10.2 二倍角的三角函数--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
10.2　二倍角的三角函数
基础过关练
题组一　给角求值
1.(2024江苏南通通州质量监测)计算sin 20°cos 20°-cos225°=(　　)
A.1　　　　B.
2.(多选题)(2025江苏连云港期中)下列化简正确的是(　　)
A.cos215°-sin215°=
B.sin 15°sin 30°sin 75°=
C.=tan 20°
D.
3.(2025江苏扬州红桥高级中学期中)sin 50°(1+tan 10°)的值为　　　　.
题组二　给值求值
4.(2025江苏南京第一中学期中)已知sin,则sin=(　　)
A.-
5.(2025江苏南京师范大学附属中学期中)若α∈(0,π),tan 2α=,则sin=(　　)
A.-
6.(2025四川泸州月考)已知tan,则tan(α-2β)=(　　)
A.-
7.(2025江苏苏州大学附属中学月考)已知0<α<,若tan=2(sin α+cos α),则sin 2α=(　　)
A.
8.(2025江苏南通质量调研)已知=4.
(1)求tan α的值;
(2)若tan(α-β)=-,求的值.
题组三　给值求角
9.(2024吉林长春东北师大附中阶段考试)已知α∈,β∈,且tan(α-β)=-,tan β=,则2α-β的值为(　　)
A.-
10.(2024江苏常州教育学会学业水平监测)已知α为钝角,tan=2.
(1)求tan的值;
(2)若锐角β满足7tan2β-7=2tan β,求α+2β的值.
题组四　倍角公式的综合应用
11.(2025江苏徐州期中)已知函数f(x)=cos 2x-8cos x,则f(x)的值域为(　　)
A.[-9,+∞)　　　　B.[-7,+∞)　　　　
C.[-7,9]　　　　 D.[-9,9]
12.(2025广东广州期末)已知p:=sin x-cos x,q:角x为第二象限角,则p是q的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
13.(2025江苏宿迁期中)设a=cos 6°-sin 6°,b=,则(　　)
A.c14.(2025江苏苏州昆山中学、震川中学月考)函数f(x)=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示.已知点P(-6,0),Q(-2,-3)是图象的最低点,R是图象的最高点.记∠RPO=α,∠QPO=β(α,β均为锐角),则tan(2α+β)=　　　　.
15.(2025江苏徐州第二中学学情调研)如图,扇形钢板POQ的半径为1 m,圆心角为60°.现要从中截取一块四边形钢板ABCO.其中顶点B在扇形POQ的弧PQ上,A,C分别在半径OP,OQ上,且AB⊥OP,BC⊥OQ.
(1)设∠AOB=θ,试用θ表示截取的四边形钢板ABCO的面积S(θ),并指出θ的取值范围;
(2)求当θ为何值时,截取的四边形钢板ABCO的面积最大.
16.(2024山东德州夏津第一中学月考)已知a=(cos x,1),b=(sin x,-1),f(x)=(a+b)·a-.
(1)若a∥b,求cos 2x的值;
(2)求f(x)的单调递增区间.
能力提升练
题组一　利用倍角公式化简求值
1.(2024广东佛山教学质量检测)已知角θ满足=0,则cos 2θ的值为(　　)
A.-　　　　
C.
2.(2025江苏淮阴中学月考)已知-,sin 2α-sin β+sin(2α+β)=0,则cos α+sin=(　　)
A.1　　　　B.0　　　　C.-1　　　　D.
3.(2025广东珠海华中师范大学附属中学期中)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表,这是世界数学史上较早的正切函数表.根据三角学知识可知,晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ的正切值的乘积,即l=htan θ.对同一“表高”测量两次,第一次和第二次的太阳天顶距分别为α,β,第二次的“晷影长”是“表高”的3倍,且cos 2α+sin 2α=-,则tan(α-β)的值为(　　)
A.-　　　　C.4　　　　D.13
4.(2025江苏南京金陵中学期中)若sin x+cos x=2sin α,sin xcos x=sin2β,则(　　)
A.4cos22α=cos22β　　　　B.cos22α=4cos22β
C.4cos 2α=cos 2β　　　　 D.cos 2α=4cos 2β
5.(2025江苏常州北郊高级中学阶段调研)若π<α<,则=　　　　.　
6.(2025江苏南通第一中学阶段性考试)在平面直角坐标系xOy中,点A、B、C满足:A在x轴的正半轴上,C的横坐标是-.记∠AOB=α,∠AOC=β,α是锐角,β是钝角.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)求β-2α的值.
题组二　倍角公式的综合应用
7.(多选题)(2025广东广州模拟)已知函数f(x)=sin x·,则(　　)
A. f(x)是奇函数
B. f(x)的最小正周期为π
C. f(x)在上单调递增
D. f(x)的最小值为-
8.(2025江苏邳州毓秀高级中学月考)若存在实数m,使得对于任意的x∈[a,b],不等式m2+sin xcos x≤2cos·m恒成立,则b-a的最大值为　　　　.
9.(2025江苏苏州第三中学月考)已知函数f(x)=2sin xcos.
(1)将函数f(x)的图象向上平移个单位长度,向左平移个单位长度,再将平移后图象上点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,求g(x)的解析式,若g(x0)=,求sin的值;
(2)若x0∈,且f(x0)=,求cos的值.
10.(2024江苏南京师范大学附属中学期中)已知函数f(x)=cos xsinsin 2x.　
(1)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间;
(2)求函数g(x)=f(x)-在[-2π,2π]上的所有零点之和.
答案与分层梯度式解析
10.2　二倍角的三角函数
基础过关练
1.D　sin 20°cos 20°-cos225°=sin 40°-
=sin 40°-sin 40°-.
2.ABC　cos215°-sin215°=cos 30°=,故A正确;
sin 15°sin 30°sin 75°=sin 15°cos 15°=sin 30°=,故B正确;
=tan 20°,故C正确;
=|sin 150°+cos 150°|=,故D错误.
3.答案　1
解析　sin 50°(1+tan 10°)
=sin 50°×
=
=
==1.
4.D　sin=1-2×.
5.C　∵tan 2α=,∴,
∵α∈(0,π),∴sin α≠0,
∴,∴α=,
∴sin.
6.B　由tan,
因此tan(α-2β)=tan
=.
7.C　tan=2(sin α+cos α),
因为0<α<,
故(cos α-sin α)2=1-sin 2α=.
8.解析　(1)∵=4,
∴3cos α+4sin α=0,故tan α=-.
(2)tan β=tan[α-(α-β)]=,
所以.
9.B　由题得tan[2(α-β)]=,
所以tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β]==-1,
因为β∈,
又α∈.
10.解析　(1)因为tan α=,
所以tan=7.
(2)由7tan2β-7=2tan β可得tan β=,
由β是锐角得tan β=,
所以tan 2β==-7,
所以tan(α+2β)==1.
由0<β<<2β<π,
又.
11.C　由题意知f(x)=2cos2x-8cos x-1=2(cos x-2)2-9,易得-1≤cos x≤1,y=2(x-2)2-9在[-1,1]上单调递减,
则当cos x=1时,f(x)min=-7;当cos x=-1时,f(x)max=9,
所以f(x)的值域为[-7,9].
12.B　=|sin x-cos x|,
若角x为第二象限角,则sin x>0,cos x<0,
可得sin x-cos x>0,所以=sin x-cos x,
故必要性成立;
取x=,则sin 2x=0,sin x=1,cos x=0,
满足不为第二象限角,
故充分性不成立.
综上,p是q的必要不充分条件.
13.C　a=cos 6°-sin 6°=sin 30°cos 6°-cos 30°sin 6°=sin(30°-6°)=sin 24°,
b==tan 26°==sin 26°,
c==sin 25°,
因为当0°所以sin 26°>sin 25°>sin 24°,故a14.答案　
解析　由题图及已知得最小正周期T=(-2+6)×4=16,
所以R点的横坐标为T-6=6,则R(6,3),
所以tan α=,
故tan 2α=,
所以tan(2α+β)=.
15.解析　(1)由题意可得OA=cos θ m,AB=sin θ m,OC=cos(60°-θ)m,BC=sin(60°-θ)m,
所以S(θ)=sin(60°-θ)cos(60°-θ)
=sin(120°-2θ)
=sin 2θ
=cos 2θ
=sin(2θ+30°)m2(0°<θ<60°).
(2)因为0°<θ<60°,所以30°<2θ+30°<150°,
当2θ+30°=90°,即θ=30°时,四边形钢板ABCO的面积最大.
16.解析　(1)因为a=(cos x,1),b=(sin x,-1),a∥b,
所以cos x×(-1)=sin x,即tan x=-,
所以cos 2x=cos2x-sin2x=.
(2)f(x)=(a+b)·a-
=(
=3cos2x+
=3·
=cos 2x+1
=+1,
令-+2kπ,k∈Z,
解得-+kπ,k∈Z,
即f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
解题模板　应用公式解决三角函数综合问题的步骤
运用两角和与差的三角函数公式、倍角公式化简统一化成f(x)=asin ωx+bcos ωx+k的形式利用辅助角公式化为f(x)=Asin(ωx+φ)+k(或f(x)=Acos(ωx+φ)+k)的形式,研究其性质.
能力提升练
1.C　由已知得
==0,
则3sin2θ-4sin θ-4=(3sin θ+2)(sin θ-2)=0,
解得sin θ=-,
则cos 2θ=1-2sin2θ=1-2×.
2.B　sin 2α-sin β+sin(2α+β)=sin 2α-sin β+sin 2αcos β+cos 2αsin β=0,即sin 2α(1+cos β)=sin β(1-cos 2α),则2sin αcos α(1+cos β)=2sin βsin2α,
因为-<α<0,所以sin α≠0,化简得cos α(1+cos β)=sin βsin α,即cos αcos β-sin βsin α=-cos α,即cos(α+β)=-cos α=cos(α-π),
因为-<α-π<-π,
故α+β=α-π或α+β+α-π=-2π,即β=-π(舍去)或2α+β=-π,
则cos α+sin=cos α-cos α=0.
3.B　由已知得tan β=3,tan α>0.
易得cos 2α=,
所以cos 2α+sin 2α=(舍去),
故tan(α-β)=.
4.A　将sin x+cos x=2sin α平方得1+2sin xcos x=4sin2α,
结合sin xcos x=sin2β可得1+2sin2β=4sin2α,即1+2sin2β-4sin2α=0.
1+2sin2β-4sin2α=2(1-2sin2α)-(1-2sin2β)=2cos 2α-cos 2β=0,故2cos 2α=cos 2β,故C,D错误;
4cos22α-cos22β=(2cos 2α-cos 2β)(2cos 2α+cos 2β)=0,故A正确,B错误.
5.答案　-
解析　∵π<α<,∴,∴cos>0,
∴原式=-
　
=
=-.
6.解析　(1)由题意知A(1,0),由||=1,可设B(cos α,sin α),
则,
又α为锐角,所以sin α=.
因为C的横坐标是-,
则sin β=,
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=××.
(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2××,
cos 2α=2cos2α-1=2×,
所以sin(β-2α)=sin βcos 2α-cos βsin 2α=××,
因为0<α<,所以0<2α<π,
又cos 2α<0,所以2α∈,
又β∈,
所以β-2α=.
7.AD　由题意得f(x)=sin x·sin x·|cos x|.
对于A,∵函数f(x)的定义域为R, f(-x)=sin x·|cos x|=-f(x),
∴f(x)是奇函数,故A正确.
对于B,∵f(x+π)=sin x·|cos x|=-f(x),∴π不是函数f(x)的周期,故B错误.
对于C,当x∈sin 2x,2x∈[0,π],
∴f(x)在=0,故C错误.
对于D,易得f(x)=|sin 2x|,
∵x∈R,∴-,
∴f(x)的最小值为-,故D正确.
8.答案　
解析　m2+sin xcos x≤2cos·m+sin xcos x≤0恒成立,
则Δ=4cos2-2sin 2x=2-4sin 2x≥0,
即1-2sin 2x≥0,可得sin 2x≤,
则2kπ-,k∈Z,解得kπ-,k∈Z,
由题意可知[a,b] (k∈Z),
所以b-a的最大值为.
9.解析　(1)f(x)=2sin xcos
=2sin x
=sin xcos x+
=
=.
将f(x)的图象向上平移的图象.
∵g(x0)=sin,
∴sin
=2sin2-1=2×.
(2)f(x0)=sin,
则sin,
又∵x0∈,∴2x0-,
则cos,
则cos×.
10.解析　(1)f(x)=sin 2x
=sin 2x
=sin 2x+cos2x-sin2x=sin 2x+cos 2x=.
令2kπ-(k∈Z),
则kπ-(k∈Z),
又0≤x≤π,∴0≤x≤≤x≤π,
故f(x)在[0,π]上的单调递增区间为.　
(2)令g(x)=0,得f(x)=,
∴2x+(k∈Z)或2x+(k∈Z),
则x=kπ+(k∈Z)或x=kπ+π(k∈Z),
又x∈[-2π,2π],∴k的值可取-2,-1,0,1,
对应的零点分别为-2π+,其和为-3π.
∴g(x)=f(x)-在[-2π,2π]上的所有零点之和为-3π.
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