9.2.1 向量的加减法--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
9.2　向量运算
9.2.1　向量的加减法
基础过关练
题组一　向量的加法运算
1.(2025浙江温州月考)计算=　(　　)
A.
C.
2.(多选题)(2025山东德州庆云云天中学月考)如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式中正确的是(　　)
A.=0
C.
3.(2025安徽马鞍山第二中学期中)已知在等腰三角形ABC中,AB=AC,D,E在边BC上,满足BD=DE=EC,则下列各式中正确的是(　　)
A.
C.
4.(2025天津第一中学月考)在四边形ABCD中,若=0,且AB=AC=AD=4,则△BCD的面积为　　　　.
5.如图所示,在中心为O的正八边形A1A2…A7A8中,ai=(i=1,2,…
,7),bj=(j=1,2,…,8),则a2+a5+b2+b5+b7=　　　　.(结果用ai或bj表示)
6.(教材习题改编)一艘小船在静水中的航行速度的大小为20 m/min,一小河的水流速度的大小为10 m/min,如果船从河岸出发,沿垂直于水流的航线到达对岸需10 min,求小船的实际航行速度和航程.
7.如图,各小正方形的边长相等,按下列要求作答.
(1)以A为始点,作出向量a+b;
(2)以B为始点,作出向量c+d+e;
(3)若a为单位向量,求|a+b|,|c+d|和|c+d+e|.
题组二　向量的减法运算
8.(2025江苏句容碧桂园学校阶段检测)下列各式化简结果正确的是(　　)
A.
B.(
C.=0
D.
9.(2025四川遂宁射洪中学校月考)如图,在正六边形ABCDEF中,=(　　)
A.0　　　　 B.　　　　
C.
10.(2025江苏淮安中学月考)已知向量a,b在正方形网格中的位置如图所示,各小正方形的边长相等,那么向量a-b与b的夹角为(　　)
A.45°　　　　B.60°　　　　C.90°　　　　D.135°
11.(2024辽宁抚顺月考)如图,在△ABC中,若D是边BC的中点,E是△ABC所在平面内任意一点,则=　　　　.
12.如图,已知五边形ABCDE中,=a,=b,=c,=d,=e.
(1)用a,d,e表示;
(2)用b,c表示;
(3)用a,b,e表示;
(4)用d,c表示.
题组三　向量和与差的模
13.(2024江苏泰州兴化文正实验学校月考)已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=1,则|a-b|的最大值为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.5
14.(易错题)(多选题)(2025江苏无锡锡山高级中学阶段考试)设a,b是两个非零向量,下列四个命题为真命题的是(　　)
A.若|a|=|b|=|a-b|,则a-b与b的夹角为
B.若|a|=|b|=|a+b|,则a与b的夹角为
C.若|a+b|=|a|-|b|,则a和b方向相同
D.若|a+b|=|a|+|b|,则a和b方向相同
15.(2025江苏南京外国语学校月考)设向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2,则以|a|,|b|,|a-b|为边长的三角形面积的最大值为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
16.(2025江苏通州高级中学阶段测试)设a,b,c为非零向量,若a方向上的单位向量用表示,p=,则|p|的最大值与最小值的差为(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
答案与分层梯度式解析
9.2　向量运算
9.2.1　向量的加减法
基础过关练
1.B　.
2.ABC　,故A正确;=0,故B正确;因为D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,所以DE平行且等于AF,所以四边形ADEF为平行四边形,所以,故C正确;因为F为CA的中点,所以,所以,故D错误.
3.D　对于A,方向不同,故A错误;
对于B,方向相反,故B错误;
对于C,,由题意知D、E为BC的三等分点,则,由选项A知不相等,所以2≠2,故C错误;
对于D,),
易知=0,所以,故D正确.
4.答案　4
解析　由=0得=0,则AB平行且等于CD,所以四边形ABCD是平行四边形,
又AB=AD,所以四边形ABCD是菱形,所以AB=AC=BC=4,所以△ABC是等边三角形,故∠ABC=,所以∠BCD=,所以BD=4,
故△BCD的面积为.
5.答案　b6(或-b2)
解析　由题可知,a2+a5+b2+b5+b7==b6=-b2.
6.解析　如图,设水流的速度为,小船在静水中的航行速度为,以OA,OB为邻边作 AOBC,则表示船实际航行的速度,
由题意可得||=20,OC⊥OA,
则|,
所以船的实际航行速度的大小为10 m/min,方向与水流速度方向间的夹角为90°,
故该船的实际航程是10(m).
7.解析　(1)将a,b的起点同时平移到A点,利用向量加法的平行四边形法则作出a+b,如图所示.
(2)先将共线向量c,d的起点同时平移到B点,得出c+d,再将向量e的起点与c+d的终点相接,利用向量加法的三角形法则即可作出c+d+e,如图所示.
(3)由a是单位向量可知|a|=1,根据作出的向量结合勾股定理可知,|a+b|=.
由题图可知|c+d|=|-c|=|c|=1.
利用图中所示的向量和勾股定理可知|c+d+e|=.
8.B　,A错误;
(,B正确;
=0,C错误;
,D错误.
9.D　由题图可知,,
所以.
10.D　设=a,=b,则=a-b,如图所示,
设各小正方形的边长为1,则|,所以||2,
所以三角形OAB是等腰直角三角形,则∠OBA=45°,
由图可知,向量a-b与b的夹角为∠OBA的补角,即为135°.
11.答案　0
解析　.
因为D是BC边的中点,所以,所以=0.
12.解析　(1)=d+e+a.
(2)=-b-c.
(3)=e+a+b.
(4))=-c-d.
13.C　当a,b同向时,|a-b|=2-1=1;
当a,b反向时,|a-b|=2+1=3;
当a,b不共线时,根据三角形的三边关系可知1<|a-b|<3.
综上所述,|a-b|∈[1,3],∴|a-b|的最大值为3.
14.BD　若|a|=|b|=|a-b|,则a,b,a-b构成等边三角形,故a-b与b的夹角为(易错点),故A错误;
若|a|=|b|=|a+b|,则由向量加法的平行四边形法则可知a和b的夹角为,故B正确;
当a与b同向时,|a+b|=|a|+|b|,故C错误,D正确.
15.A　易知|a+b|,|a-b|是以|a|,|b|为邻边长的平行四边形的对角线的长,
因为|a+b|=|a-b|=2,所以这个平行四边形为矩形,
所以以|a|,|b|,|a-b|为边长的三角形为直角三角形,且斜边长为|a-b|=2,
设两直角边长分别为m,n,则m2+n2=4,
则三角形面积S=mn≤=1,当且仅当m=n=时等号成立,
则以|a|,|b|,|a-b|为边长的三角形面积的最大值为1.
16.D　分别为向量a,b,c方向上的单位向量,
所以|p|=≤3,当且仅当向量a,b,c方向都相同时等号成立,
作,如图所示,
当∠AOB=∠BOC=∠COA=时,以OA,OB为邻边作平行四边形OAEB,则 OAEB为菱形,且∠AOE=,所以△AOE为等边三角形,且||=1,
又∠AOC=|=1,所以=0,
即|p|=||=0,故0≤|p|≤3,
故|p|的最大值与最小值的差为3.
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