴b2=c2-a2=96,
∴所求双曲线的方程为=1.
19.
由题意,得圆A:(x+3)2+y2=4的圆心为A(-3,0),半径r=2,且|QP|=|QB|,
∴||QA-|QB||=||QA|-|QP||=|AP|=2,
∴点Q的轨迹是以A(-3,0),B(3,0)为焦点的双曲线.
设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),
则2a=2,c=3,
∴b2=c2-a2=8,
∴点Q的轨迹方程为x2-=1.