10.1.1 两角和与差的余弦--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
第10章　三角恒等变换
10.1　两角和与差的三角函数
10.1.1　两角和与差的余弦
基础过关练
题组一　给角求值
1.(2025江苏南京师范大学附属实验学校月考)已知a=(cos 105°,sin 105°),b=(cos 45°,sin 45°),则a·b等于(　　)
A.-
2.(2025江苏南京田家炳高级中学阶段性测试)cos 24°cos 69°+sin 24°sin 111°=(　　)
A.-
3.(2024陕西西安一模)等于(　　)
A.　　　　D.1
题组二　给值求值
4.(2025江苏淮安涟水第一中学月考)已知α∈,cos α=,则cos的值为(　　)
A.　　　　C.-或-
5.(2025江苏南京中华中学期中)在△ABC中,A为锐角,若sin A=,cos B=,则cos C=(　　)
A.
6.(2025河北部分学校联考)已知cos α-cos β=,sin α-sin β=,则cos(β-α)=(　　)
A.
7.(2025江苏南通第一中学阶段性考试)已知0<β<α<,则tan αtan β的值为(　　)
A.　　　　D.2
8.(2025江苏南京二十九中月考)已知向量e1=(cos α,sin α),e2=(cos β,sin β),m=(0,1),若e1+e2=m,则cos(α-β)=　　　　.
题组三　给值求角
9.(多选题)若α∈[0,2π],sin=0,则α的值可以是(　　)
A.
10.(2025江苏南通如皋质量调研)已知α,β∈(0,π),且tan α=,cos β=,则α+β=(　　)
A.
11.(2025江苏南京第一中学月考)已知α∈,β∈,sin β=-,且cos(α-β)=,则α的值为(　　)
A.
12.(2025河北廊坊月考)若cos(α-β)=,cos 2α=,α为锐角,β为钝角,则α+β=　　　　.
能力提升练
题组一　利用两角和与差的余弦公式求值
1.(2025江苏常州武进高级中学月考)已知cos+sin α=,则sin的值是(　　)
A.-
2.(2025江苏扬州大学附属中学月考)已知cos,α,β∈,则cos(α+β)=(　　)
A.
3.(2025江苏常州学情测试)已知α,β为锐角,且cos(α+β)sin β=sin α,则tan α的最大值为(　　)
A.
4.(2025江苏南通月考)人脸识别技术应用在各行各业,改变着人类的生活,而所谓人脸识别,就是利用计算机分析人脸视频或者图像,并从中提取出有效的识别信息,最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试,常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,余弦相似度为向量夹角的余弦值,记作cos(A,B),余弦距离为1-cos(A,B).已知P(cos α,sin α),Q(cos β,sin β),R(cos α,-sin α),若P,Q的余弦距离为,tan αtan β=,则Q,R的余弦距离为(　　)
A.
5.(2024江苏连云港东海高级中学第一次检测)已知0<β<α<,sin αsin β=,cos αcos β=,则cos 2α=　　　　　.
题组二　利用两角和与差的余弦公式求角
6.(2025江苏邳州毓秀高级中学月考)若α+β∈,β为锐角,sin(α+β)=,cos 2β=,则α-β的值为(　　)
A.
7.(2024四川成都百师联盟冲刺)已知α,β,γ∈,若sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,则α-β=(　　)
A.-
8.(2025江苏常州北郊高级中学期中)已知0°<θ<180°,cos(40°-θ)+cos(40°+θ)+cos(80°-θ)=0,则θ=　　　　.
9.已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)(0<α<β<π).
(1)求证:a+b与a-b互相垂直;
(2)若ka+b与a-kb的模相等(其中k为非零实数),求β-α 的值.
答案与分层梯度式解析
第10章　三角恒等变换
10.1　两角和与差的三角函数
10.1.1　两角和与差的余弦
基础过关练
1.C　a·b=cos 105°cos 45°+sin 105°sin 45°=cos(105°-45°)=cos 60°=.
2.B　cos 24°cos 69°+sin 24°sin 111°
=cos 24°cos 69°+sin 24°sin(180°-69°)
=cos 24°cos 69°+sin 24°sin 69°
=cos(69°-24°)=cos 45°=.
3.C　
=
=
==cos 30°=.
4.A　由α∈,
则cos××.
5.A　在△ABC中,cos B=>0,∴B为锐角,∴sin B=,
∵sin A=,A为锐角,∴cos A=,
则cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=-××.
6.C　对cos α-cos β=①,
对sin α-sin β=②,
①+②得,cos2α+sin2α+cos2β+sin2β-2(cos αcos β+sin αsin β)=,
即2-2(cos αcos β+sin αsin β)=,
即2-2cos(β-α)=.
7.A　由题意知cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,①
因为sin(α-β)=,
所以,
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,②
联立①②,得cos αcos β=,
所以tan αtan β=.
8.答案　-
解析　由e1+e2=m可知(cos α,sin α)+(cos β,sin β)=(0,1),即cos α+cos β=0,sin α+sin β=1,
将两式平方再相加可得(cos α+cos β)2+(sin α+sin β)2=1,
即cos2α+2cos αcos β+cos2β+sin2α+2sin αsin β+sin2β=2+2(cos αcos β+sin αsin β)=1,
∴cos αcos β+sin αsin β=-,
故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-.
9.CD　由已知得cos=cos α=0,
又α∈[0,2π],所以α=.
10.A　因为α,β∈(0,π),且tan α=,
所以α,β∈,
又tan α=,sin2α+cos2α=1,sin2β+cos2β=1,
所以sin α=,
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=××,
因为α+β∈(0,π),所以α+β=.
11.B　∵β∈,∴cos β=,
∵α∈,∴α-β∈(0,π),
又cos(α-β)=,
∴sin(α-β)=,
故cos α=cos(α-β+β)=cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β
=××,
又α∈,∴α=.
12.答案　
解析　∵cos 2α=,且α为锐角,
∴2α∈,
∵β为钝角,即β∈,∴α-β∈,∴sin(α-β)=-,
∴cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β)=××,
∴α+β=.
能力提升练
1.D　cossin α+sin α
=
=,
所以cos.
2.D　∵α,β∈,∴α+,∴sin<0,
∴sin,
∴cos(α+β)=cos
=cos
=××.
3.D　因为α,β为锐角,所以sin α>0,cos α>0,tan α>0,sin β>0,cos β>0,tan β>0,
由cos(α+β)sin β=sin α,得(cos αcos β-sin αsin β)sin β=sin α,即cos αcos βsin β-sin αsin2β=sin α,
则cos βsin β-tan αsin2β=tan α,
整理得tan α=.
方法技巧　三角函数式的化简要遵循“三看”原则:
一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的区别和联系,把角进行合理拆分,从而正确使用公式;
二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;
三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式通分”等.
4.A　由题意知=(cos α,-sin α),
则cos(P,Q)==cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β),
cos(Q,R)==cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β),
由题意知1-cos(α-β)=,①
tan αtan β=,②
联立①②可得sin αsin β=,
因此,Q,R的余弦距离为1-cos(α+β)=1-cos αcos β+sin αsin β=1-.
5.答案　0
解析　∵sin αsin β=,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,
∵0<β<α<,∴0<α-β<,0<α+β<π,
∴sin(α-β)=,
则cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=××=0.
方法技巧　用两角和与差的余弦公式求值时,常将所求角进行拆分或组合,常见的变换如下:α=(α+β)-β,α=β-(β-α),2α=(α+β)+(α-β)等.
6.B　因为α+β∈,
因为β∈,
因为sin(α+β)=,
所以,
所以0<α-β<,
故cos(α-β)=cos[(α+β)-2β]=cos(α+β)cos 2β+sin(α+β)sin 2β=-××,
所以α-β=.
7.A　由sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,得sin α-sin β=-sin γ,cos α-cos β=cos γ,
∴(sin α-sin β)2+(cos α-cos β)2=(-sin γ)2+cos2γ=1,
(提示:所求角与γ无关,则需根据已知条件消去γ)
即2-2sin αsin β-2cos αcos β=1,
即2-2cos(α-β)=1,解得cos(α-β)=.
∵γ∈,
∴sin α-sin β=-sin γ<0,∴sin α又α,β∈,∴0<α<β<,∴-<α-β<0,
∴α-β=-.
8.答案　120°
解析　因为cos(40°-θ)+cos(40°+θ)+cos(80°-θ)=0,
所以cos 40°cos θ+sin 40°sin θ+cos 40°cos θ-sin 40°sin θ+cos 80°cos θ+sin 80°sin θ=0,
即2cos 40°cos θ+cos 80°cos θ+sin 80°sin θ=0,
所以2cos 40°+cos 80°+sin 80°tan θ=0,
所以tan θ=-
=-
=-.
又0°<θ<180°,所以θ=120°.
9.解析　(1)证明:∵a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),
∴|a|2=cos2α+sin2α=1,|b|2=cos2β+sin2β=1,
∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0,
∴(a+b)⊥(a-b).
(2)∵ka+b=(kcos α,ksin α)+(cos β,sin β)
=(kcos α+cos β,ksin α+sin β),
∴|ka+b|2=(kcos α+cos β)2+(ksin α+sin β)2=k2cos2α+2kcos αcos β+cos2β+k2sin2α+2ksin αsin β+sin2β=k2+2kcos(α-β)+1.
同理可得,|a-kb|2=k2-2kcos(α-β)+1.
又∵|ka+b|=|a-kb|,∴|ka+b|2=|a-kb|2,
∴2kcos(α-β)=-2kcos(α-β).
∵k≠0,∴cos(α-β)=0,∴cos(β-α)=0.
又∵0<α<β<π,∴0<β-α<π,∴β-α=.
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