9.2.2 向量的数乘--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2026苏教版高中数学必修第二册
9.2.2　向量的数乘
基础过关练
题组一　向量的数乘运算
1.(2024浙江台州阶段练习)下列结论中正确的是　(　　)
A.若|b|=2|a|,则b=±2a
B.若b=±2a,则|b|=2|a|
C.对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b
D.对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n
2.(2024江苏淮安淮阴中学阶段性测试)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,能使一定成立的是(　　)
A.a=-2b　　　　B.a∥b C.a=2b　　　　D.|a|=|b|
3.(2025河北石家庄二中期末)已知菱形ABCD的边长为1,且∠BAD=60°,=a,=b,=c,则|a+b+c|=(　　)
A.2　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
4.(易错题)(2025江苏徐州学情调研)设λ为实数,e为单位向量,向量a的模为2,a=λe,则λ=　　　　.
题组二　向量的线性运算
5.(2025江苏太仓沙溪高级中学月考)计算(2a-b)-(a-2b)=(　　)
A.a+b　　　　B.a-3b　　　　C.3a+3b　　　　D.3a-b
6.(2025湖南常德第一中学月考)已知平面内不同的四个点A,B,C,D满足,则=(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.
7.(2024江苏盐城五校联盟第一次学情调研)如图所示,四边形ABCD是正方形,M,N分别为BC,DC的中点,若,λ,μ∈R,则2λ-μ的值为(　　)
A.
8.(2025湖南衡阳第四中学月考)已知在正六边形ABCDEF中,G是线段CD上靠近点C的三等分点,则=(　　)
A.
C.
9.(多选题)(2025江苏南京金陵中学月考)如图,在平行四边形ABCD中,E为CD的中点,,则(　　)
A.
C.
10.(2024河北沧州泊头第一中学月考)已知△ABO中,延长BA到C,使AC=BA,D是OB上靠近点B的三等分点,DC与OA交于点E,设=a,=b.
(1)用a,b表示向量;
(2)若,求实数λ的值.
11.(2025河南驻马店月考)如图,M,N,P分别是△ABC三边BC,CA,AB上的点,且满足,设=a,=b.
(1)用a,b表示;
(2)已知点G是△MNP的重心,用a,b表示.
题组三　向量共线定理及其应用
12.(2025河北衡水联考)已知非零向量a,b满足|a|b-|b|a=a-2b,则=(　　)
A.　　　　C.2　　　　D.4
13.(易错题)(多选题)(2025山东潍坊临朐第一中学开学检测)已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定能使a,b共线的是(　　)
A.2a-3b=4e且a+2b=-2e　　　　
B.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0
C.当x+y=0时,xa+yb=0　　　　
D.在梯形ABCD中,=a,=b
14.(2025江苏宿迁沭阳南湖高级中学开学考试)已知△ABC中,O为△ABC所在平面内一点,向量|,则△ABC是(　　)
A.等腰直角三角形　　　　B.钝角三角形
C.等边三角形　　　　 D.直角三角形
15.(教材深研拓展)(多选题)(2025江苏宿迁沭阳南湖高级中学月考)设P是△OAB内部的一点,下列各式可能成立的有(　　)
A.
C.
16.(2025江苏南京师范大学附属实验学校月考)已知向量a,b不共线,且=2a-b,=3a+b,=a+λb.
(1)若∥,求λ的值;
(2)若λ=-3,求证:A,B,C三点共线.
能力提升练
题组一　向量的线性运算
1.(2024江西丰城中学段考)如图,A,B,C三点在半径为1的圆O上运动,且AC⊥BC,M是圆O外一点,OM=2,则||的最大值是(　　)
A.5　　　　B.8　　　　C.10　　　　D.12
2.(2025江苏南通海安期中)已知平面向量a,b的夹角为θ,|a|=2, t∈R,|a-tb|的最小值为3,则θ=(　　)
A.
3.(2025江苏无锡江阴南菁高级中学月考)正八边形在生活中是很常见的对称图形,在如图所示的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中,,则λ=(　　)
A.
4.(2025江苏无锡第一中学期中)已知G为△ABC的重心,线段AB上一点N满足,CN与AG相交于点M,则=(　　)
A.
5.(多选题)(2024广东佛山顺德阶段检测)数学与生活存在紧密的联系,很多生活中的模型都源于数学的灵感.已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体,再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形,如图所示,则在该图形中,下列说法正确的是(　　)
A.　　　　
B.
C.　　　　
D.
6.(2025河北保定期中)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B分别在x轴,y轴的正半轴上,设=a,=b.
(1)设P为线段AB上靠近点A的三等分点,(λ∈R),求λ的值;
(2)如图所示,设P1,P2,P3,…,Pn-1是线段AB的n等分点,其中n∈N*,n≥2,则当n=2 024时,用a,b表示+…+.
题组二　向量共线定理的应用
7.(多选题)已知P为△ABC所在平面内一点,且=0,若E为AC的中点,F为BC的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.向量可能平行
B.点P在线段EF的延长线上
C.点P在线段EF上
D.PE∶PF=2∶1
8.(2024湖南长沙雅礼中学月考,)若点G是△ABC所在平面上一点,且=0,H是直线BG上一点,(x,y∈R),则x2+4y2的最小值是(　　)
A.2　　　　B.1　　　　C.
9.(多选题)(2025福建泉州安溪俊民中学质量检测,)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是(　　)
A.若,则点M是BC边的中点
B.若,则点M在BC的延长线上
C.若,则点M是△ABC的重心
D.若,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的
10.(2025江苏常州北郊高级中学月考,)如图,已知D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,且满足,BE与CD交于O,连接AO并延长交BC于点F.若,则实数λ的值为(　　)
A.　　　　D.2
11.(2024江西宜春中学月考,)如图所示,在△ABC中,D为BC边上一点,且,过D点的直线EF与射线AB相交于E点,与射线AC相交于F点(E,F两点不重合).　
(1)用;
(2)若,求λ+2μ的最小值.
答案与分层梯度式解析
9.2.2　向量的数乘
基础过关练
1.B　对于A,当|b|=2|a|时,b与2a不一定共线,故A错误;
对于B,因为b=±2a,所以|b|=2|a|,故B正确;
对于C,若m=0,则ma=mb=0,不一定有a=b,故C错误;
对于D,若a=0,则ma=na,不一定有m=n,故D错误.
2.C　由,得a,b同向.
对于A,由a=-2b,得a,b方向相反,故A错误;
对于B,由a∥b,得a,b共线,不能得出方向相同的结论,故B错误;
对于C,由a=2b,得a,b方向相同,故C正确;
对于D,由|a|=|b|不能确定a,b的方向,故D错误.
3.C　a+b+c=,所以|a+b+c|=3||=3|a|=3.
4.答案　±2
解析　由a=λe得|a|=|λe|=|λ|·|e|=|λ|=2,解得λ=±2.
易错警示　|a|=|λe|=|λ|·|e|=|λ|,需注意λ的值有两种情况.
5.A　(2a-b)-(a-2b)=a+b.
6.B　由题意得,则,所以=4.
7.D　,
所以,所以,
又,所以λ=,
则2λ-μ=.
8.C　依题意得,
因为,
所以.
9.BCD　对于A,,故A错误;
对于B,,故B正确;
对于C,,故C正确;
对于D,,故D正确.
10.解析　(1)由题意知A是BC的中点,则,所以=2a-b,
易知,
则=2a-b-b=2a-b.
(2)因为=2a-b-λa=(2-λ)a-b,=2a-b,且,
所以,解得λ=.
解析　(1)由题意得a+b,
b,
所以a+b-b=-a+b.
(2)由已知得a+b-b+a=-a-b,
取NP的中点E,MN的中点F,连接ME,PF,AE,
易知PF与ME的交点为重心G,连接AG,
则,故),
所以a+b,
又a+b,
所以a+b+a-b=a+b.
12.B　由|a|b-|b|a=a-2b,得(|a|+2)b=(|b|+1)a,则a,b共线,
因此(|a|+2)|b|=(|b|+1)|a|,整理得2|b|=|a|,而a,b为非零向量,所以.
13.AB　对于A,由消去e,得4a+b=0,
∴b=-4a,又a,b是非零向量,∴a,b共线,故A正确;
对于B,∵a,b均为非零向量,且λ≠μ,λa-μb=0,∴λ,μ均不为0,∴a=b,∴a,b共线,故B正确;
对于C,当x=y=0时(易错点),x+y=0,此时对任意的向量a,b都有xa+yb=0,∴a,b不一定共线,故C错误;
对于D,在梯形ABCD中,AB与CD不一定平行,故a,b不一定共线,故D错误.
14.C　如图,设点D是BC的中点,所以,
由=0,得=0,即,
则点A,O,D三点共线,||,所以点O是△ABC的重心,
又||,所以点O是△ABC的外心,OD⊥BC,即AD⊥BC,所以AB=AC,
同理CA=CB,则AB=BC=CA,所以△ABC是等边三角形.
规律总结　在三角形中有以下常用结论:
(1)若O是△ABC的重心,则=0;
(2)若O是△ABC的外心,则||.
熟记上述结论可以直接得出O是△ABC的重心和外心,结合本题可知△ABC是等边三角形.
15.AC　解法一:若(λ,μ∈R),且λ+μ=1,则P在直线AB上,
所以若,则P在直线AB上,如图.
对于A,,则由平行四边形法则知点P在△OAB内部,故A符合题意;
对于B,,同A知点P在△OAB外部,故B不符合题意;
对于C,,易得当时,P在直线AB上,因为,所以点P在△OAB内部,故C符合题意;
对于D,,因为-<0,所以由平行四边形法则知点P在△OAB外部,故D不符合题意.
解法二(等和线法):若(λ,μ∈R),当λ>0,μ>0时,若λ+μ>1,则P在△OAB外部,若λ+μ<1,则P在△OAB内部.
对于A,<1,所以点P在△OAB内部,故A符合题意;
对于B,>1,所以点P在△OAB外部,故B不符合题意;
对于C,同解法一C选项得,因为<1,所以点P在△OAB内部,故C符合题意;
对于D,同解法一D选项得,因为-<0,所以点P在△OAB外部,故D不符合题意.
常用结论　等和线:已知平面内一组不共线的向量(λ,μ∈R),若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上,则λ+μ=k(定值),反之也成立.我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线.
(1)当k=0时,等和线过O点;
(2)当k∈(0,1)时,等和线在O点和直线AB之间;
(3)当k=1时,等和线恰为直线AB;
(4)当k∈(1+∞)时,直线AB在点O与等和线之间;
(5)当k∈(-∞,0)时,O点在直线AB与等和线之间;
(6)当定值k互为相反数时,两等和线关于O点对称.
16.解析　(1)由(μ∈R),即2a-b=μ(a+λb),
可得
(2)证明:若λ=-3,则=a-3b,
所以=(a-3b)-(2a-b)=-a-2b,=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b,
故,所以A,B,C三点共线.
能力提升练
1.C　连接AB,CO,如图所示,
因为AC⊥BC,所以AB为圆O的直径,故O为AB的中点,所以,
所以||≤4||=4×2+2×1=10,
当且仅当M,O,C三点共线且同向时,等号成立,
因此||的最大值是10.
2.D　设=a,=tb,则a-tb=,易知当AB⊥OB时,|a-tb|取得最小值,如图,
在Rt△AOB中,OA=2,AB=3,所以sin∠AOB=,又0<∠AOB<,所以∠AOB=,
观察图可知θ=∠AOB或θ=∠AOC,
所以θ=.
3.D　连接A6A3,A1A4,且A6A3交A1A4于点B,
在A1A4上取一点C,使得,连接A6C,
则四边形A1CA6A7为平行四边形,所以.
设||=m,则A3A4=m,则|)m,
易得,故λ=.
4.C　如图,延长AG交CB于点D,
因为G为△ABC的重心,所以D为BC的中点,且,
又,所以,
设(0<λ<1),则,
故,
因为,所以,
所以,
由,得,解得λ=,
即,可得.
5.ACD　由题可得BD=BC,故GH=GA+AE+EH=2BC+BD=BD,又方向相同,所以,故A正确;
由题可得,则,故B错误;
,故C正确;
易知,连接BF,则,
所以,故D正确.
6.解析　(1)由题意得,
因为P为线段AB上靠近点A的三等分点,
所以,可得λ-1=-,所以λ=.
(2)因为A,P1,P2,P3,…,P2 023,B中任意相邻两点间的距离相等,所以当n=2 024时,线段AB的中点为P1 012,则P1 012也是线段P1P2 023,P2P2 022,…,P1 011P1 013的中点,
所以=a+b,
同理可得,=…==a+b,
则+…+
=()+…+((a+b).
7.CD　因为P为△ABC所在平面内一点,E为AC的中点,F为BC的中点,
所以,
又=0即()=0,
所以2=0,即,所以点P在线段EF上,且PE∶PF=2∶1,故B错误,C,D正确;
易知EF为△ABC的中位线,且P,A,C三点不共线,则向量不可能平行,故A错误.
8.C　因为=0,所以点G是△ABC的重心,
如图,取AC的中点D,连接GD,易知B,G,D三点共线,
因为,所以.
又B,H,D三点共线,所以x+2y=1,
所以x2+4y2=x2+(2y)2≥,当且仅当x=时取等号,故x2+4y2的最小值是.
9.ACD　对于A,由,即,故点M是BC边的中点,A正确;
对于B,由,即,故点M在CB的延长线上,B错误;
对于C,设BC的中点为D,则,故M是△ABC的重心,C正确;
对于D,由且x+y=,得2,2x+2y=1,
设,则,2x+2y=1,故B,C,D三点共线,所以S△MBC=S△ABC,D正确.
10.A　由D,O,C三点共线,可设,k∈R,
所以①,
由B,O,E三点共线,可设,μ∈R,
所以②,
由①②知,
若,则
=,
由B,F,C三点共线,得=1,可得λ=.
解题技法　“算两次”是数学中的一个常用思想,即对同一个量从两个不同的角度进行计算,从而建立关系式求解.如本题中,分别利用D,O,C三点共线和B,O,E三点共线表示出.
11.解析　(1)因为,所以,
所以)
=.
(2)因为,
所以,
又因为,所以,
又D,E,F三点共线,所以=1,易得λ>0,μ>0,
所以λ+2μ=(λ+2μ)·=3,
当且仅当=1,即λ=μ=1时取等号.
故λ+2μ的最小值为3.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)