9.2.3 向量的数量积--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
9.2.3　向量的数量积
基础过关练
题组一　向量的数量积和运算律
1.(多选题)(2025江苏徐州启星中学月考)关于平面向量a,b,c,下列说法不正确的是(　　)
A.(a-b)·(a+b)=a2-b2　　　　
B.(a+b)·c=a·c+b·c
C.若a·b=a·c,且a≠0,则b=c　　　　
D.(a·b)2=a2·b2
2.(2025江苏扬州邗江中学阶段测试)已知向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=3,则a2+a·b=(　　)
A.10　　　　B.
3.(2025江苏南通第一中学阶段性考试)已知P是边长为2的等边△ABC所在平面内一点,,则=(　　)
A.1　　　　B.
题组二　投影向量
4.(2024湖北宜昌、荆州、荆门、恩施四地联考)若向量a,b满足|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61,则a在b上的投影向量为(　　)
A.-b　　　　B.-b　　　　C.b　　　　D.-b
5.(2025江苏扬州大学附属中学阶段测试)设向量a,b是非零向量,且|a|=2|b|,向量a在向量b上的投影向量为-2b,若(λa+b)·(a-b)=0,则实数λ的值为(　　)
A.　　　　D.2
题组三　向量的模和夹角
6.(2025江苏无锡江阴长泾中学月考)已知单位向量a,b满足a·b=,且c=2a+b,则sin=(　　)
A.
7.(2025江苏南通第一中学阶段性考试)已知e是单位向量,且|e-a|=,a+e在e上的投影向量为e,则a与e的夹角为(　　)
A.
8.(易错题)(2024江苏无锡第一中学阶段检测)已知i,j为互相垂直的单位向量,a=i+2j,b=3i-(λ-4)j,且a与a+b的夹角为锐角,则实数λ的取值范围为(　　)
A.(0,+∞)　　　　 B.(0,10)∪(10,+∞)
C.(-∞,-2)∪(-2,8)　　　　 D.(-∞,0)
9.(易错题)(2025江苏南通启东中学月考)若平面向量a,b,c两两的夹角相等,且|a|=1,|b|=2,|c|=4,则|a+b+c|=　　　　.
10.(2025江苏南京励志高级中学调研)正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点,F为CD上一点,且=5,则||=　　　　.
题组四　向量的垂直
11.(教材习题改编)已知向量a与b的夹角为30°,|a|=2,|b|=,若a⊥(λa-b),则实数λ=(　　)
A.　　　　D.2
12.(2024江苏南京金陵中学学情调研)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是(　　)
A.a+2b　　　　B.2a+b　　　　
C.a-2b　　　　 D.2a-b
能力提升练
题组一　向量的数量积运算
1.(2025江苏淮安高级中学月考)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是线段AD的三等分点,若=2,则=(　　)
A.-2　　　　B.-1
C.1　　　　D.2
2.(2025江苏常州第一中学质量检测)点P在边长为1的正三角形ABC的外接圆上,则的最大值为(　　)
A.
C.
3.(2024江苏南京第一中学月考)骑自行车是一种环保又健康的运动方式,某自行车的平面结构示意图如图所示,已知圆A(前轮),圆D(后轮)的半径均为,△ABE,△BEC,△ECD均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点,则在骑该自行车的过程中,的最大值为(　　)
A.50　　　　B.48　　　　
C.60　　　　D.72
4.(2025江苏无锡天一中学期中)在△ABC中,,且≤B≤,则的取值范围是(　　)
A.[-2,2]　　　　B.[-6,2]
C.
题组二　向量的模和夹角
5.(教材习题改编)(2024重庆部分学校月考)在△ABC中,,则△ABC的形状为(　　)
A.直角三角形
B.三边均不相等的三角形
C.等边三角形
D.等腰(非等边)三角形
6.(2024北京延庆期末)已知等边△ABC的边长为6,D在AC上且AD=2DC,E为线段AB上的动点,则||的取值范围为(　　)
A.[2]
C.[4,2]　　　　 D.[4,6]
7.(多选题)(2025江苏无锡第一中学月考)已知在△ABC中,AB=2,AC=5,∠BAC=60°,BC,AC边上的中线AM,BN相交于点P,则下列结论正确的是(　　)
A.AM=　　　　
B.BN=
C.∠MPN的余弦值为　　　　
D.=0
8.(2025江苏南通中学月考)已知互为相反向量,若||=4,则夹角的余弦值的最小值为　　　　.
题组三　向量数量积的综合应用
9.(多选题)(2025江苏南通中学月考)著名数学家欧拉提出了如下定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且外心到重心的距离是垂心到重心的距离的一半,此直线被称为三角形的欧拉线,该定理被称为欧拉线定理.已知△ABC的外心为O,重心为G,垂心为H,M为BC中点,且AB=4,AC=2,则下列各式正确的有(　　)
A.=-6
C.
10.(2025江苏苏州学业质量调研)富比尼原理,又称为“算两次”原理,即对待同一个量,从两个不同的角度去考虑,以此建立关系式,从而达到解决问题的目的.如图,在边长为2的正九边形ABCDEFGHI中,=　　　;由,得)·,则cos +cos +cos +cos 的值为　　　　.
11.(2025江苏南通启东中学月考)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,直线l与△ABC的边AB,AC分别交于D,E两点.
(1)如图1,设,记=m,=n.
①用m,n表示;
②若B=60°,a=2c,则AF,DE有什么位置关系 用向量方法证明你的结论;
(2)如图2,记∠ADE=θ,用向量方法证明:acos(B-θ)+bcos(A+θ)=ccos θ.
　
12.(2025江苏扬州大学附属中学阶段测试)在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,DA=DC=2,AB=4,设=a,=b,已知点P是梯形ABCD内部(含边界)一点,且=λa+μb(λ,μ∈R).
(1)若=0,求λ,μ的值;
(2)当μ=2λ时,求||的最小值;
(3)若2λ+μ=1,求证△PBC的面积为定值,并求出这个定值.
答案与分层梯度式解析
9.2.3　向量的数量积
基础过关练
1.CD　由向量的运算法则知A正确;
向量的数量积满足分配律,故B正确;
由a·b=a·c,得a·(b-c)=0,则a⊥(b-c),不能推出b=c,故C错误;
当向量a,b的夹角为0时,(a·b)2=a2·b2,故D错误.
2.C　由题意得a2=|a|2=4,a·b=|a||b|cos 60°=2×3×=3,∴a2+a·b=4+3=7.
3.D　设BC的中点为D,则,
因为,所以2,所以,所以A,P,D三点共线,
因为等边△ABC的边长为2,所以AD=,则AP=,
易得的夹角为150°,
所以·(×2×cos 150°=-.
4.D　由|a|=4,|b|=3,可得(2a-3b)·(2a+b)=4a2-4a·b-3b2=37-4a·b=61,所以a·b=-6,
则a在b上的投影向量为b=-b.
5.A　由向量a在向量b上的投影向量为-2b,得·b=-2b,则a·b=-2|b|2,
则(λa+b)·(a-b)=λa2-b2+(1-λ)a·b=4λ|b|2-|b|2-2(1-λ)|b|2=0,又b为非零向量,所以λ=.
6.C　由题意得|c|=,
a·c=a·(2a+b)=2a2+a·b=2+,
所以cos=,
又∈[0,π],所以sin=.
7.D　若a+e在e上的投影向量为e,则·e=e,则(a+e)·e=,即a·e+e2=,可得a·e=-,
由|e-a|=得(e-a)2=e2-2e·a+a2=1+1+a2=3,解得|a|=1,
设a与e的夹角为θ,则cos θ=,又0≤θ≤π,故θ=.
8.C　因为i,j为互相垂直的单位向量,所以i·j=0,|i|=|j|=1.
a·(a+b)=(i+2j)·[4i+(6-λ)j]=4i2+2(6-λ)j2=16-2λ,
|a|2=(i+2j)2=i2+4j2=5,则|a|=,
|a+b|2=[4i+(6-λ)j]2=16i2+(6-λ)2j2=(λ-6)2+16,则|a+b|=,
所以cos=>0,解得λ<8.
当=1时,λ=-2(易错点),此时a与a+b的夹角为0,不为锐角.
综上,实数λ的取值范围为(-∞,-2)∪(-2,8).
易错警示　两向量a,b的夹角为锐角时,a·b>0,但a·b>0时,a,b的夹角为锐角或零角;两向量a,b的夹角为钝角时,a·b<0,但a·b<0时,a,b的夹角为钝角或平角,故在已知两向量夹角为锐角或钝角求参数时,要排除向量共线的情况.
9.答案　或7
解析　设a,b,c两两的夹角为θ,则θ=0(易错点)或θ=,
|a+b+c|=
=,
当θ=0时,|a+b+c|=7;当θ=π时,|a+b+c|=.
易错警示　当三个平面向量a,b,c两两的夹角相等时,容易忽略夹角为0的情况.
10.答案　
解析　如图,连接EF,由题意得AE=,
∵,故EF⊥AE,
易得△AEB∽△EFC,∴,即,解得FC=,
则EF2=CE2+CF2=1+.
11.A　∵a⊥(λa-b),∴a·(λa-b)=λa2-a·b=4λ-2××cos 30°=0,∴4λ=3,解得λ=.
12.D　由已知得a·b=|a||b|cos 60°=1×1×.
对于A,(a+2b)·b=a·b+2b2=≠0,故A错误;
对于B,(2a+b)·b=2a·b+b2=2×+1=2≠0,故B错误;
对于C,(a-2b)·b=a·b-2b2=≠0,故C错误;
对于D,(2a-b)·b=2a·b-b2=2×-1=0,故D正确.
能力提升练
1.B　由题意得)·(=7①,
)·(=2②,
由①②得=8,故)·(=1-2=-1.
小题速解　本题可用极化恒等式,即在△ABC中,BC的中点为D,则直接求解,具体过程如下:
由极化恒等式得=7,①
=2,②
①-②得=2,
故=1-2=-1.
2.A　设外接圆圆心为O,连接OA,OB,OC,OP,则OA=OB=OC=OP=,∠OAB=.
则)·|·cos >≤,当且仅当的夹角为0时,等号成立.
故.
小题速解　要求>的最大值,只需求上的投影向量的模|>的最大值,易得同向时取得最大值,此时|.故.
3.C　连接AC,在△ACE中,AE=CE=4,∠AEC=120°,
则∠CAE=∠ACE=30°,AC=4,由题得AD=8,
则·(
=||cos 30°+|>
=4>
=48+12cos<>,
易知<>∈[0,π],所以cos<>∈[-1,1],所以∈[36,60],
所以的最大值为60.
4.B　取AC的中点D,连接BD,则.
因为,所以()·=0,故BD⊥AC,故△ABC为等腰三角形,∠ABD=∠ABC.
因为|,所以|.
又,
所以)·(.
在Rt△ADB中,AD=BDtan∠ABD=tan∠ABD,
又∠ABD=∠ABC,≤∠ABC≤,所以≤∠ABD≤,则≤tan∠ABD≤,故1≤tan∠ABD≤3,
所以1≤AD≤3,所以-6≤3-||2≤2,
所以的取值范围为[-6,2].
5.D　因为=0,所以=0,所以·()=0,所以()·()=0,所以,即BC=BA.
又=1×1×(-cos B)=,所以cos B=-,所以B=,所以△ABC为等腰(非等边)三角形.
6.B　设=a,=b,则|a|=|b|=6,a·b=6×6×cos 60°=18,
设AE=λAB(0≤λ≤1),则=λa,
因为AD=2DC,所以b,
则b-a,所以=(λ-1)a+b,
则=(λ-1)2a2+(λ-1)a·b+b2=36(λ-1)2+24(λ-1)+16=4(3λ-2)2+12,
所以当λ=时,取得最小值,为12,当λ=0时,取得最大值,为28,
所以||的取值范围为[2].
7.BD　由题知M,N分别为BC,AC的中点,则),两边同时平方得)
=|·||·cos∠BAC)
=,则|,故A错误;
,两边同时平方得,
则|,故B正确;
cos∠MPN=
=　
=,故C错误;
)=0,故D正确.
8.答案　-1
解析　由题意得),故||||≤||≤||,
因为||=4,所以||,
又||=2,所以|||-2|≤4-||≤2+||,解得1≤||≤3,
不妨设||=t,向量的夹角为θ,则t∈[1,3],||=4-t,
对)两边平方得|·||cos θ+,即(4-t)2=4+2×2tcos θ+t2,解得cos θ=-2,
因为t∈[1,3],所以cos θ=-2∈[-1,1],
故夹角的余弦值的最小值为-1.
9.BCD　对于A,由G是△ABC的重心得,
所以)·()=-4,故A错误;
对于B,过△ABC的外心O分别作AB,AC的垂线,垂足分别为D,E,则D,E分别是AB,AC的中点,
则·(|·cos∠OAE-||cos∠OAD=|=-6,故B正确;
对于C,因为G是△ABC的重心,所以=0,
故,
由欧拉线定理可得,所以,故C正确;
对于D,由),所以3,故D正确.
10.答案　2;
解析　取AI的中点O,连接EI,EO,由正九边形为轴对称图形,得EI=EA,EO⊥AI,
因此)·=2×1+0=2.
易得,
,
因此)·=2×2cos +2×2cos +2×2cos +2×2cos =2,
所以cos +cos +cos +cos .
11.解析　(1)①m-n,m.
②AF⊥DE,证明如下:
因为B=60°,a=2c,则m·n=|m||n|cos 60°=accos 60°=2c2×=c2,
所以m=m2-m·n=c2=0,
又均为非零向量,所以,即AF⊥DE.
(2)证明:在△ABC中,=0,
设单位向量e=,
则e·()=e·+e·+e·=0,(*)
根据数量积的定义得e·|cos(B-θ)=acos(B-θ),e·|cos(π-θ)=-ccos θ,e·|cos(A+θ)=bcos(A+θ),
代入(*)式得-ccos θ+acos(B-θ)+bcos(A+θ)=0,
所以acos(B-θ)+bcos(A+θ)=ccos θ.
12.解析　(1)由题意得a,=a-,
a+b-=b-,
因为a+2b-4=0,
由=λa+μb,得a+2b=4(λa+μb),
所以
(2)在等腰梯形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥AB于点F,则EF=DC=2,AE=FB=1,则∠ADE=30°,∠BAD=60°,
所以=b-=b-(λa+μb)=-λa+(1-μ)b=-λa+(1-2λ)b,
=[-λa+(1-2λ)b]2=(-λa)2+2(-λ)(1-2λ)a·b+[(1-2λ)b]2=λ2a2-2λ(1-2λ)a·b+(1-2λ)2b2
=16λ2-2λ(1-2λ)×4×2×有最小值,为1,
此时μ=|的最小值为1.
(3)a+b,
当2λ+μ=1时,=b-=-λa+(1-μ)b=-λa+2λb=2λ,
所以,过点D作DH∥BC,交AB于点H,则点P在DH上(包含端点),连接HC,过点H作HM⊥BC于点M,由∠ABC=60°,HB=DC=2,
得HM=HBsin 60°=,
所以S△PBC=S△BCH=×2×,为定值.
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