9.3.2 向量坐标表示与运算--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
9.3.2　向量坐标表示与运算
基础过关练
题组一　向量的坐标表示
1.(2025湖南邵阳海谊学校月考)下列说法中不正确的有(　　)
A.相等向量的坐标相同
B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C.一个坐标对应唯一的向量
D.平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应
2.(2025江苏徐州大许中学月考)已知M(3,-2),N(5,-1),若,则P点的坐标为(　　)
A.(3,2)　　　　B.(3,-1)　　　　
C.(7,0)　　　　D.(1,0)
3.如图所示,单位向量e1,e2是平面内的一组基底,则向量a,b的坐标分别是(　　)
A.(3,4),(2,-2)　　　　B.(2,3),(-2,-3)
C.(2,3),(2,-2)　　　　D.(3,4),(-2,-3)
4.(教材习题改编)在平面直角坐标系xOy中,点A在第二象限内,OA=2,∠xOA=,则向量的坐标为　　　　.
题组二　向量加、减运算的坐标表示
5.(2025江苏盐城五校联盟阶段考试)在平行四边形ABCD中,AC为对角线,若=(1,3),则=(　　)
A.(3,5)　　　　B.(-2,-4)
C.(-3,-5)　　　　D.(2,4)
6.(2024四川绵阳南山中学实验学校期中)已知点A(-1,2),B(3,1),向量=(2,1),则向量=(　　)
A.(-2,2)　　　　B.(-1,0)
C.(3,-1)　　　　D.(4,-1)
7.(教材习题改编)已知点O(0,0),A(1,2).
(1)若点B(3t,3t),,则实数t为何值时,点P在x轴上 点P在y轴上 点P位于第二象限
(2)若B(4,5),P(1+3m,2+3m),则四边形OABP能成为平行四边形吗 若能,求出m的值;若不能,请说明理由.
题组三　向量数乘的坐标表示
8.(易错题)(2025江苏宿迁沭阳南湖高级中学开学考试)设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,且||,则点P的坐标为(　　)
A.(3,1)　　　　 B.(1,-1)
C.(3,-1)或(-1,1)　　　　D.(3,1)或(1,-1)
9.(2024天津滨海新区田家炳中学月考)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=0,则c=(　　)
A.
C.
10.(2024重庆巴南部分学校阶段测试)如图,在矩形ABCD中,点E是线段AB上靠近A的三等分点,点F是线段BC的中点,则=(　　)
A.
C.-
11.(2025江苏宿迁沭阳建陵高级中学月考)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10).若点P满足(λ∈R),则当点P在第四象限内时,λ的取值范围为　　　　.
题组四　向量数量积的坐标表示
12.(2024重庆第八中学校月考)已知|=2,则=(　　)
A.-8　　　　B.8　　　　C.-6　　　　D.6
13.(2025江苏镇江丹阳质量检测)已知|a|=2,b=(2,1),且a在b上的投影向量的坐标为(-2,-1),则向量a与b的夹角为(　　)
A.120°　　　　B.60°　　　　C.45°　　　　D.30°
14.(2025江苏南京田家炳高级中学阶段测试)在菱形ABCD中,AC=2,BD=4,且,则∠DEC的余弦值为　　　　.
15.(教材习题改编)已知点A(-4,0),B(2,-1),C(-1,3),则点C到直线AB的距离为　　　　.　
16.(2025江苏苏州大学附属中学期中)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=5,AD=2DC=4,且=0,E是线段AB上一点,且AE=4EB,F为线段BC上一动点.
(1)求∠DAB的大小;
(2)若F为线段BC的中点,直线AF与DE相交于点M,求cos∠EMF;
(3)求的取值范围.
题组五　向量垂直的坐标表示
17.(2025江苏南通月考)若向量a=(x+1,2)和向量b=(1,-1)垂直,则|a+b|=(　　)
A.
18.(多选题)(2025江苏无锡第一中学期中)已知向量a=(1,3),b=(-2,x),则下列说法中正确的是(　　)
A.当a⊥b时,|a-3b|=
B.当x=1时,向量b在向量a上的投影向量为a
C.当a与b的夹角为锐角时,x>
D.与向量a垂直的单位向量c=
19.在△ABC中,||=2,点A(1,1).
(1)若C(2,0),且△ABC为直角三角形,求点B的坐标;
(2)在x轴上是否存在点B,C,满足=0 若存在,求出点B,C的坐标;若不存在,请说明理由.
能力提升练
题组一　向量线性运算的坐标表示
1.(2024河南洛阳强基联盟联考)古希腊数学家特埃特图斯利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知AB=BC=CD=2,AB⊥BC,AC⊥CD,若,则λ+μ=(　　)
A.-
2.(2025江苏邳州毓秀高级中学月考)在直角△ABC中,C是直角,CA=4,CB=3,△ABC的内切圆分别交CA,CB于点D,E,点P是图中阴影区域(不包含边界)内的一点,若,则x+y的值可以是(　　)
A.1　　　　B.2.5　　　　
C.4　　　　D.5.5
3.(2025浙江杭州高级中学月考)分别以直角三角形的三条边的长为边长作正方形,则以斜边长为边长作出的正方形的面积正好等于以两直角边的长为边长作出的正方形的面积之和,这就是著名的毕达哥拉斯定理.现在对直角三角形CDE按上述操作作图后,得如图所示的图形,若(x,y∈R),则x-y=　　　　.
题组二　向量数量积的坐标表示及其应用
4.(2025江苏无锡江阴南菁高级中学月考)△ABC中,AH为BC边上的高且,动点P满足,则点P的轨迹一定过△ABC的(　　)
A.外心　　　　B.内心　　　　
C.垂心　　　　D.重心
5.(2025江苏苏州九校联考)若△ABC的三个内角均小于120°,点M为△ABC内一点,且满足∠AMB=∠AMC=∠BMC=120°,则点M到△ABC三个顶点的距离之和最小,此时称点M为△ABC的费马点.根据以上性质,已知a是平面内的任意一个向量,向量b,c满足b⊥c,且|b|=3,|c|=,则|a-b|+|a-c|+|a+c|的最小值是(　　)
A.9　　　　B.4
6.(多选题)(2024江苏南京金陵中学学情调研)定义平面向量的一种运算:a☉b=|a+b|×|a-b|×sin,其中是a与b的夹角,下列说法正确的是(　　)
A.若=90°,则a☉b=a2+b2
B.若|a|=|b|,则(a+b)☉(a-b)=4a·b
C.若|a|=|b|,则a☉b≤2|a|2
D.若a=(1,2),b=(-2,2),则(a+b)☉b=
7.(多选题)(2025江苏徐州期中)如图,△ABC是边长为2的等边三角形,以AC的中点O为圆心,1为半径作一个半圆,点P为此半圆弧上的一个动点,则下列说法正确的是(　　)
A.
B.=3
C.的最大值为5
D.若,则当B,O,P三点共线时,x+y=
8.(2025江苏徐州九里中学月考)在边长为2的正方形ABCD中,M,N分别是边BC,CD上的两个动点,且BM+DN=MN,则的最小值是　　　　.
9.(2024江苏无锡辅仁高级中学质量检测)已知向量a=(1,),b=(cos α,sin α),设m=a+tb(t∈R).
(1)若α=,求当|m|取最小值时实数t的值;
(2)若a⊥b,是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为 若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.
10.(创新题)(2025江苏盐城五校联盟阶段性考试)对任意两个非零向量m,n,定义新运算:m n=,其中θ为m与n的夹角.
(1)若非零向量a,b满足|a|=2|b|,且a b>,求b a的取值范围;
(2)若向量a=(t,4),b=(2,t),且a b=1,求正数t的值;
(3)已知非零向量a,b满足|a|=k|b|(k是正整数),向量a,b的夹角θ∈,a b和b a都是有理数,且(a b)2+(b a)2=,求sin θ.
答案与分层梯度式解析
9.3.2　向量坐标表示与运算
基础过关练
1.C　
2.C　由题意得=(x-5,y+1),
因为,即(x-5,y+1)=(2,1),
所以所以P(7,0).
3.C　由题图可知a=2e1+3e2,b=2e1-2e2,
∴a=(2,3),b=(2,-2).
4.答案　(-)
解析　由∠xOA=,
∵OA=2,
∴A(-),∴向量).
5.A　由题意得=(1,1),
则=(2,4)+(1,1)=(3,5).
6.A　设C(x,y),则=(x,y)-(-1,2)=(2,1),
所以所以C(1,3),
所以=(1,3)-(3,1)=(-2,2).
7.解析　(1)∵O(0,0),A(1,2),B(3t,3t),
∴=(3t,3t),
∴=(1,2)+(3t,3t)=(1+3t,2+3t).
若点P在x轴上,则2+3t=0,∴t=-.
若点P在y轴上,则1+3t=0,∴t=-.
若点P位于第二象限,则∴-.
(2)由题意得=(3-3m,3-3m).
若四边形OABP为平行四边形,则,
∴该方程组无解.
故四边形OABP不能成为平行四边形.
8.D　由题意得=(2,2),
∵点P在直线AB上,且||,
∴(易错点),
∴=(-1,-1),　
∴P点坐标为(3,1)或(1,-1).
二级结论　线段定比分点的坐标公式:已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),P是直线P1P2上一点,且以λ为定比的定比分点.
在本题中,需将“”,然后可套用公式求解.
9.D　因为a=(5,-2),b=(-4,-3),且a-2b+3c=0,
所以c=-(a-2b)=-.
10.A　解法一:建立平面直角坐标系,转化为坐标运算.
以D为原点,DC,DA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图.
设DC=a,DA=b,a,b>0,则D(0,0),E,A(0,b),C(a,0),
设(λ1,λ2∈R),
则+λ2(a,-b),
所以
故.
解法二:利用平面向量基本定理求解.
依题意得①,②,③,
由②③得,
将这两个式子代入①,得.
11.答案　
解析　由已知可得=(5,7),
则=(3,1)+(5λ,7λ)=(5λ+3,7λ+1),
设点P(x,y),则=(x-2,y-3),
则
即点P的坐标为(5λ+5,7λ+4),
因为点P在第四象限内,所以,
因此实数λ的取值范围是.
12.B　由已知得=(a-3,-2),
因为|=(-3,-4),
所以=-3×0+(-4)×(-2)=8.
13.A　由题意得|b|=,
则a在b上的投影向量为·b==-1,所以a·b=-5,
则cos=.
因为0°≤≤180°,所以=120°,
所以向量a与b的夹角为120°.
14.答案　
解析　设AC,BD交于点O,分别以BD,AC所在直线为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
则A(0,1),B(-2,0),C(0,-1),D(2,0),
由,知B为AE的中点,所以E(-4,-1),
则=(4,0),
所以cos∠DEC=.
15.答案　
解析　由已知可得=(3,3),
则,
|,
所以cos∠BAC=,
所以sin∠BAC=,
故点C到直线AB的距离d=|×.　
16.解析　(1)连接AC,BD,由题意得,
所以的夹角相同,设为θ,θ∈(0,π),
则
=,
由×4×2cos θ-×4=0,得cos θ=.
(2)过点D作DO⊥AB,垂足为O,则AO=ADcos∠DAB=2,DO=ADsin∠DAB=2,
以O为原点,AB,DO所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,
则A(-2,0),D(0,2,
所以),
易知∠EMF与的夹角相等,
且cos<.
(3)由(2)知),
设λ),
所以),
所以=(5-λ)×(3-λ)+2λ×(2,
则当λ=)max=15,
所以.
17.A　由a⊥b,得a·b=(x+1)×1+2×(-1)=0,解得x=1,
∴a+b=(2,2)+(1,-1)=(3,1),∴|a+b|=.
18.BC　对于A,当a⊥b时,a·b=-2+3x=0,得x=,则b=,
所以a-3b=(1,3)-(-6,2)=(7,1),故|a-3b|=,故A错误;
对于B,当x=1时,b=(-2,1),向量b在向量a上的投影向量为a=a=a,故B正确;
对于C,当a与b的夹角为锐角时,a·b=-2+3x>0且1×x≠3×(-2)(易错点),解得x>,故C正确;
对于D,设与向量a垂直的单位向量c=(m,n),
则
故c=或c=,故D错误.
19.解析　(1)易得=(1,-1),设点B(x,y),
则=(x-2,y).
∵||=2,∴|=2,
∴(x-2)2+y2=4.
∵||=2,∴∠B≠90°.
当∠A=90°时,=0,∴x-y=0,即x=y.
又∵(x-2)2+y2=4,∴
∴点B的坐标为(0,0)或(2,2).
当∠C=90°时,=0,∴x-2-y=0.
又∵(x-2)2+y2=4,∴
∴点B的坐标为(2+).
综上所述,点B的坐标为(0,0)或(2,2)或(2+).
(2)存在.假设存在满足条件的点B,C,依题意可设点B(b,0),C(c,0),b≠c,
则=(c-1,-1).
∵|=0,
∴|=(b-1)(c-1)+1=0,
∴
∴存在满足条件的点B,C,且点B的坐标为(0,0),点C的坐标为(2,0)或点B的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,0).
能力提升练
1.B　以C为坐标原点,CD,CA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,
由题意得AC=2),C(0,0),D(-2,0),
则).
因为
解得.
2.B　在Rt△ABC中,CA=4,CB=3,则AB=5,设内切圆半径为r,则3-r+4-r=5,解得r=1,
以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,设内切圆圆心为M,连接MD,ME,
则C(0,0),D(0,1),E(1,0),则=(1,0),
故=x(0,1)+y(1,0)=(y,x),
令x+y=t,则点P在直线y=-x+t上,
由点P是图中阴影区域(不包含边界)内的一点,得直线y=-x+t与阴影区域(不包含边界)有公共点,
由图可知,当03.答案　-
解析　如图,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,
设正方形ABCD的边长为2a,a>0,则正方形DEHI的边长为a,正方形EFGC的边长为a,
可知A(0,0),B(2a,0),D(0,2a),DF=(+1)a,
则xF=(+1)a·cos 30°,yF=(+1)a·sin 30°+2a,即F,
又,
∴=x(2a,0)+y(0,2a)=(2ax,2ay),
即a,
化简得x-y=-.
4.A　以H为原点,的方向分别为x,y轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系,
设BC=4a(a>0),AH=b,则BH=3a,HC=a,
则H(0,0),B(-3a,0),C(a,0),A(0,b),
所以=(x,y-b),
因为×(4a)2,所以x=-a,即点P的轨迹方程为x=-a,
而直线x=-a垂直平分线段BC,即点P的轨迹为线段BC的垂直平分线,
根据三角形外心的性质可得点P的轨迹一定过△ABC的外心.
5.C　设O为坐标原点,=a,=b,=c,A(x,y),B(3,0),C(0,),
则a-b==(x-3,y),a-c=),a+c=),
所以|a-b|+|a-c|+|a+c|=|,
若要使||取最小值,则A为△ABC的费马点,
易知△BCD为等边三角形,所以△BCD的费马点为△BCD的中心,
此时||×3=6.
所以|a-b|+|a-c|+|a+c|的最小值为6.
6.AC　对于A,若=90°,则|a+b|=|a-b|,a·b=0,
则a☉b=|a+b|×|a-b|×sin 90°=|a+b|2=a2+b2+2a·b=a2+b2,故A正确;
对于B,若|a|=|b|,则|a|2=|b|2,(a+b)⊥(a-b),
则a+b与a-b的夹角为90°,
则(a+b)☉(a-b)=|(a+b)+(a-b)|×|(a+b)-(a-b)|×sin 90°=4|a||b|,而4a·b=4|a||b|cos,它们不一定相等,故B错误;
对于C,若|a|=|b|,则a☉b≤|a+b|×|a-b|≤a2+b2=2|a|2,故C正确;
对于D,若a=(1,2),b=(-2,2),则a+b=(-1,4),a+2b=(-3,6),
则cos=,
又∈[0,π],
所以sin=,
则(a+b)☉b=|a+2b|×|a|×sin=3××,故D错误.
7.ACD　对于A,,故A正确;
对于B,由A知,
则
=-×4-×2×2×cos 60°=-2-1=-3,故B错误;
对于C,以B为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则B(0,0),C(2,0),A(1,,
设P,
所以=3+2cos θ,
当θ=0时,取得最大值,为5,故C正确;
对于D,当B,O,P三点共线时,|,
所以,
又,
所以x=,故D正确.
8.答案　8(-1)
解析　以点A为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
设点M(2,m),N(n,2),其中m,n>0,
则=(n,2),
所以=(2,m)·(n,2)=2m+2n,
由BM+DN=MN,得m+n=,
整理得2(m+n)+mn-4=0,
易知2(m+n)+mn-4≤2(m+n)+-4,当且仅当m=n时等号成立,
设t=m+n,则t>0,t2+8t-16≥0,所以t≥-4+4,
所以-8.
9.
思路分析
(1)求出b得到m→求m的模→得t的值
(2)cos→求出|a-b|,|a+tb|,
(a-b)·(a+tb)→得关于t的方程→解方程即可
解析　(1)当α=时,b=,　
所以m=a+tb=(1,,　
所以|m|==|t+2|,所以当t=-2时,|m|取得最小值,为0.
(2)依题意得,cos.
若a⊥b,则a·b=0.
因为a=(1,),b=(cos α,sin α),
所以|a|==2,|b|==1,
所以|a-b|2=a2-2a·b+b2=4+1=5,
|a+tb|2=a2+2ta·b+t2b2=4+t2,
所以|a-b|=,|a+tb|=,
又(a-b)·(a+tb)=a2+ta·b-a·b-tb2=|a|2-t|b|2=4-t,
所以,
整理得3t2+16t-12=0,解得t=-6或t=,
所以存在t=-6或t=满足条件.
10.解析　(1)设a,b的夹角为α,因为|a|=2|b|,所以a b=2sin α>因为b a=(2)设a,b的夹角为β,因为a=(t,4),b=(2,t),所以cos β=.
又β∈[0,π],所以sin β=,
所以a b==1,
解得t2=2,又t>0,所以t=.
(3)因为|a|=k|b|,所以a b=ksin θ,b a=sin θ.
因为(a b)2+(b a)2=.
因为θ∈,
所以,
所以.
又k是正整数,所以k=2或k=3.
当k=2时,a b=2sin θ,b a=sin θ,
所以(2sin θ)2+,
此时a b=,b a=,都是有理数.
当k=3时,a b=3sin θ,b a=sin θ,
所以(3sin θ)2+,
此时a b,b a都是无理数,舍去.
综上,sin θ=.
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