10.1.2 两角和与差的正弦--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
10.1.2　两角和与差的正弦
基础过关练
题组一　给角求值
1.(2025江苏南京师范大学附属中学期末)cos 15°+sin 15°=(　　)
A.　　　　D.1
2.(2024江苏徐州丰县中学学情调研)著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”,他倡导的“0.618优选法”(又称黄金分割法)在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.经研究,黄金分割比t=≈0.618还可以表示成2sin 18°,则tan 12°=(　　)
A.4　　　　B.2　　　　C.1　　　　D.
3.(2024河南信阳第一高级中学第一次质量检测)sin=　　　　.
题组二　给值求值
4.(2025江苏镇江、徐州七校期中联考)已知sin(α+β)=,则=(　　)
A.3　　　　B.2　　　　C.
5.(教材习题改编)已知角α的终边经过点P(1,3),角β为钝角,且cos(α+β)=-,则sin β=(　　)
A.
6.(2025江苏南京、镇江、徐州联盟校学情调研)已知tan α,tan β是方程3x2+4x-1=0的两根,则=　　　　.
7.(2025江苏南通海安期中)若tan αtan,则=　　　　.
题组三　给值求角
8.(2025江苏南京师大附中阶段检测)设α,β∈,且tan α=,则(　　)
A.3α-β=　　　　
C.2α-β=
9.(2025江苏常州田家炳中学期中)已知≤α≤π,π≤β≤,sin 2α=,则β-α=(　　)
A.
题组四　辅助角公式
10.(多选题)下列计算中正确的是(　　)
A.sin 15°-cos 15°=-
B.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=
C.sin
D.=2
11.(2025江苏苏州月考)公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派发现了黄金分割值约为0.618,这一数值(记为m)也可以表示为m=2sin 18°.若m2+n=4,则=　　　　.
能力提升练
题组一　利用两角和与差的正弦公式求值
1.(多选题)(2024江苏镇江扬中第二高级中学调研)已知α,β∈,则(　　)
A.sin(α+β)=
C.sin 2α=
2.(2025上海宜川中学阶段测试)已知a,b,α,β∈R,满足sin α+cos β=a,cos α+sin β=b,0①存在常数a,对任意的实数b,使得sin(α+β)的值是一个常数;
②存在常数b,对任意的实数a,使得cos(α-β)的值是一个常数.
下列说法正确的是(　　)
A.结论①②都成立
B.结论①不成立,结论②成立
C.结论①成立,结论②不成立
D.结论①②都不成立
3.(2025江苏南通第一中学阶段性考试)已知α,β均为锐角,且α+β≠,若sin(2α+β)=sin β,则=　　　　.
4.(2025江苏沭阳南湖高级中学月考)在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别交单位圆于A,B两点.已知点A的横坐标为,点B的纵坐标为.
(1)求sin(α+β);
(2)求2α-β的值.
题组二　两角和与差的正弦公式的综合应用
5.(2025江苏南京田家炳高级中学阶段性测试)在△ABC中,已知sin C=2sin(B+C)cos B,那么△ABC一定是(　　)
A.等腰直角三角形　　　　B.等腰三角形
C.直角三角形　　　　D.等边三角形
6.(多选题)(2025江苏海门中学质量调研,)已知α,β∈,则下列不等关系一定正确的是(　　)
A.sin(α+β)>sin α+sin β　　　　
B.cos(α+β)C.sin α+sin β>1　　　　
D.cos α+cos β<
7.(2025江苏南京、盐城模拟)若函数f(x)=sin x+acos x的图象关于直线x=对称,则实数a的值是　　　　.
8.(2025河北石家庄第四十四中学月考,)已知扇形AOB的半径为1,∠AOB=60°,弧上的点P满足(λ,μ∈R).
(1)求λ+μ的最大值;
(2)求的最小值.
答案与分层梯度式解析
10.1.2　两角和与差的正弦
基础过关练
1.C　cos 15°+sin 15°=sin 45°cos 15°+cos 45°sin 15°=sin(45°+15°)=sin 60°=.
2.C　由题意知,t=2sin 18°,
则tan 12°=
=
=
==1.
3.答案　-
解析　sin
=sin
=-2cos.
4.B　由sin(α+β)=①,
由sin(α-β)=②.
①+②得2sin αcos β=,
①-②得2cos αsin β=,
故=2.
5.D　由题意知cos α=.
因为角β为钝角,所以α+β∈,
若α+β∈,不符合题意,
故α+β∈(π,α+π),故sin(α+β)=-,
所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=-××.
6.答案　-
解析　因为tan α,tan β是方程3x2+4x-1=0的两根,
所以tan α+tan β=-,
所以.
7.答案　-
解析　　
=.
8.C　∵tan α=,
∴sin αcos β=cos α+cos αsin β,　
∴sin(α-β)=sin,
∵α-β∈,∴α-β=-α,
∴2α-β=.
9.A　因为≤α≤π,
所以≤2α≤2π,
又sin 2α=,
因为π≤β≤,
所以<α+β<2π,
故cos 2α=-,
sin(α+β)=-,
所以sin(β-α)=sin[(α+β)-2α]=sin(α+β)cos 2α-cos(α+β)sin 2α=-××,
所以β-α=.
10.ACD　对于A,sin 15°-cos 15°=sin 15°cos 60°-cos 15°sin 60°=sin(15°-60°)=sin(-45°)=-,故A正确;
对于B,sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=,故B错误;
对于C,sin,故C正确;
对于D,=2,故D正确.
11.答案　-2
解析　因为m=2sin 18°,m2+n=4,所以n=4-4sin218°=4cos218°,
故
=.
能力提升练
1.ACD　对于A,因为α,β∈,故A正确;
对于B,因为α,β∈,故B错误;
对于C,因为2α=(α+β)+(α-β),
所以sin 2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=××,故C正确;
对于D,,故D正确.
(点拨:分子、分母同时除以cos αcos β可将正、余弦转化为正切)
2.B　对于结论①,
∵sin α+cos β=a,cos α+sin β=b,
∴a2=sin2α+2sin αcos β+cos2β,
b2=cos2α+2cos αsin β+sin2β,
∴a2+b2=2+2sin αcos β+2cos αsin β=2+2sin(α+β),
∴sin(α+β)=,
∴当a为常数,b∈R时,sin(α+β)=不是一个常数,故结论①不成立;
对于结论②,
解法一:∵ab=(sin α+cos β)(cos α+sin β)
=sin αcos α+sin αsin β+cos αcos β+sin βcos β
=cos(α-β)+sin αcos α+sin βcos β,
sin(α+β)cos(α-β)
=(sin αcos β+cos αsin β)(cos αcos β+sin αsin β)
=sin αcos αcos2β+sin2αsin βcos β+cos2αsin βcos β+sin αcos αsin2β　
=(sin2β+cos2β)sin αcos α+(sin2α+cos2α)sin βcos β
=sin αcos α+sin βcos β,
∴ab=cos(α-β)+sin αcos α+sin βcos β
=cos(α-β)+sin(α+β)cos(α-β)
=cos(α-β)+cos(α-β),
∴cos(α-β)=,
∴存在常数b=0,对任意的实数a,使得cos(α-β)=0,故结论②成立.
解法二(特值法):当α=+sin β=-sin β+sin β=0,
∴α-β=,∴cos(α-β)=cos=0.
∴存在常数b=0,对任意的实数a,使得cos(α-β)=0,故结论②成立.
解题技法　本题中结论②的判断,使用常规三角恒等变换的方法运算量较大,对于存在性结论,使用特值法可以有效验证其正确性,减少运算量.
3.答案　5
解析　由sin(2α+β)=sin β,可得2sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α],
所以2[sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α]=3[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α],
所以sin(α+β)cos α=5cos(α+β)sin α,所以tan(α+β)=5tan α,所以=5.
4.解析　(1)由题意可知α∈,
所以sin α=,
故sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=××.
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=××,
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=××,
所以sin(2α-β)=sin[α+(α-β)]=sin αcos(α-β)+cos αsin(α-β)=××,
由cos α=<2α<π,
又.
5.B　因为sin C=2sin(B+C)cos B,即sin(A+B)=2sin Acos B,　
所以sin Acos B+cos Asin B=2sin Acos B,
所以sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0,
所以A-B=0或A-B=π(舍去),即A=B,
所以△ABC一定是等腰三角形.
6.BCD　因为α,β∈,所以sin α,cos α,sin β,cos β∈(0,1).
对于A,sin(α+β)-(sin α+sin β)=sin αcos β+cos αsin β-(sin α+sin β)=sin α(cos β-1)+sin β(cos α-1)<0,故sin(α+β)对于B,因为α,β∈<α+β<π,
所以cos(α+β)<0对于C,α,β∈,
又y=sin x在上单调递增,
所以sin α>sin=cos β,
故sin α+sin β>cos β+sin β=,
因为0<β<≤1,
故sin α+sin β>>1,C正确;
对于D,cos α+cos β因为0<α<≤1,
故cos α+cos β<,D正确.
7.答案　
解析　因为函数f(x)=sin x+acos x的图象关于直线x=,
则sin,
所以sin,
所以2cossin x,因为sin x不恒为0,
所以cos.
8.解析　(1)建立如图所示的平面直角坐标系,
则A=(1,0),
设∠POB=θ,θ∈=(cos θ,sin θ),
由(λ,μ∈R),得(cos θ,sin θ)=λ+μ(1,0),
即
所以λ+μ=,　
所以当θ=.
(2)由(1)得=(1-cos θ,-sin θ),　
所以·(-sin θ)　
=cos2θ-sin θ
=cos θ
=
=,
因为θ∈.
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