11.1 余弦定理--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
第11章　解三角形
11.1　余弦定理
基础过关练
题组一　已知两边及其夹角解三角形
1.(2025江苏镇江实验高级中学期中)在△ABC中,BC=4,AC=5,=10,则AB=(　　)
A.2
2.(2025江苏无锡锡东高级中学阶段性考试)在平面四边形ABCD中,∠D=90°,∠BAD=120°,AD=1,AC=2,AB=3,则BC=(　　)
A.
3.(2024江苏苏州昆山中学月考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=7,b=8,b>c,sin C=,则c=　　　　.
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2=1,解此三角形.
题组二　已知三边(或三边关系)解三角形
5.(2025江苏无锡锡东高级中学阶段性考试)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a∶b∶c=2∶3∶4,则△ABC的最小内角的余弦值为(　　)
A.
6.(2025江苏南京六校联合体调研)如图,在直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,BC=3,点E,F是边BC上的两个三等分点,则cos∠EAF=(　　)
A.
7.(2025江苏镇江期中)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则cos A的最小值为(　　)
A.
8.(多选题)(2024江苏苏州昆山中学月考)已知某锐角三角形的三边长分别为2,7,m,则实数m的可能取值是(　　)
A.3
9.(2024江苏宿迁宿豫中学第一次学情调研)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b+c)(b+c-a)=3bc.
(1)求角A的大小;
(2)若b+c=2a=2,求b,c.
题组三　已知两边及其一边的对角解三角形
10.(2024江苏镇江中学学情检测)在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,则BC=(　　)
A.1　　　　B.　　　　D.3
11.已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=,c=3,B=30°,解此三角形.
题组四　利用余弦定理判断三角形的形状
12.(2025江苏盐城五校期中联考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2sin2,则该三角形一定是(　　)
A.正三角形　　　　 B.直角三角形
C.等腰直角三角形　　　　D.等腰(非等边)三角形
13.(2025江苏西安交通大学苏州附属中学期中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos A-cos B+=0,则△ABC的形状是(　　)
A.等腰三角形　　　　 B.直角三角形
C.等腰直角三角形　　　　D.等腰三角形或直角三角形
14.(2025山东烟台第三中学月考)已知a,b,c是△ABC的三边,若满足a2+b2=c2,即=1,则△ABC为直角三角形.类比此结论,若满足an+bn=cn(n≥3,n∈N),则△ABC的形状为(　　)
A.锐角三角形　　　　B.直角三角形
C.钝角三角形　　　　D.以上都有可能
题组五　余弦定理的实际应用
15.(2025江苏盐城东台期中)如图,两座山峰的高AM=CN=200 m,为测量峰顶M和峰顶N之间的距离,测量队在B点(A,B,C在同一水平面上)测得M点的仰角为45°,N点的仰角为30°,且∠MBN=45°,则两座山峰峰顶之间的距离MN=(　　)
A.200 m　　　　　 B.400 m　　　C.200 m　　　　 D.400 m
16.(2025江苏无锡怀仁中学期中)我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图(1),伞不管是张开还是收拢,伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC,且AB=AC,从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动.如图(2),伞完全收拢时,伞圈D滑到D'的位置,且A,B,D'三点共线,AD'=60 cm,B为AD'的中点.伞从完全张开到完全收拢,伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24 cm,则当伞完全张开时,∠BAC的余弦值是(　　)
　　
A.-
17.(2025广东东莞第十一中学段考)如图,甲船在点M处通过雷达发现在其南偏东60°方向相距20海里的N处有一艘货船发出供油补给需求,该货船正以15海里/时的速度从N处向南偏西60°的方向行驶.甲船立即通知在其正西方向且相距30海里的P处的补给船,补给船立刻以25海里/时的速度与货船在H处会合.
(1)求PN的长;
(2)问补给船应行驶几小时,才能与货船会合.
能力提升练
题组一　利用余弦定理解三角形
1.(2025江苏无锡第三高级中学期中)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=,AD是∠BAC的平分线,点D在BC上,AD=,b=3c,则a=(　　)
A.　　　　D.4
2.(2024江苏张家港阶段性调研测试)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2acos B=c-a.当取最小值时,A=(　　)
A.
3.(2025江苏无锡锡东高级中学期中)已知点G为三角形ABC的重心,且||,当C取最大值时,cos C=(　　)
A.
4.(2025江苏常州前黄高级中学期初检测)如图,在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=60°,若点D是BC边的中点,且AD=b,则=　　　　.　
题组二　余弦定理的综合应用
5.(2025江苏南京第二十九中学期中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,c=1,,则tan C的最大值为(　　)
A.
6.(2025江苏扬州红桥高级中学期中)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,∠BCD=60°,∠ADC=150°,BE=3EC,CD=,若点F为边AD上的动点,则的最小值为(　　)
A.1　　　　B.　　　　D.2
7.(多选题)(2024江苏南通如东期中)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=2,则(　　)
A.bcos A+acos B=
B.若<0,则||2<4
C.若C=,则△ABC周长的最大值为6
D.若C=,则的取值范围为(,+∞)
8.(2024江苏苏州大学附属中学检测)已知在△ABC与△A'BC中,AB=AC,A与A'在直线BC的同侧,AB+AC=A'B+A'C,直线AC与直线A'B交于O.
(1)若AB=2,A'C=1,求sin A的取值范围;
(2)证明:OA>OA'.
答案与分层梯度式解析
第11章　解三角形
11.1　余弦定理
基础过关练
1.B　由题意得|cos C=20cos C=10,所以cos C=,
所以AB=
=.
2.C　在△ACD中,∠D=90°,AD=1,AC=2,所以∠CAD=60°.又∠BAD=120°,所以∠BAC=60°.
在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=9+4-2×3×2×=7,所以BC=.
3.答案　3
解析　因为b>c,所以B>C,又C是三角形的内角,所以C为锐角,故cos C=.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=72+82-2×7×8×=9,所以c=3.
4.解析　由sin=1得B++2kπ,k∈Z,即B=+2kπ,k∈Z.又B为三角形的内角,∴B=.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B
=(2
=12+(.
根据余弦定理得cos A=
=,
∵A∈(0,π),∴A=.
解题模板　已知两边及其夹角解三角形时,可先用余弦定理建立关于第三边的方程,求出第三边的长,再运用余弦定理求剩余两角中的任一角,最后用三角形内角和定理求第三个角.
5.A　由三角形中大边对大角知最小角为A,设a=2t,则b=3t,c=4t(t>0),由余弦定理得cos A=.
6.B　由题意得CE=EF=FB=1,则AE=,
在△AEF中,由余弦定理得cos∠EAF=.
7.A　∵|cos B,
∴a2=-2ac·=-a2-c2+b2,∴2a2=b2-c2,
故cos A=,当且仅当c2,即b=c时等号成立.故cos A的最小值为.
8.BC　由三角形的三边关系知2+m>7且2+7>m,得5设该三角形中长为7,m的边所对的角分别为α,β,显然长为2的边所对的角必为锐角,
又该三角形为锐角三角形,
所以由余弦定理得
解得3,
所以实数m的取值范围是(3),结合选项知B,C正确.
9.解析　(1)因为(a+b+c)(b+c-a)=3bc,所以(b+c)2-a2=3bc,整理可得b2+c2-a2=bc,
由余弦定理可得cos A=,
因为A∈(0,π),所以A=.
(2)由(1)及题意知cos A=,a=1.
由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,又b+c=2,所以1=4-3bc,所以bc=1,所以b=c=1.
10.D　由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,
即19=4+BC2-2×2BC×,
解得BC=3(负值舍去).
11.解析　由b2=a2+c2-2accos B,可得()2=a2+32-2×a×3×cos 30°,所以a2-3a+6=0,解得a=或a=2.
当a=时,a=b,所以A=B=30°,C=120°;
当a=2时,cos A==0,
所以A=90°,C=60°.
12.B　由2sin2=1-cos B=,得cos B=1-,
由余弦定理得,整理得a2=b2+c2,且b与c的值不能确定,所以△ABC一定是直角三角形.
13.D　由cos A-cos B+=0,得a-ccos B=b-ccos A,
由余弦定理得a-c×,
化简得.
当a2+b2-c2=0时,a2+b2=c2,此时△ABC为直角三角形;
当a2+b2-c2≠0时,a=b,此时△ABC为等腰三角形.
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
14.A　因为a>0,b>0,c>0,n≥3,所以an>0,bn>0,cn>0,
又an+bn=cn,所以cn>an,cn>bn,所以c>a,c>b,
所以0<<1,C为△ABC的最大内角.
由an+bn=cn得=1,
易知=1,则a2+b2>c2,
则cos C=>0,所以0故△ABC为锐角三角形.
15.C　在Rt△ABM中,BM=(m),
在Rt△BCN中,BN==400(m),
在△BMN中,由余弦定理得
MN=
=(m).
16.A　
信息提取
当伞完全收拢时,AB=BD=AD';
当伞完全张开时,AD=AD'-24,∠BAC=2∠BAD.
解析　当伞完全收拢时,B为AD'的中点,故AB=AC=BD=AD'=30 cm.
当伞完全张开时,AD=AD'-24=60-24=36(cm),
在△ABD中,由余弦定理得cos∠BAD=,　
故cos∠BAC=cos 2∠BAD=2cos2∠BAD-1=2×.
17.解析　(1)由题意得∠PMN=90°+60°=150°,
PM=30海里,MN=20海里,
在△PMN中,由余弦定理得
PN==70(海里).
(2)由余弦定理得cos∠MPN=,则sin∠MPN=,
所以cos∠PNH=cos(∠MPN+90°-60°)=cos(∠MPN+30°)=cos∠MPNcos 30°-sin∠MPNsin 30°=.
设当补给船与货船会合时,补给船行驶的时间为t小时,则HN=15t海里,PH=25t海里.
在△PNH中,由余弦定理得cos∠PNH=,解得t=2或t=-(舍去),
故当补给船与货船会合时,补给船行驶的时间为2小时.
能力提升练
1.A　因为AD是∠BAC的平分线,所以∠BAD=∠CAD=,
在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos=c2+3-3c,①
在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos=b2+3-3b,②
由角平分线定理得,所以CD=3BD,
由①②得9(c2+3-3c)=b2+3-3b=9c2+3-9c,解得c=,b=4,
所以在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=16+,所以a=.
2.B　由2acos B=c-a结合余弦定理,
得2a·=c-a,整理得c=-a,
所以≥2,
当且仅当,即b=a时,等号成立,
此时c=-a=a,则cos A=,
因为A∈(0,π),所以A=.
3.A　由||,得()2,
即,
所以=0,故AG⊥BG,
又),
),
所以)·()=0,
所以,
设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
则abcos C=bccos∠BAC+accos∠ABC+c2,
由余弦定理得ab·=bc·+ac·+c2,整理得a2+b2=5c2,
所以cos C=,当且仅当a=b时等号成立,
又y=cos x在(0,π)上单调递减,C∈(0,π),所以当C取最大值时,cos C=.
4.答案　
解析　在△ABC中,由余弦定理得cos B=,
即a2+c2-b2=ac①,
在△ABD中,由余弦定理得cos B=,
即c2+ac②,
联立①②,消去b整理得a=3c,故.
考场速解　在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D,E,F分别为BC,AC,AB的中点,
则中线长AD=.
故本题可由此结论直接得到,即b2=2b2+2c2-a2,即b2+2c2-a2=0,
由余弦定理得a2+c2-2ac·cos B+2c2-a2=0,则3c2=ac,得.
5.B　由得||cos(π-B)=-acos B=,所以cos B=-,
在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+1-2×a×1×=a2+2,
又cos C=,
所以sin C=,
所以tan C=,
令4a2-1=t(t>0),可得a2=,
则,
因为t+≥2=6,当且仅当t=,即t=3时等号成立,所以,所以tan C≤,
故tan C的最大值为.
6.B　以B为原点,BC,BA所在直线分别为x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则CE=,
连接BD,DE,在△BCD中,由余弦定理得BD==2,
所以BD2+CD2=BC2,所以∠BDC=90°,故∠DBC=30°,
在△CDE中,由余弦定理得
DE==1,
所以CE2+DE2=CD2,所以∠DEC=90°,
因为∠ADC=150°,∠BDC=90°,所以∠ADB=60°,
因为AB⊥BC,∠DBC=30°,所以∠ABD=60°,
故△ABD为等边三角形,则AB=BD=2,
所以A(0,2),D(,0),
设F(x,y),由题意可令(0≤λ≤1),即(x,y-2)=λ(,-1),
解得x=λ,y=2-λ,所以F(λ,2-λ),
所以,2-λ)·(λ,2-λ)=4λ2-7λ+4,
设f(λ)=4λ2-7λ+4(0≤λ≤1),其图象的对称轴为直线λ=,且开口向上,
所以当λ=时,f(λ)取得最小值,即的最小值为4×.
7.BC　由余弦定理得bcos A+acos B=b·+a·=c=2,故A错误;
若<0,则cos C<0,即cos C=<0,
则a2+b2若C=,则由余弦定理得cos C=,又c=2,故a2+b2=ab+4,
所以(a+b)2=3ab+4≤3×+4,所以a+b≤4,当且仅当a=b=2时等号成立,
则△ABC的周长l=a+b+c≤4+2=6,所以△ABC周长的最大值为6,故C正确;
若C=,则tan A,
由A∈,得tan A∈(-∞,-)∪(0,+∞),因此的取值范围为(-∞,-2)∪,故D错误.
8.解析　(1)因为AB=AC=2,A'C=1,AB+AC=A'B+A'C,所以A'B=2AB-A'C=3,
设BC=a,则所以2在△ABC中,由余弦定理得cos A=,所以-1(2)证明:如图,不妨设A'在A的右边,连接AA',记∠OAA'=φ,∠OA'A=θ,(在△OAA'中,要证明OA>OA',只需证明θ>φ)
设AB=AC=b,A'B=m,A'C=n,A'A=d,则m>b,2b=m+n,即b-n=m-b,
在△CAA'与△BAA'中,由余弦定理得cos φ-cos θ=
>0,
所以cos φ>cos θ,又y=cos x在(0,π)上单调递减,所以θ>φ,故OA>OA'.
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