2025-2026学年人教A版数学选择性必修第二册单元检测第五章 一元函数的导数及其应用（含解析）

第五章 一元函数的导数及其应用
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若f(x)=sin α-cos x,则f'(x)等于(　　)
A.sin x B.cos x
C.cos α+sin x D.2sin α+cos x
2.若曲线y=在点P处的切线的斜率为-4,则点P的坐标是(　　)
A. B.
C. D.
3.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=(　　)
A.-4 B.-2
C.4 D.2
4.已知函数f(x)=ax3+ax2-2ax+1的图象经过四个象限,则实数a的取值范围是(　　)
A.-
B.-,-
C.-,-
D.
5.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)的图象可能是(　　)
6.函数f(x)=3x-4x3(x∈[0,1])的最大值是(　　)
A.1 B. C.0 D.-1
7.已知函数f(x)=x2+2x+aln x,若函数f(x)在区间(0,1)内单调,则实数a的取值范围是(　　)
A.[0,+∞)
B.(-∞,-4)
C.(-∞,-4]∪[0,+∞)
D.(-∞,-4)∪(0,+∞)
8.已知定义在R上的函数f(x),f(x)+xf'(x)<0,若aA.af(a)C.af(a)>bf(b) D.af(b)>bf(a)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知函数f(x)的定义域为R,其导函数为f'(x),右面是函数y=xf'(x)的图象,则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的单调递增区间是(-2,0),(2,+∞)
B.函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-2),(2,+∞)
C.x=-2是函数的极小值点
D.x=2是函数的极小值点
10.若直线l与曲线C满足下列两个条件:①直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;②曲线C在点P附近位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列结论正确的是(　　)
A.直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3
B.直线l:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=ln x
C.直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sin x
D.直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tan x
11.(2024·新高考Ⅰ)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则(　　)
A.x=3是函数f(x)的极小值点
B.当0C.当1D.当-1f(x)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.请把正确答案填在题中的横线上.
12.已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6),函数g(x)=f'(x)+6x的图象关于y轴对称,则m=　　　　　,f(x)的单调递减区间为　　　　　.
13.已知函数f(x)=2ln x+ax2-3x,若x=2是函数f(x)的极小值点,则实数a的值为　　　　　.
14.若函数f(x)=在区间(m,2m+1)内单调递增,则实数m的取值范围是　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的单调区间.
16.(15分)某个体户计划经销A,B两种商品,据调查统计,当投资额分别为x(x≥0)万元时,在经销A,B商品中所获得的收益分别为f(x)与g(x)(单位:万元),其中f(x)=a(x-1)+2,g(x)=6ln(x+b)(a>0,b>0).已知投资额为零时经销两种商品的收益都为零.
(1)求a,b的值;
(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品,请你帮他制定一个资金投入方案,使他能获得最大收益.
17.(15分)已知函数f(x)=x3-(a+1)x2+x-(a∈R).
(1)若a>1,求函数f(x)的极值;
(2)当018.(17分)已知函数f(x)=ax2+2ln(1-x)(a为常数).
(1)若f(x)在x=-1处有极值,求a的值,并判断x=-1是极大值点还是极小值点;
(2)若f(x)在区间[-3,-2]上单调递增,求a的取值范围.
19.(17分)设函数f(x)=ln x-x+1.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求证:当x∈(1,+∞)时,1<(3)设c>1,求证:当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.
第五章 一元函数的导数及其应用
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.A
函数f(x)是关于x的函数,因此sin α是一个常数.故f'(x)=sin x.
2.B
y'=-,由-=-4,得x2=,从而x=±,分别代入y=,得点P的坐标为.
3.D
f'(x)=3x2-12,由f'(x)=0得x=±2,当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(-2,2)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,函数单调递增,所以a=2.
4.D
f'(x)=ax2+ax-2a=a(x+2)(x-1),要使函数f(x)的图象经过四个象限,
则f(-2)f(1)<0,即<0,
解得a<-或a>.
5.D
由题中导函数f'(x)的图象可知,当x<0时,函数f(x)单调递减,排除A,B;当00,函数f(x)单调递增.
因此,当x=0时,f(x)取得极小值,
故选D.
6.A
f'(x)=3-12x2,x∈[0,1],令f'(x)=0,解得x=-(舍去)或x=.
又f(0)=0,f(1)=-1,f=1,
故f(x)在区间[0,1]上的最大值为1.
7.C
f'(x)=2x+2+,∵f(x)在区间(0,1)内单调,
∴f'(x)≥0或f'(x)≤0在区间(0,1)内恒成立,
∴2x+2+≥0或2x+2+≤0在区间(0,1)内恒成立,
即a≥-2x2-2x或a≤-2x2-2x在区间(0,1)内恒成立.
设g(x)=-2x2-2x=-22+(0≤x≤1),则g(x)在区间[0,1]上单调递减,
∴g(x)的最大值为g(0)=0,最小值为g(1)=-4.
∴a≥0或a≤-4.
8.C
设y=xf(x),则y'=[xf(x)]'=x'f(x)+xf'(x)=f(x)+xf'(x)<0,
∴函数y=xf(x)是R上的减函数.
∵a∴af(a)>bf(b).
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.BD
由题意,当02时,f'(x)>0;当-20,即函数f(x)在区间(-∞,-2)和(2,+∞)内单调递增,在区间(-2,2)内单调递减,因此函数f(x)在x=2时取得极小值,在x=-2时取得极大值,故A错误,B正确,C错误,D正确.
10.ACD
A项,因为y'=3x2,当x=0时,y'=0,
所以直线l:y=0是曲线C:y=x3在点P(0,0)处的切线.
当x<0时,y<0;当x>0时,y>0,
所以曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确;
B项,y'=,当x=1时,y'=1,曲线y=ln x在P(1,0)处的切线为l:y=x-1.
令h(x)=x-1-ln x,则h'(x)=1-(x>0),
当x>1时,h'(x)>0;当0所以h(x)min=h(1)=0.故x-1≥ln x,
即当x>0时,曲线C全部位于直线l的下侧(除切点外),结论错误;
C项,y'=cos x,当x=0时,y'=1,曲线y=sin x在P(0,0)处的切线为l:y=x,
由正弦函数图象可知,曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确;
D项,y'=,当x=0时,y'=1,曲线y=tan x在P(0,0)处的切线为l:y=x,
由正切函数图象可知,曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确.
11.ACD
∵f(x)=(x-1)2(x-4),
∴函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=3(x-1)(x-3).
令f'(x)=3(x-1)(x-3)=0,得x=1或x=3.
当x<1或x>3时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当1∴x=3是函数f(x)的极小值点,
∴A正确.
当0∴f(x2)∴B错误.
当10,即f(2x-1)>-4,∴C正确.
当-1由f(x)在区间(-1,0)上单调递增,且在区间(2,3)上单调递减知,-20f(x),∴D正确.
故选ACD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.请把正确答案填在题中的横线上.
12. -3　(0,2)
由函数f(x)的图象过点(-1,-6),得m-n=-3.①
由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f'(x)=3x2+2mx+n,
所以g(x)=f'(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.
因为g(x)的图象关于y轴对称,所以-=0,
解得m=-3,代入①得n=0,
所以f'(x)=3x2-6x=3x(x-2).
由f'(x)<0,得0所以f(x)的单调递减区间是(0,2).
13.
f(x)=2ln x+ax2-3x,定义域为(0,+∞),f'(x)=+2ax-3.
由题意得f'(2)=4a-2=0,解得a=,此时,f'(x)=x-3+.
经验证可知x=2是函数f(x)的极小值点.
14. (-1,0]
f'(x)=,令f'(x)>0,得-1又f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增,
所以
解得-1四、解答题:本题共5小题,共77分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
解:(1)因为f(x)=xea-x+bx,
所以f'(x)=(1-x)ea-x+b.
依题设有
即
解得
(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.
由f'(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知,f'(x)与1-x+ex-1同号.
令g(x)=1-x+ex-1,则g'(x)=-1+ex-1.
所以当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)内单调递减;
当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)内单调递增.
故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)内的最小值,从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).
综上可知,f'(x)>0,x∈(-∞,+∞),故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间.
16.(15分)
解:(1)由投资额为零时收益均为零,可知f(0)=-a+2=0,g(0)=6ln b=0,解得a=2,b=1.
(2)由(1)可得f(x)=2x,g(x)=6ln(x+1).
设投入经销B商品的资金为x(0则投入经销A商品的资金为(5-x)万元,
设所获得的收益为S(x)(单位:万元),
则S(x)=2(5-x)+6ln(x+1)=6ln(x+1)-2x+10(0S'(x)=-2,令S'(x)=0,得x=2.
当00,函数S(x)单调递增;
当2所以当x=2时,函数S(x)取得极大值,也是最大值,且S(x)max=S(2)=6ln 3+6≈12.6.
故当该个体户投入经销A商品3万元,B商品2万元时,他能获得最大收益,最大收益约为12.6万元.
17.(15分)
解:(1)∵f(x)=x3-(a+1)x2+x-,
∴f'(x)=ax2-(a+1)x+1=a(x-1).
∵a>1,
∴0<<1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表.
x 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表可得当x=时,f(x)有极大值,且极大值为f,
当x=1时,f(x)有极小值,且极小值为f(1)=-(a-1).
(2)由(1)得f'(x)=a(x-1).
∵01.
①当≥2,即0又f(0)=-<0,f(1)=-(a-1)>0,f(2)=(2a-1)≤0,
∴f(x)在区间(0,1)和(1,2]内各有一个零点,
∴f(x)在区间[0,2]上有两个零点.
②当1<<2,即又f(0)=-<0,f(1)=-(a-1)>0,f>0,
∴f(x)在区间[0,1]上有且只有一个零点,在区间[1,2]上没有零点,
∴f(x)在区间[0,2]上有且只有一个零点.
综上,当0当18.(17分)
解:(1)f'(x)=2ax-,x∈(-∞,1),
∵f(x)在x=-1处有极值,
∴f'(-1)=-2a-1=0,∴a=-.
f'(x)=-x-.
∵x<1,∴1-x>0,x-2<0,因此,当x<-1时,f'(x)>0,当-1∴x=-1是f(x)的极大值点.
(2)由题意f'(x)≥0在区间[-3,-2]上恒成立,
即2ax-≥0在x∈[-3,-2]上恒成立.
∴a≤在x∈[-3,-2]上恒成立.
设g(x)=,x∈[-3,-2],则当x∈(-3,-2)时,g'(x)=.
于是当x<时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减,因而g(x)在区间[-3,-2]上单调递减,
∴g(x)min=g(-2)=-.∴a≤-.
即a的取值范围为.
19.(17分)
(1)解:由题设,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-1,令f'(x)=0,解得x=1.
当00,f(x)单调递增;
当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
(2)证明:由(1)知,f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0.
所以当x≠1时,ln x故当x∈(1,+∞)时,ln x1,ln-1,
所以-ln x<,
即x>,因而有1<(3)证明:由题设c>1,设g(x)=1+(c-1)x-cx,则g'(x)=c-1-cxln c.
令g'(x)=0,解得x0=.
当x0,g(x)单调递增;
当x>x0时,g'(x)<0,g(x)单调递减.
由(2)知1<又g(0)=g(1)=0,故当00.
所以当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.