华师版秋学期八年级上册数学《13.1.3勾股定理的应用》专训(含解析答案)
文档属性
| 名称 | 华师版秋学期八年级上册数学《13.1.3勾股定理的应用》专训(含解析答案) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-07 05:03:30 | ||
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文档简介
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华师版秋学期八年级上册数学《13.1.3勾股定理的应用》专训
一、选择题。
1、以下列数据为边，不能组成直角三角形的是( )
A.5、12、13 B.、、 C.1、、 D.7、24、25
2、如图1：要从电线杆离地面5米的点C处向地面拉一根长为13米的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为( )
A.12米 B.11米 C.10米 D.9米
3、在△ABC中，AB＝13，BC＝5，AC＝12，则△ABC的面积为( )
A.78 B.60 C.65 D.30
4、如图2：已知圆柱的底面圆的直径AB为4cm，圆柱的高为10cm，在圆柱表面的高BC上有一点D，且CD＝2cm.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是( )(取3)
A.12cm B.10cm C.8cm D.6cm
5、如图3：在3×3的方格纸中，已知点A、B在方格顶点上(也称格点)，若点C也是格点，且使得△ABC为直角三角形，则满足条件的C点有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6、已知a、b、c是三角形的三边，若满足＋＋(c－5)2＝0，则该三角形的形状是( )
A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
7、某数学兴趣小组开展笔记本电脑的张角大小的实践探究活动。如图4：当张角为∠DAF时，顶部边缘D处离桌面的高度DE为20cm，此时底部边缘A处与E处间的距离AE为15cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠BAF时(D是B的对应点)，顶部边缘B处到桌面的距离BC为7cm，则底部边缘A处与C之间的距离AC为( )
A.13cm B.15cm C.20cm D.24cm
8、《九章算术》的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图5：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10尺，BC＝3尺，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为( )
A.x2＋32＝(10－x)2 B.x2＋(10－x)2＝32 Cx2＋32＝102 D.x2＝(10－x)2＋32
9、如图6：一架长25m的梯子靠在墙上，梯子底端离墙7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将滑动( )
A.10m B.6m C.4m D.8m
10、如图所示7：一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝3米，则树高为( )
A.米 B.2米 C.(＋1)米 D.4米
11、如图8：在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm。突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60cm，则水深是( )cm
A.35 B.40 C.50 D.45
12、(核心素养)如图9：P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕
点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝，PB＝，PC＝，
则四边形APBQ的面积为( )
A.2 B. C. D.5
二、填空题。
13、如图10：升旗的绳子自由下垂到地面还多出一段，小霞在绳子与地面接触处打了一个结，然后将绳子拉直使其末端接触地面，此时绳子末端距离旗杆底端12m，并测得绳子末端距离打结处6m，则旗杆的高度为 m。
14、消防车上的云梯示意图如图11—1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图11—2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问AC＝ 米。
15、如图12是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于5cm、3cm和1cm，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为 cm。
16、(中考链接)代数式＋的最小值为 。
17、如图13：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，将∠A翻折，使得点A落在边BC的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则CE的长为 。
18、我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，
粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶(注：枯树可以
看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈＝10尺)，则这根
藤条长 。
三、解答题。
19、如图：一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上。当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙7m。
(1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？
(2)当这架云梯的顶端从A处下滑4m到A＇处时，它的底端从B处滑动
到B＇处，云梯的底端在水平方向滑动了多少米？
20、如图：有一棵大树被大风吹折，折断处A与地面的距离AC＝3m，折断处A与折断后树的顶端B的距离AB＝5m。在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车，CD的距离为6m，求BD的距离。
21、“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”某校八(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE(如图)，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米。
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想让风筝沿CD方向下降5米，
那么他应该往回收线多少米？
22、(实践探究)勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一。如图：当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推4m至C处时(即水平距离CD＝4m)，踏板离地的垂直高度CF＝3m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长。
23、如图是放在地面上的一个无盖的长方体形盒子，长、宽、高分别为4cm、4cm、6cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的侧面爬到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短行程是多少？
24、如图：在长方形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝3，将这张纸片沿过点A的直线翻折，使点D落在长方形内的点E处，折痕交CD边于点H。若直线HE恰好经过点B，则AH的长为是多少？
25、(逻辑推理)【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱的高为8cm，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方。
(1)【操作发现】现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是 (填字母)；
(2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度；
(3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm(即AB＝5dm、BC＝4dm、AE＝3dm)的无盖长方体木箱。现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜。请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路(程木板的厚度忽略不计)。
华师版秋学期八年级上册数学《13.1.3勾股定理的应用》专训答案解析
一、选择题。
1、以下列数据为边，不能组成直角三角形的是( )
A.5、12、13 B.、、 C.1、、 D.7、24、25
答案∶C
【分析】本题考查勾股定理逆定理.掌握如果三角形两条短边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形是解题关键.根据勾股定理逆定理逐项判断即可。
【详解】解：∵，
∴A选项可以组成直角三角形，不符合题意；
∵，
∴B选项可以组成直角三角形，不符合题意；
∵，
∴C选项不可以组成直角三角形，符合题意；
∵，
∴D选项可以组成直角三角形，不符合题意。
故选：C.
2、如图1：要从电线杆离地面5米的点C处向地面拉一根长为13米的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为( )
A.12米 B.11米 C.10米 D.9米
答案∶A
【分析】本题考查了勾股定理.电线杆、地面、钢缆正好构成直角三角形，根据勾股定理直接解答本题。
【详解】解：电线杆、地面、钢缆正好构成直角三角形，
由题意知：米，米，
(米)
故选：.
3、在△ABC中，AB＝13，BC＝5，AC＝12，则△ABC的面积为( )
A.78 B.60 C.65 D.30
答案∶D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是熟悉勾股定理的逆定理和三角形的面积公式。根据勾股定理的逆定理判定直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求解即可。
【详解】解：∵，
∴，，
∴的面积。
故选：D.
4、如图2：已知圆柱的底面圆的直径AB为4cm，圆柱的高为10cm，在圆柱表面的高BC上有一点D，且CD＝2cm.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是( )(取3)
A.12cm B.10cm C.8cm D.6cm
答案∶B
【分析】本题考查勾股定理，首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即为所求。
【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示，
∵圆柱的底面圆的直径为，
∴圆柱的底面周长为，
∴.
∵，.
∴，
在中，，
即，
∴蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是。
故选：B.
5、如图3：在3×3的方格纸中，已知点A、B在方格顶点上(也称格点)，若点C也是格点，且使得△ABC为直角三角形，则满足条件的C点有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案∶C
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为直角△ABC斜边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条直角边。
【详解】解：如图，分情况讨论：
①AB为直角△ABC斜边时，符合条件的格点C点有2个；
②AB为直角△ABC其中的一条直角边时，符合条件的格点C点有1个。
故共有3个点。
故选：C.
【点睛】本题考查了直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想。
6、已知a、b、c是三角形的三边，若满足＋＋(c－5)2＝0，则该三角形的形状是( )
A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
答案∶A
【分析】根据绝对值，算术平方根的非负性以及平方的性质，求得的值，再根据勾股定理的逆定理求解即可。
【详解】解：∵
∴，，
∴，，
∵，即
∴三角形的形状是为直角三角形
故选A
【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，涉及了绝对值，算术平方根的非负性以及平方的性质，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键。
7、某数学兴趣小组开展笔记本电脑的张角大小的实践探究活动。如图4：当张角为∠DAF时，顶部边缘D处离桌面的高度DE为20cm，此时底部边缘A处与E处间的距离AE为15cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠BAF时(D是B的对应点)，顶部边缘B处到桌面的距离BC为7cm，则底部边缘A处与C之间的距离AC为( )
A.13cm B.15cm C.20cm D.24cm
答案∶D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键。
先由勾股定理可得，再由勾股定理计算即可得解。
【详解】解：根据题意得
在中，，，
，
∴，
在中，，，
，
∴，
∴底部边缘A处与C之间的距离的长为。
故选：D.
8、《九章算术》的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图5：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10尺，BC＝3尺，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为( )
A.x2＋32＝(10－x)2 B.x2＋(10－x)2＝32 Cx2＋32＝102 D.x2＝(10－x)2＋32
答案∶A
【分析】此题考查了勾股定理的实际应用。设，则，根据列得等式。
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
∴。
故选：A.
9、如图6：一架长25m的梯子靠在墙上，梯子底端离墙7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将滑动( )
A.10m B.6m C.4m D.8m
答案∶D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。利用勾股定理进行解答，求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离即可。
【详解】解：梯子顶端距离墙角的距离为：
，
梯子的顶端下滑后，顶端距离墙角的距离：
，
顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为：
，
梯子的底端滑动的距离为：
。
故选：D.
10、如图所示7：一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝3米，则树高为( )
A.米 B.2米 C.(＋1)米 D.4米
答案∶C
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，根据勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得出结果。
【详解】解：由题意，，
∴，
∴，
故树高为米。
故选C.
11、如图8：在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm。突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60cm，则水深是( )cm
A.35 B.40 C.50 D.45
答案∶D
【分析】本题考查正确运用勾股定理，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用。仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，进一步求解即可。
【详解】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即为红莲的长。
设水深，由题意得：
中，，，
由勾股定理得：，
即，
解得：.
即：水深是。
故选：D.
12、(核心素养)如图9：P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕
点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝，PB＝，PC＝，
则四边形APBQ的面积为( )
A.2 B. C. D.5
答案∶B
【分析】连接，由题意得是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明，根据即可解决问题。
【详解】如图，连接，
绕点A顺时针旋转得到，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
。
故选：B.
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握旋转的性质，对应边相等，对应角相等。
二、填空题。
13、如图10：升旗的绳子自由下垂到地面还多出一段，小霞在绳子与地面接触处打了一个结，然后将绳子拉直使其末端接触地面，此时绳子末端距离旗杆底端12m，并测得绳子末端距离打结处6m，则旗杆的高度为 m。
答案∶9
【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，设出未知数，由勾股定理列出方程是关键；设旗杆的高度为，则可表示出绳子的长度，由勾股定理即可列出方程，解方程即可。
【详解】解：设旗杆的高度为，则绳子的长度为，
由勾股定理得：，
解得：，
所以旗杆的高度为。
故答案为：9.
14、消防车上的云梯示意图如图11—1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图11—2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问AC＝ 米。
答案∶8
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键。在△中，根据勾股定理求出的长，在△中，由勾股定理求出的长，利用即可得出结论。
【详解】解：在△中，
米，米，
(米，
米，米，
(米，
(米，
(米。
故答案为：8.
15、如图12是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于5cm、3cm和1cm，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为 cm。
答案∶13
【分析】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键。只需要将其展开便可直观的得出解题思路。将台阶展开得到的是一个长方形，蚂蚁要从A点到B点的最短距离，便是长方形的对角线，利用勾股定理即可解出答案。
【详解】解：将台阶展开，如下图，
因为，
所以，
所以，
所以蚂蚁爬行的最短线路为。
故答案为：.
16、(中考链接)代数式＋的最小值为 。
答案∶13
【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键。作，过点B作，过点D作，使，连接交于点C，设，则的长即为代数式的最小值，然后构造，利用直角三角形的性质可求得的值。
【详解】解：作，过点B作，过点D作，使，连接交于点C，
如图所示，
设，
，
则的长即为代数式的最小值.
过点A作交的延长线于点F，
，
则，
所以，
即的最小值为13。
故答案为：13.
17、如图13：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，将∠A翻折，使得点A落在边BC的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则CE的长为 。
答案∶
【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质，设，则，根据折叠的性质可知，根据勾股定理可得，解方程即可求出的长度。
【详解】解：，点是边的中点，
，
设，则，
由折叠可知，
，
，
，
解得：，
。
故答案为：。
18、我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，
粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶(注：枯树可以
看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈＝10尺)，则这根
藤条长 。
答案∶29
【分析】本题考查了勾股定理的应用，能够把实际问题抽象成数学问题是解题的关键；
由于树可以近似看作圆柱，藤条绕树缠绕，我们可以按如图所示的方法，转化为平面图形利用勾股定理来解决.
【详解】解：如图在中，由勾股定理得
∵
∴
∴这根藤条有29尺.
故答案为：29.
三、解答题。
19、如图：一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上。当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙7m。
(1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？
(2)当这架云梯的顶端从A处下滑4m到A＇处时，它的底端从B处滑动
到B＇处，云梯的底端在水平方向滑动了多少米？
答案∶(1)这架云梯的顶端到地面的距离是
(2)梯子的底端在水平方向滑动了
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，是解题的关键：
(1)利用勾股定理进行求解即可；
(2)利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可。
【详解】(1)解：在中，由勾股定理得，
即，
∴，
答：这架云梯的顶端到地面的距离是；
(2)解：∵梯子的顶端A下滑了4m至点，
∴，
在中，由勾股定理得，
即 ，
∴，
∴
答：梯子的底端在水平方向滑动了。
20、如图：有一棵大树被大风吹折，折断处A与地面的距离AC＝3m，折断处A与折断后树的顶端B的距离AB＝5m。在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车，CD的距离为6m，求BD的距离。
答案∶的距离为
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟记在直角三角形中两直角边的平方的和等于斜边的平方是解题关键。
先对运用勾股定理求解，再由线段和差计算即可。
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
答：的距离为。
21、“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”某校八(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE(如图)，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米。
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想让风筝沿CD方向下降5米，
那么他应该往回收线多少米？
答案∶(1)风筝的垂直高度为米
(2)如果小明想让风筝沿方向下降5米，那么他应该往回收线米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键。
(1)由题意可得，米，，，米，米，则，再由勾股定理求出的长即可得解；
(2)在上取点，使得米，连接，则米，在中，由勾股定理得出的长，即可得解。
【详解】(1)解：由题意可得：，米，，，米，米，
∴，
∴米，
∴米，
即风筝的垂直高度为米；
(2)解：如图：在上取点，使得米，连接，
则米，
在中，由勾股定理可得米，
∴(米)，
故如果小明想让风筝沿方向下降5米，那么他应该往回收线米。
22、(实践探究)勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一。如图：当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推4m至C处时(即水平距离CD＝4m)，踏板离地的垂直高度CF＝3m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长。
答案∶绳索的长是
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键。
由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可。
【详解】解：由题意可知，，，，
，
设，则，
由勾股定理得：，
，
解得：，
即绳索的长是。
23、如图是放在地面上的一个无盖的长方体形盒子，长、宽、高分别为4cm、4cm、6cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的侧面爬到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短行程是多少？
答案∶最短行程是
【分析】此题考查了勾股定理—最短路径问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键。根据题意分两种情况，分别作图，利用勾股定理列式计算，进行求解，然后比较即可。
【详解】解：如图所示，连接即为所求路线，
根据题意：，，
∵在中，
∴根据勾股定理，，
如图所示，连接即为所求路线，
根据题意：，，
∵ 在中，
∴ 根据勾股定理，，
∵
∴
∴最短行程是。
24、如图：在长方形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝3，将这张纸片沿过点A的直线翻折，使点D落在长方形内的点E处，折痕交CD边于点H。若直线HE恰好经过点B，则AH的长为是多少？
答案∶
【分析】本题考查的是矩形折叠的性质与勾股定理的综合应用，利用折叠的性质转化线段是解题的关键．通过折叠得到对应边相等，结合长方形的边长，运用勾股定理建立方程，进而求出线段长度。
【详解】解：如图，连接，
在中，，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
在中，．
故答案为：。
25、(逻辑推理)【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱的高为8cm，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方。
(1)【操作发现】现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是 (填字母)；
(2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度；
(3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm(即AB＝5dm、BC＝4dm、AE＝3dm)的无盖长方体木箱。现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜。请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路(程木板的厚度忽略不计)。
25、答案∶(1)A
(2)所需金属丝的最短长度为
(3)
【分析】本题考查了平面展开－最短路径，理解转化思想是解题的关键。
(1)要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可；
(2)若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍；
(3)将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得。
【详解】(1)解：∵ 两点之间线段最短，
故选：A；
(2)解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形。由勾股定理，得。
答：所需金属丝的最短长度为；
(3)解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则。
所以；
根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程。
在中，，根据勾股定理，得：
。
所以最短路程为。
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华师版秋学期八年级上册数学《13.1.3勾股定理的应用》专训
一、选择题。
1、以下列数据为边，不能组成直角三角形的是( )
A.5、12、13 B.、、 C.1、、 D.7、24、25
2、如图1：要从电线杆离地面5米的点C处向地面拉一根长为13米的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为( )
A.12米 B.11米 C.10米 D.9米
3、在△ABC中，AB＝13，BC＝5，AC＝12，则△ABC的面积为( )
A.78 B.60 C.65 D.30
4、如图2：已知圆柱的底面圆的直径AB为4cm，圆柱的高为10cm，在圆柱表面的高BC上有一点D，且CD＝2cm.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是( )(取3)
A.12cm B.10cm C.8cm D.6cm
5、如图3：在3×3的方格纸中，已知点A、B在方格顶点上(也称格点)，若点C也是格点，且使得△ABC为直角三角形，则满足条件的C点有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6、已知a、b、c是三角形的三边，若满足＋＋(c－5)2＝0，则该三角形的形状是( )
A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
7、某数学兴趣小组开展笔记本电脑的张角大小的实践探究活动。如图4：当张角为∠DAF时，顶部边缘D处离桌面的高度DE为20cm，此时底部边缘A处与E处间的距离AE为15cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠BAF时(D是B的对应点)，顶部边缘B处到桌面的距离BC为7cm，则底部边缘A处与C之间的距离AC为( )
A.13cm B.15cm C.20cm D.24cm
8、《九章算术》的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图5：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10尺，BC＝3尺，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为( )
A.x2＋32＝(10－x)2 B.x2＋(10－x)2＝32 Cx2＋32＝102 D.x2＝(10－x)2＋32
9、如图6：一架长25m的梯子靠在墙上，梯子底端离墙7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将滑动( )
A.10m B.6m C.4m D.8m
10、如图所示7：一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝3米，则树高为( )
A.米 B.2米 C.(＋1)米 D.4米
11、如图8：在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm。突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60cm，则水深是( )cm
A.35 B.40 C.50 D.45
12、(核心素养)如图9：P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕
点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝，PB＝，PC＝，
则四边形APBQ的面积为( )
A.2 B. C. D.5
二、填空题。
13、如图10：升旗的绳子自由下垂到地面还多出一段，小霞在绳子与地面接触处打了一个结，然后将绳子拉直使其末端接触地面，此时绳子末端距离旗杆底端12m，并测得绳子末端距离打结处6m，则旗杆的高度为 m。
14、消防车上的云梯示意图如图11—1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图11—2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问AC＝ 米。
15、如图12是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于5cm、3cm和1cm，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为 cm。
16、(中考链接)代数式＋的最小值为 。
17、如图13：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，将∠A翻折，使得点A落在边BC的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则CE的长为 。
18、我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，
粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶(注：枯树可以
看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈＝10尺)，则这根
藤条长 。
三、解答题。
19、如图：一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上。当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙7m。
(1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？
(2)当这架云梯的顶端从A处下滑4m到A＇处时，它的底端从B处滑动
到B＇处，云梯的底端在水平方向滑动了多少米？
20、如图：有一棵大树被大风吹折，折断处A与地面的距离AC＝3m，折断处A与折断后树的顶端B的距离AB＝5m。在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车，CD的距离为6m，求BD的距离。
21、“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”某校八(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE(如图)，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米。
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想让风筝沿CD方向下降5米，
那么他应该往回收线多少米？
22、(实践探究)勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一。如图：当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推4m至C处时(即水平距离CD＝4m)，踏板离地的垂直高度CF＝3m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长。
23、如图是放在地面上的一个无盖的长方体形盒子，长、宽、高分别为4cm、4cm、6cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的侧面爬到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短行程是多少？
24、如图：在长方形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝3，将这张纸片沿过点A的直线翻折，使点D落在长方形内的点E处，折痕交CD边于点H。若直线HE恰好经过点B，则AH的长为是多少？
25、(逻辑推理)【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱的高为8cm，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方。
(1)【操作发现】现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是 (填字母)；
(2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度；
(3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm(即AB＝5dm、BC＝4dm、AE＝3dm)的无盖长方体木箱。现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜。请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路(程木板的厚度忽略不计)。
华师版秋学期八年级上册数学《13.1.3勾股定理的应用》专训答案解析
一、选择题。
1、以下列数据为边，不能组成直角三角形的是( )
A.5、12、13 B.、、 C.1、、 D.7、24、25
答案∶C
【分析】本题考查勾股定理逆定理.掌握如果三角形两条短边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形是解题关键.根据勾股定理逆定理逐项判断即可。
【详解】解：∵，
∴A选项可以组成直角三角形，不符合题意；
∵，
∴B选项可以组成直角三角形，不符合题意；
∵，
∴C选项不可以组成直角三角形，符合题意；
∵，
∴D选项可以组成直角三角形，不符合题意。
故选：C.
2、如图1：要从电线杆离地面5米的点C处向地面拉一根长为13米的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为( )
A.12米 B.11米 C.10米 D.9米
答案∶A
【分析】本题考查了勾股定理.电线杆、地面、钢缆正好构成直角三角形，根据勾股定理直接解答本题。
【详解】解：电线杆、地面、钢缆正好构成直角三角形，
由题意知：米，米，
(米)
故选：.
3、在△ABC中，AB＝13，BC＝5，AC＝12，则△ABC的面积为( )
A.78 B.60 C.65 D.30
答案∶D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是熟悉勾股定理的逆定理和三角形的面积公式。根据勾股定理的逆定理判定直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求解即可。
【详解】解：∵，
∴，，
∴的面积。
故选：D.
4、如图2：已知圆柱的底面圆的直径AB为4cm，圆柱的高为10cm，在圆柱表面的高BC上有一点D，且CD＝2cm.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是( )(取3)
A.12cm B.10cm C.8cm D.6cm
答案∶B
【分析】本题考查勾股定理，首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即为所求。
【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示，
∵圆柱的底面圆的直径为，
∴圆柱的底面周长为，
∴.
∵，.
∴，
在中，，
即，
∴蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是。
故选：B.
5、如图3：在3×3的方格纸中，已知点A、B在方格顶点上(也称格点)，若点C也是格点，且使得△ABC为直角三角形，则满足条件的C点有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案∶C
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为直角△ABC斜边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条直角边。
【详解】解：如图，分情况讨论：
①AB为直角△ABC斜边时，符合条件的格点C点有2个；
②AB为直角△ABC其中的一条直角边时，符合条件的格点C点有1个。
故共有3个点。
故选：C.
【点睛】本题考查了直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想。
6、已知a、b、c是三角形的三边，若满足＋＋(c－5)2＝0，则该三角形的形状是( )
A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
答案∶A
【分析】根据绝对值，算术平方根的非负性以及平方的性质，求得的值，再根据勾股定理的逆定理求解即可。
【详解】解：∵
∴，，
∴，，
∵，即
∴三角形的形状是为直角三角形
故选A
【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，涉及了绝对值，算术平方根的非负性以及平方的性质，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键。
7、某数学兴趣小组开展笔记本电脑的张角大小的实践探究活动。如图4：当张角为∠DAF时，顶部边缘D处离桌面的高度DE为20cm，此时底部边缘A处与E处间的距离AE为15cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠BAF时(D是B的对应点)，顶部边缘B处到桌面的距离BC为7cm，则底部边缘A处与C之间的距离AC为( )
A.13cm B.15cm C.20cm D.24cm
答案∶D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键。
先由勾股定理可得，再由勾股定理计算即可得解。
【详解】解：根据题意得
在中，，，
，
∴，
在中，，，
，
∴，
∴底部边缘A处与C之间的距离的长为。
故选：D.
8、《九章算术》的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图5：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10尺，BC＝3尺，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为( )
A.x2＋32＝(10－x)2 B.x2＋(10－x)2＝32 Cx2＋32＝102 D.x2＝(10－x)2＋32
答案∶A
【分析】此题考查了勾股定理的实际应用。设，则，根据列得等式。
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
∴。
故选：A.
9、如图6：一架长25m的梯子靠在墙上，梯子底端离墙7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将滑动( )
A.10m B.6m C.4m D.8m
答案∶D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。利用勾股定理进行解答，求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离即可。
【详解】解：梯子顶端距离墙角的距离为：
，
梯子的顶端下滑后，顶端距离墙角的距离：
，
顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为：
，
梯子的底端滑动的距离为：
。
故选：D.
10、如图所示7：一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝3米，则树高为( )
A.米 B.2米 C.(＋1)米 D.4米
答案∶C
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，根据勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得出结果。
【详解】解：由题意，，
∴，
∴，
故树高为米。
故选C.
11、如图8：在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm。突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60cm，则水深是( )cm
A.35 B.40 C.50 D.45
答案∶D
【分析】本题考查正确运用勾股定理，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用。仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，进一步求解即可。
【详解】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即为红莲的长。
设水深，由题意得：
中，，，
由勾股定理得：，
即，
解得：.
即：水深是。
故选：D.
12、(核心素养)如图9：P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕
点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝，PB＝，PC＝，
则四边形APBQ的面积为( )
A.2 B. C. D.5
答案∶B
【分析】连接，由题意得是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明，根据即可解决问题。
【详解】如图，连接，
绕点A顺时针旋转得到，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
。
故选：B.
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握旋转的性质，对应边相等，对应角相等。
二、填空题。
13、如图10：升旗的绳子自由下垂到地面还多出一段，小霞在绳子与地面接触处打了一个结，然后将绳子拉直使其末端接触地面，此时绳子末端距离旗杆底端12m，并测得绳子末端距离打结处6m，则旗杆的高度为 m。
答案∶9
【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，设出未知数，由勾股定理列出方程是关键；设旗杆的高度为，则可表示出绳子的长度，由勾股定理即可列出方程，解方程即可。
【详解】解：设旗杆的高度为，则绳子的长度为，
由勾股定理得：，
解得：，
所以旗杆的高度为。
故答案为：9.
14、消防车上的云梯示意图如图11—1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图11—2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问AC＝ 米。
答案∶8
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键。在△中，根据勾股定理求出的长，在△中，由勾股定理求出的长，利用即可得出结论。
【详解】解：在△中，
米，米，
(米，
米，米，
(米，
(米，
(米。
故答案为：8.
15、如图12是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于5cm、3cm和1cm，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为 cm。
答案∶13
【分析】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键。只需要将其展开便可直观的得出解题思路。将台阶展开得到的是一个长方形，蚂蚁要从A点到B点的最短距离，便是长方形的对角线，利用勾股定理即可解出答案。
【详解】解：将台阶展开，如下图，
因为，
所以，
所以，
所以蚂蚁爬行的最短线路为。
故答案为：.
16、(中考链接)代数式＋的最小值为 。
答案∶13
【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键。作，过点B作，过点D作，使，连接交于点C，设，则的长即为代数式的最小值，然后构造，利用直角三角形的性质可求得的值。
【详解】解：作，过点B作，过点D作，使，连接交于点C，
如图所示，
设，
，
则的长即为代数式的最小值.
过点A作交的延长线于点F，
，
则，
所以，
即的最小值为13。
故答案为：13.
17、如图13：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，将∠A翻折，使得点A落在边BC的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则CE的长为 。
答案∶
【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质，设，则，根据折叠的性质可知，根据勾股定理可得，解方程即可求出的长度。
【详解】解：，点是边的中点，
，
设，则，
由折叠可知，
，
，
，
解得：，
。
故答案为：。
18、我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，
粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶(注：枯树可以
看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈＝10尺)，则这根
藤条长 。
答案∶29
【分析】本题考查了勾股定理的应用，能够把实际问题抽象成数学问题是解题的关键；
由于树可以近似看作圆柱，藤条绕树缠绕，我们可以按如图所示的方法，转化为平面图形利用勾股定理来解决.
【详解】解：如图在中，由勾股定理得
∵
∴
∴这根藤条有29尺.
故答案为：29.
三、解答题。
19、如图：一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上。当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙7m。
(1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？
(2)当这架云梯的顶端从A处下滑4m到A＇处时，它的底端从B处滑动
到B＇处，云梯的底端在水平方向滑动了多少米？
答案∶(1)这架云梯的顶端到地面的距离是
(2)梯子的底端在水平方向滑动了
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，是解题的关键：
(1)利用勾股定理进行求解即可；
(2)利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可。
【详解】(1)解：在中，由勾股定理得，
即，
∴，
答：这架云梯的顶端到地面的距离是；
(2)解：∵梯子的顶端A下滑了4m至点，
∴，
在中，由勾股定理得，
即 ，
∴，
∴
答：梯子的底端在水平方向滑动了。
20、如图：有一棵大树被大风吹折，折断处A与地面的距离AC＝3m，折断处A与折断后树的顶端B的距离AB＝5m。在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车，CD的距离为6m，求BD的距离。
答案∶的距离为
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟记在直角三角形中两直角边的平方的和等于斜边的平方是解题关键。
先对运用勾股定理求解，再由线段和差计算即可。
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
答：的距离为。
21、“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”某校八(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE(如图)，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米。
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想让风筝沿CD方向下降5米，
那么他应该往回收线多少米？
答案∶(1)风筝的垂直高度为米
(2)如果小明想让风筝沿方向下降5米，那么他应该往回收线米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键。
(1)由题意可得，米，，，米，米，则，再由勾股定理求出的长即可得解；
(2)在上取点，使得米，连接，则米，在中，由勾股定理得出的长，即可得解。
【详解】(1)解：由题意可得：，米，，，米，米，
∴，
∴米，
∴米，
即风筝的垂直高度为米；
(2)解：如图：在上取点，使得米，连接，
则米，
在中，由勾股定理可得米，
∴(米)，
故如果小明想让风筝沿方向下降5米，那么他应该往回收线米。
22、(实践探究)勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一。如图：当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推4m至C处时(即水平距离CD＝4m)，踏板离地的垂直高度CF＝3m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长。
答案∶绳索的长是
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键。
由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可。
【详解】解：由题意可知，，，，
，
设，则，
由勾股定理得：，
，
解得：，
即绳索的长是。
23、如图是放在地面上的一个无盖的长方体形盒子，长、宽、高分别为4cm、4cm、6cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的侧面爬到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短行程是多少？
答案∶最短行程是
【分析】此题考查了勾股定理—最短路径问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键。根据题意分两种情况，分别作图，利用勾股定理列式计算，进行求解，然后比较即可。
【详解】解：如图所示，连接即为所求路线，
根据题意：，，
∵在中，
∴根据勾股定理，，
如图所示，连接即为所求路线，
根据题意：，，
∵ 在中，
∴ 根据勾股定理，，
∵
∴
∴最短行程是。
24、如图：在长方形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝3，将这张纸片沿过点A的直线翻折，使点D落在长方形内的点E处，折痕交CD边于点H。若直线HE恰好经过点B，则AH的长为是多少？
答案∶
【分析】本题考查的是矩形折叠的性质与勾股定理的综合应用，利用折叠的性质转化线段是解题的关键．通过折叠得到对应边相等，结合长方形的边长，运用勾股定理建立方程，进而求出线段长度。
【详解】解：如图，连接，
在中，，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
在中，．
故答案为：。
25、(逻辑推理)【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱的高为8cm，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方。
(1)【操作发现】现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是 (填字母)；
(2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度；
(3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm(即AB＝5dm、BC＝4dm、AE＝3dm)的无盖长方体木箱。现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜。请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路(程木板的厚度忽略不计)。
25、答案∶(1)A
(2)所需金属丝的最短长度为
(3)
【分析】本题考查了平面展开－最短路径，理解转化思想是解题的关键。
(1)要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可；
(2)若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍；
(3)将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得。
【详解】(1)解：∵ 两点之间线段最短，
故选：A；
(2)解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形。由勾股定理，得。
答：所需金属丝的最短长度为；
(3)解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则。
所以；
根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程。
在中，，根据勾股定理，得：
。
所以最短路程为。
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