2025-2026学年高三数学上学期期末综合练习卷（通用版）（含答案）

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2025-2026学年高三数学上学期期末综合练习卷（通用版）
一、选择题
1．若，则（　　）
A． B．2 C． D．
2．已知，且在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
3．已知，，，，则（　　）
A． B． C． D．
4．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
5．以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为（　　）
A． B． C． D．
6．已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（　　）
A． B．
C．函数的周期为2 D．
7．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通 安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该萻电池的Peukert常数约为（　　）（参考数据：，）
A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15
8．已知函数 ，其中 ， ，其图象关于直线 对称，对满足 的 ， ，有 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，则函数 的单调递减区间是（　　）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．已知某人掷骰子5次，并记录每次骰子出现的点数，统计数据为：，，，，，若，，成等差数列，则由下列说法可以判断出一定没有出现点数6的是（　　）
A．该组数据的中位数为4，众数是4
B．该组数据的平均数为，分位数是5
C．该组数据的平均数为3，方差小于3
D．该组数据的极差为5，方差大于3
10．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（　　）
A．一定是异面直线
B．存在点，使得
C．直线与平面所成角的正切值的最大值当
D．过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值
11．下列说法正确的是（　　）
A．若数列前项和满足，则
B．在等差数列中，满足，则其前项和中最大
C．在等差数列中，满足，则数列的前9项和为定值
D．若等差数列中，，则使的最大的为15
三、填空题
12．已知，则　 　．
13．一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.设第1，2，3次都摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求　 　.
14．已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为　 　．
四、解答题
15．已知分别为的内角的对边，且.
（1）求；
（2）若，的面积为2，求.
16．如图，三棱锥的底面是边长为2的正三角形ABC，且，平面平面
（1）证明：平面
（2）若BC与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
17．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.例如是区间上的“平均值函数”，0是它的均值点.
（1）已知函数、，判断、是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由；
（2）设是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的整数数对；
（3）若是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点，求证：.
18．已知椭圆的离心率.
（1）若椭圆过点，求椭圆的标准方程.
（2）若直线均过点且互相垂直，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，设.
①求；
②记，求数列的前项和.
19．一游戏规则如下：一个质点在数轴上运动，从原点出发，每次向左或者向右移动一个单位，共移动了次.
（1）已知质点每次向右移动的概率为.
①当 时，求质点最终回到原点的概率；
②规定质点在运动过程中，只要出现在原点左侧，游戏就结束，否则游戏就继续、直到移动了次，分别求出当和时质点最终落在原点右侧的概率并比较它们的大小
（2）现在规定游戏分为两个阶段：第一阶段，质点每次向右移动的概率为、共移动了3次、若质点最终落在了原点左侧，则结束游戏，且最终得分为0分. 若最终落在了原点右侧、则通过第一阶段，并进入第二阶段：质点重新回到原点，每次向右移动的概率为，并再次移动了3次，若质点最终落在了原点左侧，则最终得分也为0分； 若最终落在了原点右侧，则最终得分为质点位于数轴上所在位置对应的实数.
①请用含的式子表示该游戏得分的数学期望；
②若 则当取何值的时候，该游戏得分的期望值最大？
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】A,C
10．【答案】A,D
11．【答案】B,C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：在中，由余弦定理得，，
代入，
则，
即，
即，
因为，所以，则.
（2）解：因为的面积为2，
所以，即，
又因为，，，所以，
则，则.
16．【答案】（1）证明：如图所示，取中点，中点，连接，
∵，∴，
∴，∴，
又∵，，平面PCE，∴平面，
又平面，∴，
∵，∴，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
又平面，∴，
∵，，，，平面
∴平面
（2）解：解法一：如图所示，以点F为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
∴，，，设点，
∴，，
设平面PAB的法向量，
则，令x=a，则，∴，
∴，解得
∴平面PAB的法向量，
由(1)易知平面PAC的法向量，
设平面PAB与平面PAC夹角为，∴，
∴ 平面与平面夹角的余弦值为
解法二：如图所示，作，垂足为 M，连接
∵平面，，∴平面，
为与平面所成角，
∴，解得，
设，则，
由，得，解得
作，垂足为，连接，
为平面与平面夹角，
，由得，，
，
，
平面与平面夹角的余弦值为
17．【答案】（1）解：函数是区间上的“平均值函数”，不是区间上的“平均值函数”，理由如下：
因为，即，解得，
所以函数是区间上的“平均值函数”；
因为，即，所以，无解，所以不是区间上的“平均值函数”
（2）解：由题意可知，，
因为，即，显然不成立，
所以，
又所求的为整数对，所以或或或.
所以满足条件的整数数对为(4，2)，(-4，4)，(-2，5)，(-1，7).
（3）证明：因为，所以，
要证，即证，即证，
令，所以，即，
令，所以，
所以在上单调递减，
所以，
即，即.
18．【答案】（1）解：因为，，
可得：①，
又因为椭圆过点，
可得②，
联立①，②，解得，
所以，椭圆的标准方程为.
（2）解：①当直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，
直线与轴重合，不符合题意，
所以，直线的斜率均存在且不为0.
设直线的方程为，
联立，
消去，整理得：，
因为直线交椭圆于两点，
则且，
所以，
因为直线的方程为，
同理可得，
因为三点共线，所以，
则，
易知，
则，
因为，
所以.
②结合 ①，可知，
则，
因为，
所以，数列是首项为9，公比为3的等比数列，
所以，数列的前项和为.
19．【答案】（1）解：①质点最终回到原点的情况为：向右走3次，向左走3次，
则
②设和时质点最终落在原点右侧的概率分别为，
当情况为：第一次必然向右，后两次至少有一次向右，
则.
当包含2种情况：
(i)前2次均向右，后三次至少有一次向右；
(ii)第一次向右，第二次向左，第三次向右，最后两次至少有1次向右，
则，
所以，
则.
（2）解：①第一阶段通过的情况为3次均向右或者有2次向右，1次向左，
其概率为： ，
设为最终得分，则可以为0，1，3，
则其数学期望为：
；
②若，则，
令，
则
所以在上单调递增，在上单调递减，
则当时，该游戏得分的期望值最大.
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