福建省厦门市外国语学校2025-2026学年上学期高二期末冲刺数学试卷（含答案）

福建省厦门市外国语学校2025-2026学年上学期高二期末冲刺
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线的一个法向量为，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
2.如图，直三棱柱中，若，，，则等于( )
A. B. C. D.
3. 北京年冬奥会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点处的切线方程是，则 ．
A. B. C. D.
4.已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.如图所示，图是一个边长为的正三角形，周长记为，图是将图的每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，周长记为，反复进行这一过程得到图，图，周长分别记为，，得到数列，设数列的前项和为，则满足的的最小值为 ．

A. B. C. D.
6.已知为数列则( )
A. B. C. D.
7. 如图，在四棱锥中，，且，，分别为的三等分点，若为底面上的一个动点，则的最小值为
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左、右焦点为，，过点与曲线相交于两点若，以为直径的圆过点，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知方程表示曲线，则( )
A. 曲线表示椭圆，则
B. 时，曲线的离心率为
C. 时，曲线的渐近线方程为
D. ，曲线表示焦点在
10.下列命题中正确的是( )
A. 直线的方向向量，平面的法向量，则
B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C. 是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则与平面所成角为
D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则．
11.正四面体中，已知平面，平面，点在棱上，下列正确的是( )
A. 若、分别为棱、的中点，则平面
B. 在棱上存在点，使平面
C. 当为棱的中点时，平面平面
D. 平面与平面所成锐二面角的正切值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间中两点，，向量，，则 ，
．
13.已知的顶点，，若经过的外心和重心的直线方程是，则顶点的坐标为 ．
14.已知函数，若存在使得，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列和等比数列满足，，．
求的通项公式
求和：．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，点，圆的半径为，且圆心在直线：上．
若半径，圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
若，圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．
17.本小题分
在三棱柱中，，，是线段上的一个动点．
若，求证：平面平面；
若的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为．
求的方程
若不过点的直线与交于，两点，线段的中点的纵坐标为的重心在直线上．
请从以上三个条件中任选两个作为补充条件，问满足条件的直线是否存在，若存在求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
若函数过点，求该点处的切线方程；
若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解： 设等差数列的公差为，由，，
可得：，解得，
所以的通项公式．
设等比数列的公比为，则奇数项构成公比为的等比数列，
由可得，等比数列满足，．
由于，可得舍去，等比数列奇数项符号相同，
所以，
则是公比为，首项为的等比数列，
．
16.解： 因为圆心同在直线和直线上，
所以，解得所以，
若过点的直线斜率不存在，此时恰为圆的切线；
若过点的直线斜率存在，
设直线方程为：，即，
因为直线与圆相切，所以，解得：，
所以切线方程为：，即，
综上可知：点圆的切线方程为：与．
因为，所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆，
要使得圆上存在符合条件的点，则圆与圆必有公共点，
又圆的圆心，半径为，
，
即，解得：，
所以圆心的横坐标的取值范围为．
17.解：因为，平面
所以，又，，、平面，
所以，
因为平面，
所以平面平面；
过点作于，连接，
因为平面，平面，所以．
又，，、平面，所以平面，
故就是直线与平面所成的角，
因为，，，所以，
故是以角为直角的三角形，
又，所以又
所以．
故直线与平面所成角的正弦值为．
18.解： ，又的面积为，所以，则的方程为．
当直线的斜率不存在时，与交于，两点，线段的中点的纵坐标为，
因此不论选，，均不符合，直线的斜率都存在．
设，，，由知，由
消去后整理得，所以．
若选因为线段的中点的纵坐标为，所以，则因为，所以，则，即，所以，因此直线的方程为．
若选因为的重心在直线上，所以，则，所以，
因为，所以，则，即，
所以，因此直线的方程为若选因为线段的中点的纵坐标为，所以，则．
因为的重心在直线上，所以，则，所以．
因为两个条件都只能得出斜率，无法计算出的值，所以不能得到直线的方程．
19.解：，所以切线斜率为，
又，切点为，所以切线方程为．
令，得，
当时，，函数单调递减；当时，，，函数单调递增，
所以在区间上存在零点，因为，
，
若在区间上存在零点，则
所以
的取值范围是．
，
，
若，则恒成立，
所以两根为，，
，，
，
，设，则，令，，则 ，
在上单调递减，，
，
，，，
当时，，，
即实数的最大值为