11.3 余弦定理、正弦定理的应用--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
11.3　余弦定理、正弦定理的应用
基础过关练
题组一　距离问题
1.(2025福建厦门大学附属科技中学阶段性测试)圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根水平长尺(称为“圭”)和一根直立于圭面的标杆(称为“表”).如图,利用圭表测得南京市在夏至日的早上6:00和中午12:00的太阳高度角约为10°(∠ABC)和80°(∠ADC).设表AC高为1米,则影差BD约为(参考数据:tan 70°≈2.747)　(　　)
A.2.747米　　　　B.5.494米
C.8.241米　　　　D.10.988米
2.(教材习题改编)如图所示,为了测量河对岸A,B两点之间的距离,在河岸这边取相距4 km的C,D两点,测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),则A,B两点间的距离为(　　)
A. km　　　　B. km
C. km　　　　D.2 km
3.(2025江苏淮安期中)在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程,如图所示,A,B,C为某山脚两侧共线的三点,在山顶P处测得三点的俯角分别为α=60°,β=45°,γ=30°,现需要沿直线AC开通穿山隧道DE,已知BC=5,则隧道DE的长为(　　)
A.5
C.10　　　　D.4
4.(2025江苏连云港期中)如图,我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛,小岛B与小岛A、小岛C之间的距离都为5海里,与小岛D相距3海里,∠BAD为钝角,且sin A=.
(1)求小岛A与小岛D之间的距离;
(2)求四个小岛所形成的四边形的面积;
(3)记∠BDC=α,∠CBD=β,求sin(2α+β)的值.
题组二　高度问题
5.(2025河南信阳高级中学月考)如图,在C处(点C在水平地面ABO下方)进行某仪器的垂直弹射测试,水平地面上的两个观察点A,B相距100米,∠BAC=60°,其中A到C的距离比B到C的距离远40米.在A处测得最高点H的仰角∠HAO=30°(O为CH与水平地面ABO的交点),在A处测得该仪器在C处的俯角∠OAC=15°,则该仪器的垂直弹射高度CH为(　　)
A.210()米　　　　B.140米
C.210米　　　　D.20()米
6.(2024江苏无锡第一中学期中)如图,为了测量某铁塔的高度,测量人员选取了与该塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D,现测得∠CDB=37°,∠BCD=68°,CD=37.9米,在点C处测得塔顶A的仰角为64°,则该铁塔的高度约为(参考数据:≈1.4,≈2.4,tan 64°≈2.0,cos 37°≈0.8)(　　)
A.40米　　　　B.14米　　　　C.48米　　　　D.52米
7.(2025江苏无锡辅仁高级中学期中)南昌双子塔坐落于红谷滩区赣江北岸,是南昌标志性建筑之一.如图,某人准备测量双子塔中其中一座的高度(双子塔中的两座塔的高度相同),在地面上选择了一座高为t m的大楼CD,在大楼顶部D处测得其中一座塔顶部B的仰角为α,底部A的俯角为β,则双子塔的高度为(　　)
A. m　　　　B. m
C. m　　　　D. m
8.(2025江苏无锡锡东高级中学检测)鼎湖峰矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区,形状如春笋,拔地而起,其峰顶镶嵌着一汪小湖.某校开展数学建模活动,有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度,为此,他们设计了测量方案.如图,在山脚A测得山顶P的仰角为45°,沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点(A,B,C,P,Q在同一个平面内),在B处测得山顶P的仰角为60°,则鼎湖峰的山高PQ=　　　　米.
题组三　角度问题
9.(2025浙江温州十校联合体期中联考)一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东30°方向,距离为6海里,灯塔C在A的北偏东60°方向,距离为6海里,该渔船由A沿正东方向继续航行到D处时,灯塔B在其南偏西30°方向,则此时灯塔C位于渔船的(　　)
A.北偏东60°方向　　　　B.北偏西30°方向
C.北偏西60°方向　　　　D.北偏东30°方向
10.(2025江苏连云港期中)一艘船在海上自西向东航行,在A处测得某岛M的方位角为北偏东α,前进m千米后在B处测得该岛的方位角为北偏东β,已知该岛周围n千米范围内(包括边界)有暗礁,该船继续向东航行,若该船没有触礁危险,则α,β满足的条件为(　　)
①mcos αcos β>nsin(α-β);
②mcos αcos β③④>tan α-tan β.　
A.①③　　　　B.②③　　　　C.①④　　　　D.②④
11.(2024江苏淮安马坝高级中学质检)《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期的画家莱昂纳多·达·芬奇创作的油画,现收藏于法国卢浮宫博物馆.该油画规格为纵77 cm,横53 cm.油画挂在墙壁上时,其最低点处B离地面237 cm(如图所示).有一身高为175 cm的游客从正面观赏它(该游客头顶T到眼睛C的距离为15 cm),设该游客与墙的距离为x cm,视角为θ,为使观赏视角θ最大,x应为(　　)
A.77　　　　B.80　　　　C.100　　　　D.77
12.(2025湖北武汉第六中学月考)如图所示,A,B是在沿海海面上相距(15+5)海里的两个哨所,B位于A的正南方向.A哨所在凌晨1点时发现其南偏东30°方向的点C处有一艘走私船,同时,B哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截,缉私艇位于A点南偏西30°的D点,且A与D相距20海里.
(1)求刚发现走私船时,走私船与哨所A的距离;
(2)刚发现走私船时,走私船距离缉私艇多少海里 在缉私艇的北偏东多少度方向上
(3)若缉私艇得知走私船以10海里/时的速度从C向北偏东15°方向逃窜,立即以30海里/时的速度进行追截,缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船
答案与分层梯度式解析
11.3　余弦定理、正弦定理的应用
基础过关练
1.B　在Rt△ACD中,AD=.
在△ABD中,由正弦定理得,即,
所以BD==2tan 70°≈5.494(米).
2.B　在△ACD中,由正弦定理得,
即AD=,
在△BCD中,由正弦定理得,
即BD=,
在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=,所以AB=.
所以A,B两点间的距离为 km.
3.D　因为α=60°,β=45°,γ=30°,
所以∠PAC=α=60°,∠PBA=β=45°,∠PCA=γ=30°,∠BPC=β-γ=15°,
sin∠BPC=sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=,
在△BPC中,由正弦定理得,
则PB=+5,
易得∠APB=75°,
所以sin∠APB=sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=,
在△APB中,由正弦定理得,
所以AB=,
所以DE=AB-AD-EB=.
4.解析　(1)∵sin A=,且A为钝角,∴cos A=-,　
在△ABD中,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·AB·cos A,即(3,即AD2+8AD-20=0,解得AD=2或AD=-10(舍去),
∴小岛A与小岛D之间的距离为2海里.
(2)∵A,B,C,D四点共圆,∴A与C互补,则sin C=,
cos C=cos(180°-A)=-cos A=.
在△BDC中,由余弦定理得CD2+CB2-2CD·CB·cos C=BD2,即CD2+52-2CD×5×)2,得CD2-8CD-20=0,
解得CD=-2(舍去)或CD=10.
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB·AD·sin A+CB·CD·sin C==3+15=18,
∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里.
(3)解法一:在△BDC中,由正弦定理得,即,解得sin α=.
∵DC2+DB2>BC2,∴α为锐角,∴cos α=,
又∵sin(α+β)=sin(180°-C)=sin C=,
cos(α+β)=cos(180°-C)=-cos C=-,
∴sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)=.
解法二:在△BCD中,由余弦定理得cos∠CDB=cos α=,
∵α∈(0,π),∴sin α=,
又∵sin(α+β)=sin(180°-C)=sin C=,
cos(α+β)=cos(180°-C)=-cos C=-,
∴sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)=.
5.B　设AC=x米,则BC=(x-40)米.
在△ABC中,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2·AC·AB·cos∠BAC,即(x-40)2=x2+1002-100x,解得x=420.
在△ACH中,AC=420米,∠CAH=15°+30°=45°,∠CHA=90°-30°=60°,
由正弦定理得,即,解得CH=140(米).
6.C　在△CDB中,∠CBD=180°-37°-68°=75°,
则sin∠CBD=sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=,
sin∠CDB=sin 37°=≈0.6,
由正弦定理得,可得BC=.　
在Rt△ABC中,AB=BC·tan∠ACB=≈48,
所以该铁塔的高度约为48米.
7.D　由题意可得CD=t m,∠DAC=β,∠BDA=α+β,
则在Rt△ADC中,可得AD=.
在△ABD中,∠ABD=-α,由正弦定理得,即,
所以AB=(m).
8.答案　45()
解析　依题意得,∠PAB=45°-15°=30°,∠APQ=45°,
因为∠PBC=60°,所以∠BPC=30°,则∠APB=15°,∠ABP=135°.
在△ABP中,AB=90,由正弦定理得,　
又sin 15°=sin(60°-45°)=sin 60°cos 45°-cos 60°sin 45°=,所以AP=.　
在Rt△PAQ中,PQ=APsin 45°=),所以山高PQ=45()米.
9.D　如图,
因为∠DAB=∠ADB=60°,AB=6,所以AD=6,
在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC×AD×cos 30°=(6=36,所以CD=6,
由正弦定理得,所以sin∠CDA=,易知∠CDA为钝角,故∠CDA=120°,
此时灯塔C位于渔船的北偏东30°方向.
10.C　如图,
由题意知∠MAB=-α,∠AMB=α-β,
过M作MC⊥AB交AB的延长线于C,
设CM=x千米,在△ABM中,根据正弦定理得,所以BM=,
又因为x=BM·cos β=>n时没有触礁危险,
所以mcos αcos β>nsin(α-β),故①正确,
=tan α-tan β,故④正确.
11.D　如图所示,作CD⊥AB,交AB的延长线于点D.
∵TC=15 cm,
∴C到地面的距离为175-15=160(cm),
∴BD=237-160=77(cm),AD=AB+BD=77+77=154(cm).
由图易得,BC=(cm),
AC=(cm),
在△ABC中,由余弦定理得cos θ=
=
=
≥,
当且仅当,即x=77时,等号成立,此时cos θ取得最小值,θ取得最大值.
12.解析　(1)依题意,在△ABC中,AB=15+5,
∠ABC=45°,∠BAC=30°,则∠ACB=105°,
由正弦定理得,
所以AC=.
故走私船与哨所A的距离为10海里.
(2)在△ACD中,AC=10,∠CAD=60°,
由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠CAD
=(10=900,
所以CD=30.
在△ACD中,由余弦定理得cos∠ADC=,
又0°<∠ADC<180°,所以∠ADC=30°.
故走私船距离缉私艇30海里,在缉私艇的北偏东60°方向上.
(3)设t小时后缉私艇在M点处追上走私船,
则CM=10t海里,DM=30t海里,
由(2)得∠DCA=90°,则∠DCM=90°+30°+15°=135°,
在△CDM中,由余弦定理得DM2=CM2+CD2-2CM·CDcos∠DCM,
即900t2=300t2+900-2×10,化简得2t2-t-3=0,解得t=(舍负),
故缉私艇至少需要小时才能追上走私船.
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