9.3.1 平面向量基本定理--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
9.3　向量基本定理及坐标表示
9.3.1　平面向量基本定理
基础过关练
题组一　平面向量基本定理的理解
1.(教材习题改编)设e1,e2为平面向量的一组基底,则下面四组向量中不能作为基底的是(　　)
A.e1+e2和e1　　　　B.4e1+2e2和e2
C.2e1-e2和e1-2e2　　　　D.e1-2e2和4e2-2e1
2.(多选题)(2025湖北咸宁联考)若e1,e2是平面内两个不共线的向量,则下列说法正确的是(　　)
A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面内的所有向量
B.对于平面内的任一向量a,使a=λe1+μe2的实数λ,μ有无数对
C.若λ1,μ1,λ2,μ2均为实数,且向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)
D.若存在实数λ,μ,使λe1+μe2=0,则λ=μ=0
3.(2025上海新川中学期中)已知e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=λe1+e2,要使a,b是一组基底,则实数λ的取值范围是　　　　　.
题组二　用基底表示向量
4.(多选题)(2025江苏无锡第三高级中学期中)如图所示,已知P,Q,R分别是△ABC的边AB,BC,CA的四等分点,若=a,=b,则以下向量表示正确的是(　　)
A.a-b　　　　B.a+b
C.a+b　　　　D.=a-b
5.(2025湖南三湘名校联盟期中)如图,菱形ABCD中,AB=6,∠BAD=60°,,点M在线段EF上,且,则x+||=　　　　.
6.(2024重庆南开中学阶段测试)在平行四边形ABCD中,=a,=b.
(1)如图1,如果E,F分别是BC,DC的中点,试用a,b表示;
(2)如图2,如果O是AC与BD的交点,G是DO的中点,试用a,b表示.
　　
题组三　平面向量基本定理的应用
7.(2025江苏南通如皋中学适应性考试)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2AB,AB⊥AD,E是CD的中点,若,则λ+μ=(　　)
A.1　　　　B.
8.(2024江苏南通如皋中学教学质量调研)在锐角△ABC中,AD为BC边上的高,tan C=2tan B,,则x-y的值为(　　)
A.-
9.(2025河南驻马店高级中学月考)如图所示,平面内有三个向量的夹角为120°,的夹角为150°,且|,若(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.-4　　　　D.-5
10.(2025江苏江阴青阳中学阶段检测)如图,△ABC中,,设=a,=b,点E在线段AC上,AD与BE交于点F,,则
(1)=　　　　;(用a,b表示)
(2).
11.(2024江苏无锡辅仁高级中学教学质量检测)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2BC=2CD=2DA,M为线段BC的中点,AM与BD交于点N,P为线段CD上的一个动点.
(1)用;
(2)求;
(3)设,求xy的取值范围.
能力提升练
题组　平面向量基本定理的应用
1.(2024江苏南京模拟)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AE=3ED,DF=FC,AF与BE相交于点G,记=a,=b,则=(　　)
A.a+b　　　　B.a+b
C.a+b　　　　D.a+b
2.(2025江苏常州期中)已知P是正六边形ABCDEF内部以及边界上任意一点,且,则λ+μ的最大值为(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
3.(多选题)(2025江苏苏州大学附属中学期中)已知等边△ABC的边长为4,点D,E满足,AE与CD交于点O,则(　　)
A.=8
C.
4.(多选题)(2024江苏南京江浦高级中学检测)如图所示,在△OAB中,,AD与BC交于点M.过点M的直线l与两边OA,OB分别交于点E,F,设,则(　　)
A.
B.=7
C.λ+μ=可能成立
D.
5.(2025江西赣州二十五校期中联考)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,且AE,BF,CD交于点M.
(1)已知.
(i)若O是△ABC所在平面内任意一点,证明:;
(ii)若,求x的值;
(2)若,证明:abc=1.
答案与分层梯度式解析
9.3　向量基本定理及坐标表示
9.3.1　平面向量基本定理
基础过关练
1.D　若两个向量能作为一组基底,则这两个向量不共线.
A,B中两个向量显然不共线,可以作为基底;
对于C,假设两向量共线,则可设2e1-e2=c(e1-2e2)(c∈R),得(2-c)e1=(1-2c)e2,
由题意知e1,e2不共线,且e1≠0,e2≠0,则显然无实数解,假设不成立,因此向量2e1-e2和e1-2e2不共线,可以作为基底;
对于D,-2(e1-2e2)=4e2-2e1,所以e1-2e2和4e2-2e1是共线向量,不可以作为基底.
2.AD　因为e1,e2是平面内两个不共线的向量,所以e1,e2可作为一组基底,
则由平面向量基本定理可知A、D正确,B错误;
对于C,当λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有无数个,故C错误.
3.答案　
解析　当a∥b时,设a=mb(m∈R),则e1+2e2=m(λe1+e2),可得,
因为a,b是一组基底,所以a与b不共线,则λ≠.
故λ的取值范围是.
4.BC　由已知得=b-a,故D错误;
a-(b-a)=-a-b,故A错误;
b+(b-a)=-a+b,故B正确;
a+b,故C正确.
5.答案　
解析　因为,
所以,
所以,
因为点M在线段EF上,
所以可设,
则
=,
而
所以,
则|=49,
所以|.
6.解析　(1)因为E,F分别是BC,DC的中点,
所以=b-a,
=a-b.
(2)因为O是AC与BD的交点,G是DO的中点,
所以),
所以a+b.
7.A　由题意知,
因为,
所以,
由平面向量基本定理可得
所以λ+μ=1.
8.C　由题图可知,tan C=,
又tan C=2tan B,所以,
所以BD=2DC,则,
所以,
又.
小题速解　爪子模型:在△ABC中,D在线段BC上,,进而得到结果.
9.D　由的夹角为120°,的夹角为150°得的夹角为90°,即.
由(λ,μ∈R)得
两边平方得(舍去).
所以λ+μ=-5.
10.答案　(1)a+b　(2)
解析　(1)由,
得a+b.
(2)设,0≤λ≤1,
则,
所以,
因为A,F,D三点共线,所以可设(m∈R),
又,
所以,
则.
11.解析　(1)由题得①,②,
因为M为线段BC的中点,所以,
又AB∥DC,且AB=2CD,所以,
①+②,得2,
则.
(2)由题知A,N,M三点共线,所以存在实数t,使得,
又B,D,N三点共线,故.
所以=4.
(3)由题意可设,
则)
=(x+ym).
又不共线,
所以由平面向量基本定理可知
解得
因为0≤m≤,
易知xy=(y-1)y=y2-y=上单调递增,
则当y=1时,xy取得最小值,为0,
当y=,
所以xy的取值范围为.
能力提升练
1.D　如图,过点F作FN平行于BC,交BE于点M,交AB于点N,
因为DF=FC,所以F为DC的中点,则N为AB的中点,所以MN∥AE且MN=×AD,
易知NF=AD,所以MF=NF-MN=AD-AD,
易知△AEG∽△FMG,所以,
所以a+b.
2.C　如图,连接AD,过P作PM⊥AD于M,
设正六边形ABCDEF的边长为a,
则AD=2a,∠BAD=∠FAD=,
则=a×2a×=a2,
=a×2a×=a2,
因为,
所以=a2(λ+μ),
又|,
0≤||=2a,
所以0≤=4a2,即0≤a2(λ+μ)≤4a2,
所以0≤λ+μ≤4,故λ+μ的最大值为4.
小题速解　连接BF,交AD于Q,当点P在BF上时,λ+μ=1,由等和线知当点P在D处时,λ+μ取最大值,易知=4,故λ+μ的最大值为4.
3.ABD　对于A,,故A正确;
对于B,因为△ABC为等边三角形,|cos 60°=4×4×=8,故B正确;
对于C,设,
又O,A,E三点共线,所以,所以O为CD上靠近点D的四等分点,故C错误;
对于D,,
又O,C,D三点共线,所以=1,解得t=2,
所以O为AE中点,所以,故D正确.
4.ABD　对于A,由题知A,M,D三点共线,所以存在实数t,使得),
即,
所以,
又B,M,C三点共线,故4(1-t)+,
则,故A正确;
对于B,由,
由E,M,F三点共线,得=7,故B正确;
对于C,依题意知,0<λ≤1,0<μ≤1,
则λ+μ=,
当且仅当不可能成立,故C错误;
对于D,=λμ,
显然7=,
当且仅当μ=3λ=时取等号,
因此,故D正确.
5.解析　(1)(i)证明:因为.
(ii)设,
又)
=,
所以.
(2)证明:因为),
则,
设=0①,
同理设,　
可得t=0②,c=0③,
联立①②消去=0,
联立①③消去=0,
因为中任意两个向量都不共线,
所以1-at=s-ab=ac-r=sc-1=0,
由1-at=0得t=,由s-ab=0得s=ab,
由sc-1=0得s==ab,故abc=1.
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