(共34张PPT)
人教版八上数学期末复习 讲解课件
人教版八上数学期末模拟押题卷01
贵州等地适用
一、选择题(本大题共12题，每题3分，共36分)
1.如图所示的运动图标中，是轴对称图形的是( )
A B C D
D
2.在平面直角坐标系中，点P(－1，－2)关于x轴对称的点的坐标是( )
A.(－1，2) B.(2，－1)
C.(－1，－2) D.(1，2)
3.分解因式x2y－9y的结果是( )
A.y(x＋3)(x－3) B.y(x＋9)(x－9)
C.y(x2－9) D.y(x－3)2
A
A
4.下列运算正确的是( )
A.a2·a3＝a6 B.(ab)2＝ab2
C.(a3)2＝a5 D.a7÷a3＝a4
5.若分式 的值为0，则m的值为( )
A.－5 B.5
C.±5 D.0
D
B
6.如图，已知AC＝DB，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是( )
A.∠A＝∠D
B.∠ABD＝∠DCA
C.∠ACB＝∠DBC
D.∠ABC＝∠DCB
第6题图
C
7.已知(x－1)(2x＋a)不含x的一次项，则a的值为( )
A.－2 B.－1
C.1 D.2
D
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AC的垂直平分线DE分别交AC，BC于点D，E，则∠CAE的度数为( )
A.80°
B.60°
C.50°
D.40°
第8题图
D
9.某公司承担了制作500套校服的任务，原计划每天制作x套，实际平均每天比原计划多制作了12套，因此提前4天完成任务，根据题意，下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
C
10.如图，在△ACD中，点E在AD上，并且CE＝AC＝DE.若AB∥CD，∠BAD＝25°，则∠CAB的度数为( )
A.50°
B.55°
C.60°
D.75°
第10题图
D
11.定义运算m※n＝1＋，如：1※2＝1＋＝，则方程x※(x＋1)＝的解为( )
A.x＝－ B.x＝
C.x＝1 D.x＝－1
B
12.如图，在△ABC中，AB＝2AC，AD是∠BAC的平分线，延长AC至点E，使得CE＝AC，连接DE，BE.有下列结论：①BD＝ED；②BD＝2CD；③ED平分∠CEB；④S△ABD＝S△EBD.其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
第12题图
C
二、填空题(本大题共4题，每题4分，共16分)
13.单个雪花的重量很轻，大约只有0.000 03 kg，0.000 03用科学记数法可表示为____________.
14.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB＝8 cm，AC＝6 cm，则S△ABD∶S△ACD＝________.
第14题图
3×10－5
4∶3
15.若关于x的方程＝2＋的解为非负数，则k的取值范围是___________.
16.如图，在边长为2的等边三角形ABC中，G为BC的中点，D为AG的中点.过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，P是线段EF上一个动点，连接BP，
GP，则△BPG的周长的最小值是_____.
第16题图
k≤5且k≠2
3
三、解答题(本大题共9题，共98分)
17.(10分)计算：
(1)a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2；
解：原式＝a2－5ab＋3a5b3÷a4b2
＝a2－5ab＋3ab
＝a2－2ab.
(2)(x＋2)(2x－3)＋(10x3－12x)÷(－2x).
解：原式＝2x2－3x＋4x－6－5x2＋6
＝－3x2＋x.
18.(10分)解下列方程：
解：原方程可化为
方程两边乘 1.5x，
得18－12＝1.5x，解得x＝4.
检验：当x＝4时，1.5x≠0，
∴原分式方程的解为x＝4.
解：方程两边乘2(x＋1)，
得2x＋2－x＋3＝6x，解得x＝1.
检验：当x＝1时，2(x＋1)≠0，
∴原分式方程的解为 x＝1.
19.(10分)如图，线段AD，CE相交于点B，BC＝BD，AB＝EB，求证：△ACD≌△EDC.
证明：∵BC＝BD，
∴∠ADC＝∠ECD.
∵AB＝EB，
∴BC＋EB＝BD＋AB，即CE＝DA.
在△ACD和△EDC中，
∴△ACD≌△EDC(SAS).
20.(10分)先化简： ，再在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值.
解：原式＝
＝
＝
＝a＋3.
∵当a＝－3，2，3时，原分式无意义，
∴a可取4或5.
当a＝4时，原式＝4＋3＝7.(或当a＝5时，原式＝5＋3＝8.)
21.(10分)有四个式子：4a2，(x＋y)2，x＋y，9b2，请你从中选出两个，使两者之差能按照以下要求进行因式分解，并写出因式分解的结果.
(1)利用提公因式法；
解：选取(x＋y)2与x＋y.
(x＋y)2－(x＋y)＝(x＋y)(x＋y－1).
(2)利用公式法.
解：选取4a2与9b2.
4a2－9b2＝(2a＋3b)(2a－3b).(答案不唯一)
22.(10分)如图，已知线段AB.
(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，与线段AB交于点D(保留作图痕迹，不写作法)；
解：如图，直线l即为所求.
(2)在(1)的基础上，C为l上一个动点(点C不与点D重合)，连接CB，过点A作AE⊥BC于点E.
①当垂足 E在线段BC上时，直接写出∠ABC度数的取值范围；
解：当垂足E在线段BC上时，45°≤∠ABC＜90°.
②若∠B＝60°，求证：BD＝BC.
证明：连接AC.∵CD是AB的垂直平分线，
∴BD＝AB，CA＝CB.
∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB，∴BD＝BC.
23.(12分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DE∥AB，交BC于点E，交AC于点F，DE＝BC，∠CDE＝∠ACB＝30°.
(1)求证：△FCD是等腰三角形；
证明：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B＝90°，
∴∠DCE＝90°－∠CDE＝60°，
∴∠DCF＝∠DCE－∠ACB＝30°，
∴∠CDE＝∠DCF，∴DF＝CF，
∴△FCD是等腰三角形.
(2)若AB＝4，求CD的长.
解：由(1)得∠B＝∠DEC.
在△ACB和△CDE中，
∴△ACB≌△CDE(ASA)，∴AC＝CD.
在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，
∴AC＝2AB＝8，∴CD＝8.
24.(12分)假期里学校组织部分团员同学参加“关爱老年人”的爱心援助活动，计划分别乘大、小两辆车前往距离140 km的乡村敬老院.
(1)若小车的速度是大车速度的1.4倍，且小车比大车早1 h到达，求大、小车的速度；
解：设大车的速度为x km/h，则小车的速度为1.4x km/h.
根据题意，得＋1＝，解得x＝40.
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
∴1.4x＝56.
答：大车的速度为40 km/h，小车的速度为56 km/h.
(2)若小车与大车同时以相同的速度出发，但行驶了60 km后，小车上的同学发现有物品遗忘在学校，于是小车准备加速返回取物品，之后速度保持不变，要想与大车同时到达乡村敬老院，则小车应提速到原来的多少倍？
解：设小车原来的速度为a km/h，提速后的速度是原来的m倍，则提速后的速度为ma km/h.
根据题意，得＝，解得m＝2.5.
经检验，m＝2.5是原分式方程的解，且符合题意.
答：小车应提速到原来的2.5倍.
25.(14分)在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α.
(1)如图1，延长AD，EB，相交于点O.
①求证：BE＝AD；
证明：∵CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α，
∴∠ACB＝180°－2α，∠DCE＝180°－2α，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE.
图1
在△ACD 和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴BE＝AD.
图1
②用含α的式子表示∠BOA的度数；
图1
解：由①知△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠CAD＝∠BAO＋α.
∵∠ABE＝∠BOA＋∠BAO，
∴∠CBE＋α＝∠BOA＋∠BAO，
∴∠BAO＋α＋α＝∠BOA＋∠BAO，
∴∠BOA＝2α.
(2)如图2，当α＝45°时，连接BD，AE，作CM⊥AE于点M，延长MC，交BD于点N，求证：N是BD的中点.
图2
证明：过点B作BP⊥MN，交MN的延长线于点P，过点D作DQ⊥MN于点Q，则∠BPN＝∠DQN＝90°.
∵α＝45°，∴∠BCA＝180°－45°－45°＝90°，
∴∠BCP＋∠ACM＝90°.
∵∠CAM＋∠ACM＝90°，∴∠BCP＝∠CAM.
在△CBP和△ACM 中，
∴△CBP≌ △ACM(AAS)，∴MC＝BP.
同理CM＝DQ，∴DQ＝BP.
图2
在△BPN和△DQN中，
∴△BPN≌△DQN(AAS)，
∴BN＝ND，∴N是BD的中点.
图2
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
【人教版八上数学阶段测试卷】 期末学业模拟押题卷
（贵州等地适用）
一、选择题(本大题共12题，每题3分，共36分)
1.如图所示的运动图标中，是轴对称图形的是( )
D
2.在平面直角坐标系中，点P(－1，－2)关于x轴对称的点的坐标是( )
A.(－1，2) B.(2，－1)
C.(－1，－2) D.(1，2)
A
3.分解因式x2y－9y的结果是( )
A.y(x＋3)(x－3) B.y(x＋9)(x－9)
C.y(x2－9) D.y(x－3)2
A
4.下列运算正确的是( )
A.a2·a3＝a6 B.(ab)2＝ab2
C.(a3)2＝a5 D.a7÷a3＝a4
D
5.若分式的值为0，则m的值为( )
A.－5 B.5
C.±5 D.0
B
6.如图，已知AC＝DB，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是( )
A.∠A＝∠D
B.∠ABD＝∠DCA
C.∠ACB＝∠DBC
D.∠ABC＝∠DCB
C
7.已知(x－1)(2x＋a)不含x的一次项，则a的值为( )
A.－2 B.－1
C.1 D.2
D
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AC的垂直平分线DE分别交AC，BC于点D，E，则∠CAE的度数为( )
A.80°
B.60°
C.50°
D.40°
D
9.某公司承担了制作500套校服的任务，原计划每天制作x套，实际平均每天比原计划多制作了12套，因此提前4天完成任务，根据题意，下列方程正确的是( )
C
A.－＝12 B.－＝12
C.－＝4 D.＋12＝
10.如图，在△ACD中，点E在AD上，并且CE＝AC＝DE.若AB∥CD，∠BAD＝25°，则∠CAB的度数为( )
A.50°
B.55°
C.60°
D.75°
D
11.定义运算m※n＝1＋，如：1※2＝1＋＝，则方程x※(x＋1)＝的解为( )
A.x＝－ B.x＝
C.x＝1 D.x＝－1
B
12.如图，在△ABC中，AB＝2AC，AD是∠BAC的平分线，延长AC至点E，使得CE＝AC，连接DE，BE.有下列结论：①BD＝ED；②BD＝2CD；③ED平分∠CEB；④S△ABD＝S△EBD.其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
二、填空题(本大题共4题，每题4分，共16分)
13.单个雪花的重量很轻，大约只有0.000 03 kg，0.000 03用科学记数法可表示为____________.
3×10－5
14.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB＝8 cm，AC＝6 cm，则S△ABD∶S△ACD＝________.
4∶3
15.若关于x的方程＝2＋的解为非负数，则k的取值范围是___________.
k≤5且k≠2
16.如图，在边长为2的等边三角形ABC中，G为BC的中点，D为AG的中点.过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，P是线段EF上一个动点，连接BP，GP，则△BPG的周长的最小值是_____.
3
三、解答题(本大题共9题，共98分)
17.(10分)计算：
(1)a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2；
解：原式＝a2－5ab＋3a5b3÷a4b2
＝a2－5ab＋3ab
＝a2－2ab.
(2)(x＋2)(2x－3)＋(10x3－12x)÷(－2x).
解：原式＝2x2－3x＋4x－6－5x2＋6
＝－3x2＋x.
18.(10分)解下列方程：
(1)－＝10；
解：原方程可化为－＝1.
方程两边乘 1.5x，
得18－12＝1.5x，解得x＝4.
检验：当x＝4时，1.5x≠0，
∴原分式方程的解为x＝4.
(2)1－＝.
解：方程两边乘2(x＋1)，
得2x＋2－x＋3＝6x，解得x＝1.
检验：当x＝1时，2(x＋1)≠0，
∴原分式方程的解为 x＝1.
19.(10分)如图，线段AD，CE相交于点B，BC＝BD，AB＝EB，求证：△ACD≌△EDC.
证明：∵BC＝BD，
∴∠ADC＝∠ECD.
∵AB＝EB，
∴BC＋EB＝BD＋AB，即CE＝DA.
在△ACD和△EDC中，
∴△ACD≌△EDC(SAS).
20.(10分)先化简：(＋)÷
，再在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值.
解：原式＝[－]÷
＝(－)·
＝·
＝a＋3.
∵当a＝－3，2，3时，原分式无意义，
∴a可取4或5.
当a＝4时，原式＝4＋3＝7.(或当a＝5时，原式＝5＋3＝8.)
21.(10分)有四个式子：4a2，(x＋y)2，x＋y，9b2，请你从中选出两个，使两者之差能按照以下要求进行因式分解，并写出因式分解的结果.
(1)利用提公因式法；
解：选取(x＋y)2与x＋y.
(x＋y)2－(x＋y)＝(x＋y)(x＋y－1).
(2)利用公式法.
解：选取4a2与9b2.
4a2－9b2＝(2a＋3b)(2a－3b).(答案不唯一)
22.(10分)如图，已知线段AB.
(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，与线段AB交于点D(保留作图痕迹，不写作法)；
解：如图，直线l即为所求.
(2)在(1)的基础上，C为l上一个动点(点C不与点D重合)，连接CB，过点A作AE⊥BC于点E.
①当垂足 E在线段BC上时，直接写出∠ABC度数的取值范围；
解：当垂足E在线段BC上时，45°≤∠ABC＜90°.
②若∠B＝60°，求证：BD＝BC.
证明：连接AC.∵CD是AB的垂直平分线，
∴BD＝AB，CA＝CB.
∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB，∴BD＝BC.
23.(12分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DE∥AB，交BC于点E，交AC于点F，DE＝BC，∠CDE＝∠ACB＝30°.
(1)求证：△FCD是等腰三角形；
证明：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B＝90°，
∴∠DCE＝90°－∠CDE＝60°，
∴∠DCF＝∠DCE－∠ACB＝30°，
∴∠CDE＝∠DCF，∴DF＝CF，
∴△FCD是等腰三角形.
(2)若AB＝4，求CD的长.
解：由(1)得∠B＝∠DEC.
在△ACB和△CDE中，
∴△ACB≌△CDE(ASA)，∴AC＝CD.
在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，
∴AC＝2AB＝8，∴CD＝8.
24.(12分)假期里学校组织部分团员同学参加“关爱老年人”的爱心援助活动，计划分别乘大、小两辆车前往距离140 km的乡村敬老院.
(1)若小车的速度是大车速度的1.4倍，且小车比大车早1 h到达，求大、小车的速度；
解：设大车的速度为x km/h，则小车的速度为1.4x km/h.
根据题意，得＋1＝，解得x＝40.
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
∴1.4x＝56.
答：大车的速度为40 km/h，小车的速度为56 km/h.
(2)若小车与大车同时以相同的速度出发，但行驶了60 km后，小车上的同学发现有物品遗忘在学校，于是小车准备加速返回取物品，之后速度保持不变，要想与大车同时到达乡村敬老院，则小车应提速到原来的多少倍？
解：设小车原来的速度为a km/h，提速后的速度是原来的m倍，则提速后的速度为ma km/h.
根据题意，得＝，解得m＝2.5.
经检验，m＝2.5是原分式方程的解，且符合题意.
答：小车应提速到原来的2.5倍.
25.(14分)在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α.
(1)如图1，延长AD，EB，相交于点O.
①求证：BE＝AD；
证明：∵CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α，
∴∠ACB＝180°－2α，∠DCE＝180°－2α，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE.
在△ACD 和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴BE＝AD.
②用含α的式子表示∠BOA的度数；
解：由①知△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠CAD＝∠BAO＋α.
∵∠ABE＝∠BOA＋∠BAO，
∴∠CBE＋α＝∠BOA＋∠BAO，
∴∠BAO＋α＋α＝∠BOA＋∠BAO，
∴∠BOA＝2α.
(2)如图2，当α＝45°时，连接BD，AE，作CM⊥AE于点M，延长MC，交BD于点N，求证：N是BD的中点.
证明：过点B作BP⊥MN，交MN的延长线于点P，过点D作DQ⊥MN于点Q，则∠BPN＝∠DQN＝90°.
∵α＝45°，∴∠BCA＝180°－45°－45°＝90°，
∴∠BCP＋∠ACM＝90°.
∵∠CAM＋∠ACM＝90°，∴∠BCP＝∠CAM.
在△CBP和△ACM 中，
∴△CBP≌ △ACM(AAS)，∴MC＝BP.
同理CM＝DQ，∴DQ＝BP.
在△BPN和△DQN中，
∴△BPN≌△DQN(AAS)，
∴BN＝ND，∴N是BD的中点.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
【人教版八上数学阶段测试卷】 期末学业模拟押题卷
（贵州等地适用）
一、选择题(本大题共12题，每题3分，共36分)
1.如图所示的运动图标中，是轴对称图形的是( )
D
2.在平面直角坐标系中，点P(－1，－2)关于x轴对称的点的坐标是( )
A.(－1，2) B.(2，－1)
C.(－1，－2) D.(1，2)
A
3.分解因式x2y－9y的结果是( )
A.y(x＋3)(x－3) B.y(x＋9)(x－9)
C.y(x2－9) D.y(x－3)2
A
4.下列运算正确的是( )
A.a2·a3＝a6 B.(ab)2＝ab2
C.(a3)2＝a5 D.a7÷a3＝a4
D
5.若分式的值为0，则m的值为( )
A.－5 B.5
C.±5 D.0
B
6.如图，已知AC＝DB，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是( )
A.∠A＝∠D
B.∠ABD＝∠DCA
C.∠ACB＝∠DBC
D.∠ABC＝∠DCB
C
7.已知(x－1)(2x＋a)不含x的一次项，则a的值为( )
A.－2 B.－1
C.1 D.2
D
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AC的垂直平分线DE分别交AC，BC于点D，E，则∠CAE的度数为( )
A.80°
B.60°
C.50°
D.40°
D
9.某公司承担了制作500套校服的任务，原计划每天制作x套，实际平均每天比原计划多制作了12套，因此提前4天完成任务，根据题意，下列方程正确的是( )
C
A.－＝12 B.－＝12
C.－＝4 D.＋12＝
10.如图，在△ACD中，点E在AD上，并且CE＝AC＝DE.若AB∥CD，∠BAD＝25°，则∠CAB的度数为( )
A.50°
B.55°
C.60°
D.75°
D
11.定义运算m※n＝1＋，如：1※2＝1＋＝，则方程x※(x＋1)＝的解为( )
A.x＝－ B.x＝
C.x＝1 D.x＝－1
B
12.如图，在△ABC中，AB＝2AC，AD是∠BAC的平分线，延长AC至点E，使得CE＝AC，连接DE，BE.有下列结论：①BD＝ED；②BD＝2CD；③ED平分∠CEB；④S△ABD＝S△EBD.其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
二、填空题(本大题共4题，每题4分，共16分)
13.单个雪花的重量很轻，大约只有0.000 03 kg，0.000 03用科学记数法可表示为____________.
3×10－5
14.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB＝8 cm，AC＝6 cm，则S△ABD∶S△ACD＝________.
4∶3
15.若关于x的方程＝2＋的解为非负数，则k的取值范围是___________.
k≤5且k≠2
16.如图，在边长为2的等边三角形ABC中，G为BC的中点，D为AG的中点.过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，P是线段EF上一个动点，连接BP，GP，则△BPG的周长的最小值是_____.
3
三、解答题(本大题共9题，共98分)
17.(10分)计算：
(1)a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2；
解：原式＝a2－5ab＋3a5b3÷a4b2
＝a2－5ab＋3ab
＝a2－2ab.
(2)(x＋2)(2x－3)＋(10x3－12x)÷(－2x).
解：原式＝2x2－3x＋4x－6－5x2＋6
＝－3x2＋x.
18.(10分)解下列方程：
(1)－＝10；
解：原方程可化为－＝1.
方程两边乘 1.5x，
得18－12＝1.5x，解得x＝4.
检验：当x＝4时，1.5x≠0，
∴原分式方程的解为x＝4.
(2)1－＝.
解：方程两边乘2(x＋1)，
得2x＋2－x＋3＝6x，解得x＝1.
检验：当x＝1时，2(x＋1)≠0，
∴原分式方程的解为 x＝1.
19.(10分)如图，线段AD，CE相交于点B，BC＝BD，AB＝EB，求证：△ACD≌△EDC.
证明：∵BC＝BD，
∴∠ADC＝∠ECD.
∵AB＝EB，
∴BC＋EB＝BD＋AB，即CE＝DA.
在△ACD和△EDC中，
∴△ACD≌△EDC(SAS).
20.(10分)先化简：(＋)÷
，再在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值.
解：原式＝[－]÷
＝(－)·
＝·
＝a＋3.
∵当a＝－3，2，3时，原分式无意义，
∴a可取4或5.
当a＝4时，原式＝4＋3＝7.(或当a＝5时，原式＝5＋3＝8.)
21.(10分)有四个式子：4a2，(x＋y)2，x＋y，9b2，请你从中选出两个，使两者之差能按照以下要求进行因式分解，并写出因式分解的结果.
(1)利用提公因式法；
解：选取(x＋y)2与x＋y.
(x＋y)2－(x＋y)＝(x＋y)(x＋y－1).
(2)利用公式法.
解：选取4a2与9b2.
4a2－9b2＝(2a＋3b)(2a－3b).(答案不唯一)
22.(10分)如图，已知线段AB.
(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，与线段AB交于点D(保留作图痕迹，不写作法)；
解：如图，直线l即为所求.
(2)在(1)的基础上，C为l上一个动点(点C不与点D重合)，连接CB，过点A作AE⊥BC于点E.
①当垂足 E在线段BC上时，直接写出∠ABC度数的取值范围；
解：当垂足E在线段BC上时，45°≤∠ABC＜90°.
②若∠B＝60°，求证：BD＝BC.
证明：连接AC.∵CD是AB的垂直平分线，
∴BD＝AB，CA＝CB.
∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB，∴BD＝BC.
23.(12分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DE∥AB，交BC于点E，交AC于点F，DE＝BC，∠CDE＝∠ACB＝30°.
(1)求证：△FCD是等腰三角形；
证明：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B＝90°，
∴∠DCE＝90°－∠CDE＝60°，
∴∠DCF＝∠DCE－∠ACB＝30°，
∴∠CDE＝∠DCF，∴DF＝CF，
∴△FCD是等腰三角形.
(2)若AB＝4，求CD的长.
解：由(1)得∠B＝∠DEC.
在△ACB和△CDE中，
∴△ACB≌△CDE(ASA)，∴AC＝CD.
在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，
∴AC＝2AB＝8，∴CD＝8.
24.(12分)假期里学校组织部分团员同学参加“关爱老年人”的爱心援助活动，计划分别乘大、小两辆车前往距离140 km的乡村敬老院.
(1)若小车的速度是大车速度的1.4倍，且小车比大车早1 h到达，求大、小车的速度；
解：设大车的速度为x km/h，则小车的速度为1.4x km/h.
根据题意，得＋1＝，解得x＝40.
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
∴1.4x＝56.
答：大车的速度为40 km/h，小车的速度为56 km/h.
(2)若小车与大车同时以相同的速度出发，但行驶了60 km后，小车上的同学发现有物品遗忘在学校，于是小车准备加速返回取物品，之后速度保持不变，要想与大车同时到达乡村敬老院，则小车应提速到原来的多少倍？
解：设小车原来的速度为a km/h，提速后的速度是原来的m倍，则提速后的速度为ma km/h.
根据题意，得＝，解得m＝2.5.
经检验，m＝2.5是原分式方程的解，且符合题意.
答：小车应提速到原来的2.5倍.
25.(14分)在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α.
(1)如图1，延长AD，EB，相交于点O.
①求证：BE＝AD；
证明：∵CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α，
∴∠ACB＝180°－2α，∠DCE＝180°－2α，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE.
在△ACD 和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴BE＝AD.
②用含α的式子表示∠BOA的度数；
解：由①知△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠CAD＝∠BAO＋α.
∵∠ABE＝∠BOA＋∠BAO，
∴∠CBE＋α＝∠BOA＋∠BAO，
∴∠BAO＋α＋α＝∠BOA＋∠BAO，
∴∠BOA＝2α.
(2)如图2，当α＝45°时，连接BD，AE，作CM⊥AE于点M，延长MC，交BD于点N，求证：N是BD的中点.
证明：过点B作BP⊥MN，交MN的延长线于点P，过点D作DQ⊥MN于点Q，则∠BPN＝∠DQN＝90°.
∵α＝45°，∴∠BCA＝180°－45°－45°＝90°，
∴∠BCP＋∠ACM＝90°.
∵∠CAM＋∠ACM＝90°，∴∠BCP＝∠CAM.
在△CBP和△ACM 中，
∴△CBP≌ △ACM(AAS)，∴MC＝BP.
同理CM＝DQ，∴DQ＝BP.
在△BPN和△DQN中，
∴△BPN≌△DQN(AAS)，
∴BN＝ND，∴N是BD的中点.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
