10.1.3 两角和与差的正切--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
10.1.3　两角和与差的正切
基础过关练
题组一　给角求值
1.(2024江苏南通海门中学学情调研)计算:=(　　)
A.-
2.(2025江苏苏州中学月考)tan 67.5°-tan 22.5°的值为(　　)
A.2　　　　B.2　　　　
C.2
3.(2025江苏常州联盟学校学情调研)下列各式结果为2的有(　　)
A.tan 15°+tan 75°
B.tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°tan 60°
C.(1+tan 5°)(1+tan 40°)
D.
题组二　给值求值
4.(2024江苏南京师范大学附属中学期中)已知角α的顶点为坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合.若角α的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点(1,2),则tan α=(　　)
A.-3　　　　B.-　　　　
C.　　　　D.3
5.(2025江苏马坝高级中学月考)若tan β=3,tan(α-β)=-2,则tan α=(　　)
A.　　　　C.1　　　　D.-1
6.(2024江西抚州金溪第一中学月考)如图,AB=BD,AB⊥BD,C为BD的中点,E为AC的中点,则tan∠CED=(　　)
A.
7.(2024江苏淮安高中校协作体期末)已知tan=2,tan(α+β)=-3,则tan=(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.-
8.(2025江苏南京师范大学附属中学阶段性检测)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是　　　　.
题组三　给值求角
9.(教材习题改编)设tan α,tan β是方程x2+6x+7=0的两根,且α,β∈,则α+β=(　　)
A.　　　　
C.或-
10.(2025河南郑州期末)在△ABC中,已知tan A·tan B-tan A-tan B=1,则角C=　　　　.
11.(2025江苏常州高级中学阶段检测)在△ABC中,若tan A+tan B+tan Atan B=,则C=　　　　.
能力提升练
题组一　利用两角和与差的正切公式求值
1.已知cos(π+θ)=cos2θ-sin2θ,且sin θ≠0,则tan的值为(　　)
A.
C.2-
2.(多选题)(2024江苏镇江中学学情检测)已知α,β∈,且sin β=2cos(α+β)sin α,则以下结论正确的是(　　)
A.tan(α+β)=3tan α　　　　B.tan β有最大值
C.tan β有最大值　　　　D.tan β有最小值
3.(2025吉林BEST合作体期末)已知α为第一象限角,sin,则tan(α+β)=　　　　.
4.(2025江苏常州田家炳中学期中)已知,则sin4θ+cos4θ=　　　　.
5.(2025江苏南京六校联合体月考)在斜△ABC中,A为锐角,且满足3sin(2B+C)=-sin C,则的最小值为　　　　.
6.(2025江苏苏州星海实验中学月考)如图,正方形ABCD的边长为1,P,Q分别为边AB,AD延长线上的点,∠DCQ=α,∠BCP=β,且α+β=45°,则PQ的长的最小值为　　　　.
题组二　利用两角和与差的正切公式求角
7.(2025江苏启东中学月考)已知α和β均为锐角,且sin(α+β)=2sin(α-β),则(　　)
A.α-β有最小值　　　　B.α-β有最大值
C.α-β有最小值　　　　D.α-β有最大值
8.(2025江苏南通、镇江期中)使得(sin 11°-cos 11°)tan θ=sin 11°+cos 11°成立的θ的一个值为　　　　.
9.若△ABC的三个内角A,B,C满足:2B=A+C,且A答案与分层梯度式解析
10.1.3　两角和与差的正切
基础过关练
1.D　.
2.A　tan 67.5°-tan 22.5°
=tan(45°+22.5°)-tan(45°-22.5°)
=
=
=
=2tan 45°=2.
3.C　对于A,tan 15°+tan 75°=tan(45°-30°)+tan(45°+30°)=
==4,故A错误;
对于B,tan 60°=tan(20°+40°)=,
所以tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°=,
即tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°tan 60°=,故B错误;
对于C,(1+tan 5°)(1+tan 40°)=1+tan 5°+tan 40°+tan 5°tan 40°=1+(1-tan 5°tan 40°)+tan 5°tan 40°=2,故C正确;
对于D,=tan(45°-15°)=tan 30°=,故D错误.
技巧点拨　“1”的代换:在与T(α±β)有关的分式中,若分子上出现了“1”,则常利用“1=tan.
4.A　设旋转后的角为β,则β=α-,tan β=2,
所以tan α=tan=-3.
5.A　tan α=tan[(α-β)+β]=.
6.C　取BC的中点F,连接EF,则EF∥AB.
设AB=BD=4,则EF=2,CF=1,DF=3,
因为AB⊥BD,所以EF⊥BD,
所以tan∠DEF=,
则tan∠CED=tan(∠DEF-∠CEF)
=.
7.A　因为tan=2,tan(α+β)=-3,
所以tan
==1.
8.答案　8
解析　由sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C得tan B+tan C=2tan Btan C,
又tan A=-tan(B+C)=,
所以tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C=tan A+2tan Btan C≥2,则tan Atan Btan C≥8,当且仅当tan A=2tan Btan C时取等号,故tan Atan Btan C的最小值为8.
解后反思　消元与降次是高中数学常用的解题技巧,利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题的突破口,斜三角形ABC中恒有tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C.
9.B　因为tan α,tan β是方程x2+6x+7=0的两根,
所以tan α+tan β=-6,tan αtan β=7,
所以tan α<0,tan β<0,
因为α,β∈,所以α+β∈(-π,0),
则tan(α+β)=,
所以α+β=-.
10.答案　
解析　由tan Atan B-tan B=1,
得,
又A+B∈(0,π),所以A+B=.
11.答案　
解析　因为tan A+tan B+,
所以tan Atan B≠1.
(点拨:若tan Atan B=1,则tan A+tan B=0,又A,B为三角形内角,所以A,B互补,显然不成立,故tan Atan B≠1)
解法一:因为tan(A+B)==-tan C,
所以tan A+tan B=-tan C(1-tan Atan B).
又tan A+tan B+,
所以tan A+tan B=(1-tan Atan B),
所以-tan C(1-tan Atan B)=(1-tan Atan B),
所以tan C=-.
解法二:因为tan A+tan B+,
所以tan(A+B)=,
所以tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-,
所以C=.
能力提升练
1.D　∵cos(π+θ)=cos2θ-sin2θ,
∴(-cos θ)=cos2θ-sin2θ,
∴-cos θ(sin θ-cos θ)=(cos θ-sin θ)(cos θ+sin θ),
∴sin θ(cos θ-sin θ)=0,
∵sin θ≠0,∴cos θ-sin θ=0,∴tan θ=1,
∴tan.
2.AC　对于A,因为sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)·cos α-cos(α+β)sin α,且sin β=2cos(α+β)sin α,
所以sin(α+β)cos α=3cos(α+β)sin α,易知cos(α+β),cos α≠0,则tan(α+β)=3tan α,故A正确;
对于B,C,D,令tan α=t,则tan(α+β)=3tan α=3t,
因为α∈,所以tan α>0,则t>0,
所以tan β=tan[(α+β)-α]=,
当且仅当3t=,故C正确,B,D错误.
3.答案　
解析　∵α是第一象限角,∴2kπ<α<2kπ+,k∈Z,
∴2kπ-,k∈Z,
又∵sin,∴2kπ<α-,k∈Z,
∴cos,
则tan,
∴tan(α+β)=tan
=.
4.答案　
解析　tan(θ-2θ)==-tan θ,故tan θ-tan 2θ=-tan θ(1+tan θtan 2θ),
因此,
所以tan 2θ,
故,
即2tan2θ+5tan θ+2=0,故tan θ=-2或tan θ=-,
当tan θ=-2时,sin θcos θ=,
当tan θ=-,
故sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2×.
5.答案　
解析　由3sin(2B+C)=-sin C,得3sin[(B+C)+B]=-sin[(B+C)-B],　
∴3sin(B+C)cos B+3cos(B+C)sin B=-sin(B+C)cos B+cos(B+C)sin B,
∴2sin(B+C)cos B=-cos(B+C)sin B,
∴2tan(B+C)=-tan B,
又∵A+B+C=π,∴tan B=-2tan(π-A)=2tan A,
∴tan C=-tan(A+B)=-,
∵A为锐角,∴tan A>0,
∴,
当且仅当时等号成立.
故答案为.
6.答案　2
解析　依题意得DQ=CDtan α=tan α,BP=BCtan β=tan β,显然tan α>0,tan β>0,
由α+β=45°得tan(α+β)==1,
即tan α+tan β=1-tan αtan β,整理得(1+tan α)(1+tan β)=2,
在Rt△PAQ中,PQ==2,
当且仅当tan α=tan β,即α=β=22.5°时取等号,
所以PQ的长的最小值为2.
7.B　因为sin(α+β)=2sin(α-β),
所以sin αcos β+cos αsin β=2(sin αcos β-cos αsin β),
即sin αcos β=3cos αsin β,
又α和β均为锐角,所以cos αcos β≠0,tan αtan β≠0,α-β∈,
所以tan α=3tan β且tan β>0,
则tan(α-β)=,
因为y=tan x在.
8.答案　-56°(答案不唯一,满足θ=-56°+k·180°,k∈Z即可)
解析　∵(sin 11°-cos 11°)tan θ=sin 11°+cos 11°,
∴tan θ==-tan(45°+11°)=-tan 56°=tan(-56°),　
∴θ=-56°+k·180°,k∈Z.
故答案为-56°(答案不唯一,满足θ=-56°+k·180°,k∈Z即可).
9.解析　由题意知
∴B=60°,A+C=120°.
∵tan Atan C=2+,
∴tan A+tan C=tan(A+C)(1-tan Atan C)
=tan 120°×(1-2-×(-1-.
∴tan A,tan C可作为一元二次方程x2-(3+=0的两个不同的实数根,
易得该方程的两个实数根分别为1和2+,
又∵0°∴tan A=1,tan C=2+,
∴A=45°,C=75°.
∴A,B,C的大小分别为45°,60°,75°.
方法技巧　两角和与差的正切公式有两种变形形式:①tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β);②1 tan αtan β=.当α±β为特殊角时,常考虑使用变形形式①,遇到1与正切的乘积的和(差)时常用变形形式②.
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