安徽省合肥市2025-2026学年上学期高二期末数学模拟试卷（含答案）

安徽省合肥市2025-2026学年上学期高二期末模拟试卷
数 学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线：，：，则“”是“”的( )
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知焦点在轴上的椭圆方程为，则的范围为( )
A. B. C. D.
3.过点的直线与圆：交于，两点，当最小时，直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花，图是从窗花图中抽象出几何图形的示意图已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则以下结论正确的个数是( )
的最大值为
在方向上的投影向量为
若函数，则函数的最小值为
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.设等差数列的前项和为已知，，则等于( )
A. B. C. D.
6.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，是的中点，是的中点，过，，三点的平面与相交于点，则( )
A.
B.
C.
D.
7.已知双曲线：的左，右焦点分别为，，，为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.如果函数在上的最小值是，那么( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，点在正方形内部含边界运动，则下列结论正确的是( )
A. 若为线段的中点，则直线平面
B. 三棱锥的体积为
C. 在线段上存在点，使得
D. 若，则点的轨迹长为
10.为椭圆上一点，，为的左、右焦点，延长，交于，两点、在中，记，，若，则下列说法中正确的是( )
A. 面积的最大值为
B. 的离心率为
C. 若与的内切圆半径之比为：，则的斜率为
D.
11.已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有( )
A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知曲线，则曲线在点处的切线方程为______．
13.在平面直角坐标系中，设直线和圆相切，其中，，，若函数的零点，则______．
14.如图，在长方体中，对角线与平面交于点．记四棱锥的体积为，长方体的体积为，则的值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆的圆心在坐标原点，且与直线：相切．
过点作直线与圆相交，相交弦长为，求此直线的方程；
若与直线垂直的直线不过点，且与圆交于不同的两点，，若为钝角，求直线的纵截距的取值范围．
16.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求；
设数列的前项和为，求证：．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，，，，分别是，的中点．
证明：直线平面；
求平面与底面所成的锐二面角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的焦距为，为椭圆上一点．
求椭圆的标准方程；
设为椭圆的左焦点，直线：，为椭圆上任意一点，点到的距离为，点到的距离为，若为定值，求此定值及的值．
19.本小题分
已知函数
Ⅰ 若恒成立，求实数的取值范围；
Ⅱ 若，求证：对于任意，不等式成立．
答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12. 13. 14.
15.解：由题意得，圆心到直线：的距离为圆的半径长，
即
圆的标准方程为．
直线斜率不存在时，满足题意；
斜率存在时，设直线方程为，即
相交弦长为，圆心到直线的距离，，
直线方程为或；
直线的斜率为，且，直线的斜率为，设直线的方程为，
则与圆的方程 联立，化简得．
设，，则，是方程的两个不同的根，
故，，
由，得．
为钝角，，即，
又，，
，
由得，即，满足．
当与反向共线时，直线过原点，此时，不符合题意，
故直线的纵截距的取值范围是，且．
16.解：设数列的公差为，
由题意知：，
解得，．
所以．
由，，
则有．
则．
所以，
．
17证明：取中点，连接，，
为的中点，
，且，
又，，
，且，
四边形为平行四边形，
，
又平面，
直线平面；
平面，平面，
，
，，
又，，平面，
平面，
平面，
，
即为平面与底面所成的锐二面角的平面角，
又垂直，
在中，，则，
则，
故平面与底面所成的锐二面角的余弦值．
18.解：因为椭圆的焦距为，为椭圆上一点，
所以，
解得，，
则椭圆的标准方程为；
设，
因为点在椭圆上，
所以，
即，
易知，直线：，
点到的距离为，点到的距离为，
若为定值，
此时为定值对恒成立，
即为定值对恒成立，
所以为定值对恒成立，
即为定值对恒成立，
所以，
解得．
则为定值，此时的值为．
19.解：Ⅰ的定义域为，
，
令，解得，
当时，即时，函数单调递增，
当时，即时，函数单调递减，
，
恒成立，
，
，
Ⅱ证明：由Ⅰ知，，
在上为增函数，
欲证明不等式成立，
从图象分析可先证，
先证明，，
即证，
设，，
，
在内为减函数，
，
对于成立，
欲证，即证，
设，，
，
在内为增函数，
，
对于成立，
综上所述对于任意，不等式成立