期末常考易错检测卷（含答案）-2025-2026学年高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册

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期末常考易错检测卷-2025-2026学年高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册
一、选择题
1．已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（　　）
A． B． C． D．
2．直线的倾斜角的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．已知直线与椭圆交于两点，若（是椭圆的两个焦点），则四边形的面积为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
4．“”是“椭圆的离心率为”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知等轴双曲线的实轴长为，左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，则（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在平行六面体中，点为的中点，设，则（　　）
A． B．
C． D．
7．若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
8．阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为根据上述材料，解决下面问题：直线是两个平面与的交线，则（　　）是的一个方向向量．
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．以下四个命题中正确的是（　　）．
A．若为空间的一组基底，则构成空间的另一组基底
B．直线l的方向向量，平面的法向量，则平面
C．已知，，则在上的投影向量为
D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面
10．下列说法正确的是（　　）
A．“直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是
D．过点且在轴，轴上的截距互为相反数的直线方程是
11．设椭圆 的左右焦点为 ， ， 是 上的动点，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．离心率
C． 面积的最大值为
D．以线段 为直径的圆与直线 相切
三、填空题
12．已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为　 　．
13．已知椭圆的两个焦点为、，是椭圆上一点，且满足，则椭圆的离心率的取值范围为　 　．
14．如图，直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为　 　．
四、解答题
15．已知顶点、、.
（1）求边的垂直平分线的方程；
（2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程.
16．如图，在四棱锥中，是边长为1的正三角形，面面，，，，C为的中点.
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在点F，使二面角的余弦值为，若存在，求.若不存在，请说明理由.
17．．
（1）用向量表示向量，并求；
（2）求．
18．已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且
（1）求此椭圆的方程
（2）若点满足，求的面积．
19．如图所示，在平面直角坐标系中，点绕坐标原点逆时针旋转角至点.
（1）试证明点的旋转坐标公式：；
（2）设，点绕坐标原点逆时针旋转角至点，点再绕坐标原点逆时针旋转角至点，且直线的斜率，求角的值；
（3）试证明方程为的曲线是双曲线，并求其焦点坐标.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】A
7．【答案】C
8．【答案】A
9．【答案】A,B,D
10．【答案】B,C
11．【答案】A,D
12．【答案】或
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：由、.可知中点为，且，
设边的垂直平分线的斜率为，
所以其垂直平分线斜率满足，即，
所以边的垂直平分线的方程为，即；
（2）解：当直线过坐标原点时，其直线斜率，此时直线方程为，符合题意；
当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，
由过点，则，解得，
所以直线方程为，
综上所述，直线的方程为或.
16．【答案】（1）证明：证法一：取中点E，连接和，
C为中点，
且，
且，
且，
四边形为平行四边形，
则，
面，面，
面.
证法二：如图所示，取的中点Q，连接，，
在，C为中点，Q为中点，
，
平面，平面，
平面，
在四边形中，，，Q为中点，
，，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面
又，平面，
平面平面，
由平面，
平面.
（2）解：解法一：取中点O，连接，
则在等边中，，
面面，面面，面，
面，面，
可得，
又因为，，面，
面，
以N为坐标原点，，为x，y轴，
过点垂直于平面的直线为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，
则，
，
依题意，可得平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
则，
设二面角为，
则，
或（舍），
则，
所以.
解法二：取中点O，连接，
则在等边中，，
面面，面面，面，
面，面，
可得，
又因为，，面，
面，
取的中点E，以O为原点，
分别以、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，，
由是平面的一个法向量，记为，
假设线段上存在点F满足已知条件，
则，且，
设，则，
，
，，，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
取，
由已知条件，得，
整理得，
化简得，
解得或（舍去），
线段上存在点F，当时，满足已知条件，
则，
，
，
求平面的一个法向量的另一种解法：
，
平面的一个法向量可取.
解法三：（几何法）作，，
，，，平面，
平面，平面，
，
为二面角的平面角，
设，在中，，
，
，
在中，
由，
得，
由，
得，
在直角三角形中，，
，
在直角三角形中，，
则在中，由，
得.
17．【答案】（1）解：，
则
，
所以.
（2） 解：由空间向量的运算法则，可得，
因为且，
所以
，
，
则.
18．【答案】（1）解：由题意可设椭圆的方程为，
∵焦点为，，∴，∴c=1
又∵，
∴，，
．
所求椭圆的方程为．
（2）解：在中，由余弦定理得
即，
∴，
∴，
所以.
19．【答案】（1）证明：设将轴正半轴绕坐标原点逆时针旋转角至边，且，
由任意角的三角函数定义，得：和
由两角和的正余弦公式，
得，
将代入，
得.
（2）解：设点的坐标分别为，
由点的旋转坐标公式，
得和，
由直线的科率，得，
则，
或，
或，
.
（3）证明：设为方程的曲线上任意一点，
将点绕坐标原点逆时针旋转角至点.
则，
解得：①
将①代入方程，
得，
整理得：.
令，可得是该方程的解，
所以，将方程的曲线按顺时针旋转，
则所得曲线的方程为，
故曲线是以和为焦点的双曲线，
又因为双曲线是由曲线绕坐标原点旋转而得到的，
所以曲线也是双曲线，
将点按逆时针旋转，得到点，
将点按逆时针旋转，得到点，
所以，双曲线的焦点坐标为与.
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