2025-2026学年人教A版数学选择性必修第二册综合检测练习（含解析）

人教A版数学选择性必修第二册综合检测练习卷
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数f(x)=,则f'=(　　)
A.- B.- C.-8 D.-16
2.已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,且a2=3a4-6,则S9等于(　　)
A.25 B.27 C.50 D.54
3.已知在公差不为0的等差数列{an}中,2a4-+2a14=0,数列{bn}是等比数列,且a9=b9,则b8b10=(　　)
A.4 B.16 C.8 D.2
4.已知函数f(x)=xln x,则这个函数的图象在点(1,f(1))处的切线方程是(　　)
A.y=2x-2 B.y=2x+2 C.y=x-1 D.y=x+1
5.若函数f(x)=3x-x3在区间(a-5,2a+1)内有最小值,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-1,4] B.(-1,4)
C.(-1,] D.(-1,)
6.已知x>0,a=x,b=x-,c=ln(1+x),则(　　)
A.cC.c7.函数y=的大致图象是(　　)
8.已知f'(x)是函数f(x)的导数,且f(-x)=f(x),当x≥0时,f'(x)>3x,则不等式f(x)-f(x-1)<3x-的解集是(　　)
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.y=f(x)的导数的图象如图所示,对于下列四个判断,其中正确的是(　　)
A.f(x)在区间(-2,-1)内单调递增
B.当x=-1时,f(x)取得极小值
C.f(x)在区间(-1,2)内单调递增,在区间(2,4)内单调递减
D.当x=3时,f(x)取得极小值
10.在数列{an}中,若=k(k为常数),n∈N*,则称{an}为“等差比数列”.下列对“等差比数列”的判断正确的是(　　)
A.k不可能为0
B.等差数列一定是等差比数列
C.等比数列一定是等差比数列
D.等差比数列中可以有无数项为0
11.已知函数f(x)=xln x,若0A.x2f(x1)B.x1+f(x1)C.<0
D.当ln x>-1时,x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.请把正确答案填在题中的横线上.
12.若函数f(x)=x2+aln x在x=2处取得极值,则a=　　　　　.
13.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=2SnSn+1,则a2=　　　　　,Sn=　　　　　.
14.已知函数f(x)=sin 2x+4acos x在区间内单调递增,则实数a的取值范围为　　　　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)在①a5=b4+2b6,②a3+a5=4(b1+b4),③b2S4=5a2b3三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.
设{an}是公比大于0的等比数列,其前n项和为Sn,{bn}是等差数列.已知a1=1,S3-S2=a2+2a1,a4=b3+b5,　　　　　.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)设Tn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn,求Tn.
16.(15分)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+pn,且a4,a7,a12成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
17.(15分)已知函数f(x)=ln x-x2+x.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求证:当a≥2时,关于x的不等式f(x)18.(17分)已知在数列{an}中,a1=1,an+1=3an+1(n∈N*).
(1)求证:数列是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}的通项公式bn=,n∈N*,数列{cn}满足cn=(n∈N*),记数列{cn}的前n项和为Tn.若不等式(-1)nλ19.(17分)已知函数f(x)=ex-x2+ax+1,a∈R.
(1)若f(x)为R内的增函数,求a的取值范围;
(2)若a>0,x1≠x2,且f(x1)+f(x2)=4,证明f(x1+x2)<2.
人教A版数学选择性必修第二册综合检测练习卷
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.D
∵f'(x)=(x-2)'=-2x-3,
∴f'=-2×=-16.
2.B
设数列{an}的公差为d.
∵a2=3a4-6,
∴a1+d=3a1+9d-6,即a1+4d=3,
∴a5=3,∴S9=(a1+a9)=9a5=27.
3.B
因为2a4-+2a14=0,所以4a9-=0,得a9=4或a9=0.
又数列{bn}是等比数列,且a9=b9≠0,所以a9=4,即b9=4,所以b8b10==16.
4.C
f(1)=ln 1=0,则切点为(1,0),导函数f'(x)=ln x+1,则函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率k=f'(1)=ln 1+1=1,所以函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1.
5.C
由f(x)=3x-x3,可得f'(x)=-3x2+3=-3(x-1)(x+1),当-10,当x<-1或x>1时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(-∞,-1),(1,+∞)内单调递减,在区间(-1,1)内单调递增,可得f(-1)=-2,令f(x)=-2,可得x=-1或x=2,则f(x)的大致图象如图所示,
因为函数在区间(a-5,2a+1)内有最小值,故a-5<-1<2a+1≤2,
解得-16.D
因为x>0,所以a-b=>0,所以a>b.
令f(x)=a-c=x-ln(1+x)(x∈(0,+∞)),则f'(x)=1->0,所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,所以f(x)>f(0)=0,即a>c.
令h(x)=b-c=x--ln(1+x)(x∈(0,+∞)),所以h'(x)=1-x-=-<0,所以h(x)在区间(0,+∞)内单调递减,所以h(x)综上所述,b7.D
由题可知,函数的定义域为{x|x≠0},y'=-=-,令y'=0,得x=-1,则当x∈(0,+∞)时,y'<0;当x∈(-1,0)时,y'<0;当x∈(-∞,-1)时,y'>0,故函数y=在区间(0,+∞)内单调递减,在区间(-1,0)内单调递减,在区间(-∞,-1)内单调递增.
故可排除选项A,B.
令x=1,可得y=>0,可知选项C不符合,D符合.
8.D
设g(x)=f(x)-x2,则g'(x)=f'(x)-3x.
因为当x≥0时,f'(x)>3x,所以当x≥0时,g'(x)=f'(x)-3x>0,
所以g(x)在区间[0,+∞)内单调递增.
因为f(-x)=f(x),所以g(-x)=f(-x)-x2=f(x)-x2=g(x),所以g(x)是偶函数.
因为f(x)-f(x-1)<3x-,
所以f(x)-x2即g(x)所以|x|<|x-1|,解得x<.
故所求不等式的解集为.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.BC
根据题中图象知,当x∈(-2,-1),x∈(2,4)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(-1,2),x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.故A错误;故当x=-1时,f(x)取得极小值,B正确;C正确;当x=3时,f(x)不是取得极小值,D错误.故选BC.
10.AD
若k=0,则分子an+2-an+1=0,数列{an}为常数列,则an+1-an=0,分母为0,推出矛盾,故k不可能为0,即A正确;
数列a,a,…,a(a≠0)既是等差数列,又是等比数列,但不满足=k,即不是等差比数列,故B,C不正确;
数列0,1,0,1,0,1,…为等差比数列,故D正确.
11.AD
设g(x)==ln x,函数g(x)单调递增,
∵0g(x1),即,∴x1f(x2)>x2f(x1),A正确;
设h(x)=f(x)+x,则h'(x)=ln x+2,h'(x)不是恒大于等于零,B错误;
∵f(x)=xln x,∴f'(x)=ln x+1,f'(x)不是恒小于等于零,C错误;
∵ln x>-1,∴f'(x)=ln x+1>0,函数f(x)单调递增,∴(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]=x1f(x1)+x2f(x2)-x2f(x1)-x1f(x2)>0,
∴x1f(x1)+x2f(x2)>x2f(x1)+x1f(x2),
又x1f(x2)>x2f(x1),∴x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1),D正确.故选AD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.请把正确答案填在题中的横线上.
12. -4
由f(x)=x2+aln x,知f'(x)=x+(x>0),因为函数f(x)在x=2处取得极值,
所以f'(2)=2+=0,解得a=-4.
此时,f'(x)=x-,则当x∈(0,2)时,f'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,
所以f(x)在区间(0,2)内单调递减,在区间(2,+∞)内单调递增,
故函数f(x)在x=2处取得极小值.
故a=-4符合题意.
13.
Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=2SnSn+1,令n=1,则a2=2a1(a1+a2),
得a2=-2(-1+a2),解得a2=.
又Sn+1-Sn=2SnSn+1,
整理得=2,
即=-2,
故数列是以=-1为首项,-2为公差的等差数列.
可得=-1-2(n-1)=1-2n,故Sn=.
14.
f'(x)=2cos 2x-4asin x,因为函数f(x)在区间内单调递增,
所以f'(x)=2cos 2x-4asin x≥0在区间内恒成立,
即2a≤在区间内恒成立.
令g(x)=-2sin x,x∈,
令t=sin x∈(0,1),φ(t)=-2t,t∈(0,1),
则φ'(t)=--2<0,故函数φ(t)在区间(0,1)内单调递减,
所以φ(t)>φ(1)=1-2=-1,所以2a≤-1,解得a≤-,即实数a的取值范围为.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
解:(1)方案一:选条件①.设等比数列{an}的公比为q,
∵a1=1,S3-S2=a2+2a1,
∴q2-q-2=0,解得q=2或q=-1.
∵q>0,∴q=2,an=2n-1.
设等差数列{bn}的公差为d,
∵a4=b3+b5,a5=b4+2b6,∴
解得∴bn=n.∴an=2n-1,bn=n.
方案二:选条件②.设等比数列{an}的公比为q,
∵a1=1,S3-S2=a2+2a1,
∴q2-q-2=0,解得q=2或q=-1.
∵q>0,∴q=2,an=2n-1.
设等差数列{bn}的公差为d,
∵a4=b3+b5,a3+a5=4(b1+b4),
∴解得∴bn=n.
∴an=2n-1,bn=n.
方案三:选条件③.设等比数列{an}的公比为q,
∵a1=1,S3-S2=a2+2a1,
∴q2-q-2=0,解得q=2或q=-1.
∵q>0,∴q=2,an=2n-1.
设等差数列{bn}的公差为d,
∵a4=b3+b5,b2S4=5a2b3,∴
解得∴bn=n.∴an=2n-1,bn=n.
(2)∵an=2n-1,bn=n,
∴Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=1×20+2×21+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1,①
2Tn=1×21+2×22+…+(n-1)×2n-1+n×2n,②
①-②,得-Tn=1+21+22+…+2n-1-n×2n=-n×2n=2n-1-n×2n,
∴Tn=(n-1)×2n+1.
16.(15分)
解:(1)当n=1时,a1=S1=1+p,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1+p,当n=1时,a1=1+p也满足上式,故an=2n-1+p.
∵a4,a7,a12成等比数列,∴a4a12=,
∴(7+p)(23+p)=(13+p)2,解得p=2,
∴an=2n+1.
(2)由(1)可得bn==1-,
∴Tn=n-=n-.
17.(15分)
(1)解:由已知可得,f'(x)=-2x+1=(x>0),由f'(x)<0,得x>1;由f'(x)>0,得0(2)证明:令g(x)=f(x)-=ln x-ax2+(1-a)x+1(x>0),
所以g'(x)=-ax+(1-a)=.
因为a≥2,所以g'(x)=-.
令g'(x)=0,得x=(x=-1舍去),
所以当x∈时,g'(x)>0,当x∈时,g'(x)<0,
因此函数g(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减,
所以x=是函数g(x)的极大值点,也是唯一的极值点,
所以g(x)在x=处取得最大值.
故函数g(x)的最大值为g=lna·2+(1-a)·+1=-ln a.
令h(a)=-ln a(a≥2),因为h(2)=-ln 2<0,且函数h(a)在区间(0,+∞)内单调递减,
所以当a≥2时,h(a)<0,即对于任意正数x总有g(x)<0,即对于任意正数x,关于x的不等式f(x)18.(17分)
解:(1)证明:因为a1=1,an+1=3an+1(n∈N*),所以an+1+=3.
所以=3,且a1+,所以数列是以为首项,3为公比的等比数列.
因此an+×3n-1=,从而an=,n∈N*.
(2)由(1)得cn=(n∈N*),
所以Tn=1×+2×+3×+…+n×,①
Tn=1×+2×+3×+…+n×,②
由①-②得,Tn=1×+…+-n×=2-,
所以Tn=4-.
所以Tn+=4-.
因为不等式(-1)nλ所以当n为偶数时,有λ<4-恒成立.
设f(n)=4-(n≥2,n∈N*).
易知f(n)min=f(2)=3.所以λ<3;
当n为奇数时,有-λ<4-恒成立,设g(n)=4-(n≥1,n∈N*),易知g(n)min=g(1)=2,所以-λ<2,所以λ>-2.
综上所述,实数λ的取值范围是(-2,3).
19.(17分)
(1)解:f'(x)=ex-x+a,因为f(x)为R上的增函数,所以f'(x)=ex-x+a≥0恒成立,即ex-x≥-a恒成立,设F(x)=ex-x,则F'(x)=ex-1,令F'(x)=0,得x=0,于是当x∈(-∞,0)时,F'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,F'(x)>0,所以F(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增,
所以x=0为函数F(x)的极小值点,也是唯一的极值点,所以F(x)在x=0处取得最小值.
所以F(x)≥F(0)=1,故-a≤1,解得a≥-1.
所以实数a的取值范围为[-1,+∞).
(2)证明:由(1)知,当a>0时,f(x)为R上的增函数.
由于f(0)=2,x1≠x2,且f(x1)+f(x2)=4,所以x1,x2中一个大于0,一个小于0.不妨设x1<0设函数h(x)=f(x)+f(-x),x∈(-∞,0),则h(x)=ex-x2+ax+1+
=ex+e-x-x2+2,则h'(x)=ex-e-x-2x,设φ(x)=h'(x),则φ'(x)=ex+e-x-2≥0.
所以h'(x)在区间(-∞,0)内单调递增,
所以h'(x)所以h(x)在区间(-∞,0)内单调递减,
所以h(x1)=f(x1)+f(-x1)>h(0)=4,
所以f(x2)=4-f(x1)所以x2<-x1,故x1+x2<0.
从而f(x1+x2)