9.4 向量应用--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
9.4　向量应用
基础过关练
题组一　向量在几何中的应用
1.(2025江苏南通如皋中学月考)在△ABC中,,则△ABC的形状为(　　)
A.等腰直角三角形　　　　B.三边均不相等的三角形
C.等边三角形　　　　 D.等腰(非直角)三角形
2.(2025河北保定唐县第一中学期中)已知在△ABC中,H为△ABC的垂心,O是△ABC所在平面内一点,且,则下列选项正确的是(　　)
A.点O为△ABC的内心 B.点O为△ABC的外心
C.∠ACB=90° D.△ABC为等边三角形
3.(2024北京朝阳质量检测)在△ABC中,AB=AC=2,BC=2,点P在线段BC上.当取得最小值时,PA=(　　)
A.
4.(2024江苏常州北郊高级中学学情调研)如图,在△ABC中,D,E是BC上的两个三等分点,,则cos B的最小值为　　　　.
5.(2025江苏扬州大学附属中学月考)如图,在△ABC中,已知AB=2,AC=4,∠BAC=60°,E,F分别为AC,BC上的点,且.
(1)求||;
(2)求证:AF⊥BE;
(3)若线段BE上一动点P满足2=0,试确定点P的位置.
6.(2025江苏南京外国语学校期中)在平面直角坐标系中,已知B(0,0),A(.
(1)∠BCD的平分线与BD交于点M,求点M的坐标;
(2)若E在边CD上,设,F为BD与AE的交点.
①若λ=,求cos∠AFB;
②求的最小值.
题组二　向量在物理中的应用
7.(2023山东滨州阶段练习)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态时,两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为200 N,则该学生的体重(单位:kg)约为(参考数据:g=10 N/kg)(　　)
A.60　　　　B.61　　　　
C.75　　　　D.60
8.(多选题)在日常生活中,我们会看到两个人共提一个旅行包的场景,如图所示.已知旅行包所受的重力为G,作用在旅行包上的两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ,则下列结论中正确的是(　　)
A.θ越大越费力,θ越小越省力
B.θ的取值范围为
C.当θ=时,|F1|=|G|
D.当θ=时,|F1|=|G|
9.(教材习题改编)如图,一滑轮组中有两个定滑轮A,B,在从连接点O出发的三根绳的端点处挂着三个重物,它们所受的重力分别为4 N,4 N,7 N,此时整个系统处于平衡状态,则cos∠AOB=　　　　.
10.(2025江苏无锡第一中学期中)已知平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点,且处于平衡状态,其中|F1|=1 N,|F2|= N,F1与F2的夹角为,则F3与F1夹角的大小为　　　　.　
11.(2024四川绵阳中学月考)质量m=2.0 kg的木块在平行于斜面向上,大小为10 N的拉力F的作用下,沿倾斜角θ=30°的光滑斜面向上滑行了|s|=2.0 m的距离.(g=9.8 N/kg)
(1)分别求木块所受各力对木块所做的功;
(2)在这个过程中,木块所受各力对木块做功的代数和是多少
12.(2025山东聊城第一中学月考)一条河南北两岸平行,如图所示,河面宽度d=1 km,一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是v1,水流速度v2的大小为|v2|=4 km/h.设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°),北岸上的点A'在点A的正北方向.
(1)若游船沿AA'到达北岸A'点所需时间为6 min,求v1的大小和cos θ的值;
(2)当θ=60°,|v1|=10 km/h时,游船航行到北岸的实际航程是多少
答案与分层梯度式解析
9.4　向量应用
基础过关练
1.A　因为,
又=1×1×cos∠CAB=,
又∠CAB∈,
故△ABC是等腰直角三角形.
2.B　在△ABC中,由H为△ABC的垂心,得CH⊥AB,
由|,
,
显然|,因此点O为△ABC的外心,B正确,无判断A,C,D成立的条件.
3.B　如图,取BC的中点O,以O为坐标原点,BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,
由AB=AC=2,BC=2,0),
因为点P在线段BC上,所以可设P(x,0),-,
则-x,0),
则,
易知当x=-.
4.答案　
解析　∵D,E是BC上的两个三等分点,
∴,
则,
,
∵,
∴,
由基本不等式得cos B=×2,
当且仅当||时等号成立.
故cos B的最小值为.
5.解析　(1)记=a,=b,则|a|=2,|b|=4,a·b=2×4cos 60°=4,
因为a+b,
则a2+a·b+b2=×4+×4+×16=.
(2)证明:因为=-a+b,
所以a2+b2=-×4+×16=0,所以,即AF⊥BE.
(3)因为,
因为2,
所以P是线段BE的中点.
6.解析　(1)由题意可得D(2),所以CD⊥CB,由角平分线定理可知BM∶MD=BC∶CD=2,
所以.　
(2)①因为E为CD的中点,所以E,
所以),
所以,
所以cos∠AFB=cos<.
②设E(2,-x),
故x+4,
函数y=x2-.
7.D　如图,|,∠AOB=60°,作平行四边形OACB,则平行四边形OACB是菱形,|sin 60°=600,
所以|G|=||=600,
因此该学生的体重为=60(kg).
解题模板　用向量法解决物理问题时,正确作出相应的几何图形有助于建立数学模型.用向量知识来解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上.
8.AD　根据题意得|G|=|F1+F2|,所以|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos θ=2|F1|2(1+cos θ),易知θ∈(0,π),
解得|F1|2=,当θ∈(0,π)时,y=cos θ单调递减,所以|F1|2随θ的增大而增大,故θ越大越费力,θ越小越省力,故A正确,B错误;
当θ=时,|F1|2=,所以|F1|=|G|,故C错误;
当θ=时,|F1|2=|G|2,所以|F1|=|G|,故D正确.
9.答案　
解析　由题意知||=7,
则=49,
即16+2,
所以cos∠AOB=.
10.答案　
解析　由题意得F1+F2+F3=0,
∴|F3|=|F1+F2|=
=
=+1,
设F3与F1的夹角为θ,
则cos θ=,　
因为θ∈[0,π],所以θ=.
11.解析　(1)木块受三个力的作用,重力G、拉力F和支持力FN,如图所示,
拉力F与位移s方向相同,所以拉力对木块所做的功为WF=F·s=|F||s|cos 0°=20(J).
支持力FN与位移方向垂直,不做功,即支持力对木块所做的功为0 J.
重力G对木块所做的功为WG=G·s=|G||s|·cos(90°+θ)=-19.6(J).
(2)木块所受各力对木块做功的代数和为20+0-19.6=0.4(J).
12.解析　(1)设游船的实际速度大小为|v|km/h,
由AA'=1 km,6 min=0.1 h,得|v|=10 km/h,已知|v2|=4 km/h.　
如图所示,由=|v|2+=102+42=116,得|v1|=2 km/h,　
则cos θ=-.
(2)当θ=60°,|v1|=10 km/h时,设到达北岸B点所用时间为t h,作出向量加法示意图如图所示,
AB2=|tv|2=t2(v1+v2)2=t2(102+42+2×10×4×cos 60°)=156t2,则AB=2t,
在Rt△AA'C中,t|v1|cos 30°=1,从而t=×2,
故游船的实际航程为 km.
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