10.3 几个三角恒等式--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2026苏教版高中数学必修第二册
10.3　几个三角恒等式
基础过关练
题组一　积化和差与和差化积公式的应用
1.(2025江苏徐州丰县中学学情调研)若cos2α-cos2β=m,则sin(α+β)sin(α-β)=(　　)
A.-m　　　　B.m　　　　C.-
2.(教材习题改编)计算:=(　　)
A.-
3.(2025江苏无锡第一中学期末)已知角α,β满足cos α=,cos(α+β)cos β=,则cos(α+2β)的值为(　　)
A.
4.(2025湖南多校联考)已知sin(α+β)sin(α-β)=,sin α+sin β=m,则sin α-sin β=(　　)
A.
5.(2025上海复旦大学附属中学月考)若对满足α±β≠k·360°,k∈Z的任何α、β都有+n,则数组(m,n)=　　　　.　
6.(2025安徽阜阳质量统测)已知sin α+sin β=a,cos α+cos β=b(ab≠0),则cos(α-β)=　　　　,sin(α+β)=　　　　.
题组二　半角公式和万能公式的应用
7.(2025江苏苏州第三中学月考)若tan α=2,则cos等于(　　)
A.-
8.(2024江苏南通启东期初考试)已知sin,则sin=(　　)
A.-
9.(2025四川绵阳中学月考)已知sin,α∈,则sin=　　　　.
10.(1)已知=-5,求3cos 2θ+4sin 2θ的值;
(2)已知sin αsin=3cos αsin,求cos的值.
能力提升练
题组一　积化和差与和差化积公式的应用
1.(2024九省联考模拟)已知角A,B,C满足A+B+C=π,且cos A+cos B+cos C=1,则(1-cos A)·(1-cos B)(1-cos C)=(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.
2.(多选题)(2025四川江油太白中学月考)已知α∈,β∈(0,π),cos 2α=-,则(　　)
A.tan α=-
C.α+β=　　　　D.cos αcos β=-
3.(多选题)(2025湖南汨罗第一中学开学考试)已知O为坐标原点,点P1(cos α,sin α),P2(cos β,sin β),P3,A(1,0),则(　　)
A.||　　　　 B.||
C.　　　　D.()·≤2
4.(2025安徽皖豫名校联盟模拟)已知cos=(sin β-cos β)2+1,其中α+β≠kπ(k∈Z),且tan α+3tan β=4-2tan(α+β),则tan 2α=　　　　.
5.已知tan γ=.　
(1)若α+β=,求tan γ的值;
(2)若α,β,γ都为锐角,求的最大值.
题组二　半角公式与万能公式的应用
6.已知0<θ<,f(θ)=1+m+m·(m>0),则使得f(θ)有最大值的m的取值范围是(　　)
A.
7.(2024湖北高中名校联盟第二次联合测评)已知β∈,且3sin α=sin(2β-α),则tan α的最大值为(　　)
A.-
8.(2025吉林长春吉大附中期末,)若α∈,且sin α,cos α是方程5x2-7x+=0的两个根,则cos =　　　　.
9.(2024山东高中名校统一调研)已知△ABC的内角为A,B,C,且满足cos=0,则的最小值为　　　　.
答案与分层梯度式解析
10.3　几个三角恒等式
基础过关练
1.A　sin(α+β)sin(α-β)=-[(2cos2α-1)-(2cos2β-1)]=cos2β-cos2α=-m.
2.A　.
3.C　cos(α+β)cos β=,
所以cos(α+2β)=.
4.C　由sin(α+β)sin(α-β)=,
又sin α+sin β=m,所以结合平方差公式可得sin α-sin β=.
5.答案　(1,0)
解析　因为α±β≠k·360°,k∈Z,所以≠k·180°,k∈Z,即sin≠0,
则+n,
则m=1,n=0,即(m,n)=(1,0).
易错警示　应用和差化积公式时要注意,只有系数的绝对值相同的同名三角函数的和与差才能直接运用公式化成积的形式,若是一正弦与一余弦的和或差,则需先利用诱导公式将其化成同名函数后,再运用公式化成积的形式.
6.答案　
解析　由sin α+sin β=a可得(sin α+sin β)2=a2,即sin2α+sin2β+2sin αsin β=a2,
由cos α+cos β=b可得(cos α+cos β)2=b2,即cos2α+cos2β+2cos αcos β=b2,
两式相加可得2+2(sin αsin β+cos αcos β)=a2+b2,
即2+2cos(α-β)=a2+b2,解得cos(α-β)=,
因为sin α+sin β=2sin=a,
cos α+cos β=2cos=b,　
所以tan,
所以sin(α+β)=.
7.C　因为tan α=,sin2α+cos2α=1,
所以cos2α=.
又π<α<.
8.C　由sincos α,所以tan α=3,
则由万能公式得sin 2α=,
cos 2α=,
故sin××.
9.答案　
解析　由sin,
因为α∈,
故sin××.
10.解析　(1)∵=-5,∴=-5,
∴tan θ=2.
∴cos 2θ=,
∴3cos 2θ+4sin 2θ=-.
(2)由题意得sin αsin,
易知cos α≠0,cos≠0,
所以tan α=3tan,
则tan α=3×,
所以tan2α+2,
则tan,
故cos.
能力提升练
1.A　因为A+B+C=π,所以cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B).
由和差化积公式及cos A+cos B+cos C=1,得2cos.
所以cos=0,
即sin=0,
即sin=0,
即sin=0.
若sin=1,则(1-cos A)(1-cos B)(1-cos C)=0,
同理,当sin=0时,都有(1-cos A)(1-cos B)(1-cos C)=0.
2.BD　对于A,因为,
所以tan α=-=-2,故A错误;
对于B,由已知得-π<-α<-,故B正确;
对于C,由,
则sin 2α=-,
故sin(α+β)=sin[2α+(β-α)]=sin 2αcos(β-α)+cos 2αsin(β-α)=-××,
易得,故C错误;
对于D,根据C选项知α+β=,
所以cos αcos β=×-,故D正确.
3.ABD　对于A,|=1,
故||,故A正确;
对于B,,
故|
=2-2
=2-2cos(β-α),
,
故|
=2-2
=2-2cos(α-β),
由于cos|,故B正确;
对于C,(α+β),
=(cos α,sin α)·(cos β,sin β)=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β),
因为cos不一定相等,故C错误;
对于D,由和差化积公式可得(　
=(cos α+cos β)cos(α+β)
=2cos2
=≤2,
当且仅当α=β+4kπ,k∈Z时,等号成立,故D正确.
4.答案　2
解析　cos=sin 2α+2-2sin(2α+2β),
(sin β-cos β)2+1=2-sin 2β,
所以sin 2α+sin 2β=2sin(2α+2β),
sin 2α+sin 2β=2sin(α+β)cos(α-β),
2sin(2α+2β)=4sin(α+β)cos(α+β),
因为α+β≠kπ(k∈Z),故sin(α+β)≠0,则cos(α-β)=2cos(α+β),则3sin αsin β=cos αcos β,即tan αtan β=,
所以tan α+2tan(α+β)+3tan β=tan α+3tan β+,
解得tan α=.
5.解析　(1)tan γ=.
因为α+β=.
(2)因为tan γ=tan,k∈Z,则2γ+2kπ=α+β,k∈Z,
又因为α,β,γ均为锐角,所以2γ=α+β,
则
=
=
≤=3,
(当cos(α-β)=1时,取最大值)
当且仅当即α=β=γ时,等号成立,
因此的最大值为3.
6.A　
思路分析
解析　f(θ)=1+m+m·
=1+m-mtan=t,则0原函数可转化为g(t)=1+m-mt-.　
因为m>0,t>0,所以m(t+1)+,
所以g(t)≤2+2m-2时等号成立,
若g(t)在(0,1)上有最大值,则等号必然成立,
又因为当t∈(0,1)时,.
7.B　由题意得3sin α=sin 2βcos α-cos 2βsin α,
即(3+cos 2β)sin α=sin 2βcos α,
易知cos α≠0,3+cos 2β≠0,则.
因为β∈,所以tan β>0,
故tan α=时等号成立),
故tan α的最大值为.
8.答案　
解析　因为sin α,cos α是方程5x2-7x+,
因为α∈,所以cos α>sin α,
所以cos α-sin α=,
又sin α+cos α=,
又.
9.答案　16
解析　由已知得cos=0,
所以sin=0,
所以3sin,
由题意知≠0,
故3tan>0,
又sin A=,
=
所以=16,
当且仅当时取等号,
所以的最小值为16.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)