江苏省南通市如东中学2025-2026学年高二上学期期末数学冲刺试卷（含答案）

江苏省如东中学2025-2026学年高二上学期期末数学冲刺试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则的最小值( )
A. B. C. D.
2.已知抛物线的焦点在直线上，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知圆，点是圆内一点，过点的圆的最短弦所在的直线为，直线的方程为，那么( )
A. B. C. 或重合 D. 与相交
4.已知数列是等比数列，若，且数列的前项乘积，的最大值为( )
A. B. C. D.
5.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲、乙每次投壶投中的概率分别为，每人每次投壶相互独立．若约定甲投壶次，乙投壶次，投中次数多者胜，则甲最后获胜的概率为( )
A. B. C. D.
6.定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7.我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数若的对称中心为，则( )
A. B. C. D.
8.如图，已知抛物线，过点且斜率为正的直线与抛物线交于两点，线段的中点为，线段的中垂线交轴于，过原点垂直于直线的直线交直线于点，则四边形面积的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对任意实数，有则下列结论成立的是( )
A. B.
C. D.
10.设是抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A.
B. 可能大于
C. 为抛物线上异于、的点，直线与准线交于点，当为第一象限的点时，若，平分，则
D. 若在抛物线上存在唯一一点 异于，使得则
11.某数学研究小组在研究牛顿三叉戟曲线时通过数学软件绘制出其图象如图，并给出以下几个结论，则正确的有( )
A. 函数的极值点有且只有一个
B. 当时，恒成立
C. 过原点且与曲线相切的直线有且仅有条
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校航模队甲组有名队员，其中有名女队员，乙组也有名队员，其中有名女队员现从甲、乙两组中各抽取名队员进行技术考核，则从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的概率为 ．
13.已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则的取值范围是__________．
14.如图，已知正方体的棱长为，，，分别是棱，，的中点，设是该正方体表面上的一点，若，则点的轨迹围成图形的面积是 ；的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在，且，，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
已知是公差不为的等差数列，其前项和为，______．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知圆与椭圆相交于点且椭圆的离心率为．
求的值和椭圆的方程；
过点的直线交圆和椭圆分别于两点．
若，求直线的方程；
设直线的斜率为，直线的斜率为，过点斜率为的直线交椭圆于异于的点，若，则直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不存在，说明理由．
17.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线经过点，求的值；
当时，恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
现有，两个项目，投资项目万元，一年后获得的利润为万元，根据市场分析，的概率分布列为
投资项目万元，一年后获得的利润万元与项目产品价格的调整价格上调或下调有关已知产品价格在一年内进行次独立的调整，且在每次调整中价格下调的概率都是经专家测算评估，项目产品价格的下调次数与一年后获得相应利润的关系如下表所示：
项目产品价格一年内下调的次数
投资万元一年后获得的利润万元
求的方差
求的分布列
若，根据投资获得利润的差异，你愿意选择投资哪个项目参考数据：
19.本小题分
已知函数．
若函数在上单调递增，求的取值范围；
若函数有两个不同的极值点，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：若选，设数列的公差为．
由，可得，解得；
若选，当时，，
当时，，满足．
所以；
若选，设数列的公差为．
，即，则，
又，所以，，所以；
因为，
所以．
则，
上式下式得，
所以，因此，．
16.解：因为圆，
与椭圆相交于点，
所以，又离心率为，所以，
所以椭圆；
因为过点的直线交圆和椭圆分别于两点，
所以直线的斜率存在，则可设直线的方程为，
由，得，则可得，
同理，由，解得，
又已知点，
则，，
因为，则，
因为，所以，即直线的方程为
根据题意可知，则，又由可得，
由知，同理得，
又由题意知直线的斜率一定存在，
则设直线的方程为，且是方程的两个根，
即是的两个根，所以，
则设直线的方程为，
所以，直线过定点
17.解：，
，
，
曲线在点处的切线方程为，
代入得，解得．
当时，恒成立，
所以恒成立，
即对恒成立，
设，则．
设，则，
在上递减，
又，
则当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减．
，
，
即实数的取值范围是．
18.解：的概率分布列为
，
设表示事件”第次调整，价格下调”，则；
；，
故的概率分布列为
当时．，
由于．
所以，当投资两个项目的利润均值相同的情况下，投资项目的风险高于项目．
从获得稳定收益考虑，当时应投资项目．

19.解由函数在上单调递增，
则对恒成立，即对恒成立，
又在上单调递增，，
故的取值范围为．
函数，，
，
若有两极值点，即在上有两根，，，
则
，，，
又，，
令，，，
令，，，
，，，在上单调递减，
，即，
在单调递减，，
，
故的取值范围为．
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