12.1 复数的概念--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
第12章　复数
12.1　复数的概念
基础过关练
题组一　复数的概念
1.(2025江苏扬州期末)已知复数z=a-1+(1+a)i(a∈R),则“a>0”是“复数z的实部大于0”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　 B.必要不充分条件
C.充分必要条件　　　　 D.既不充分也不必要条件
2.(2024江苏镇江中学期中)已知复数z=cos α+icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数,则α的取值不可能为(　　)
A.
3.下列命题中,正确的个数是(　　)
①-1没有平方根;②复数2i-1的虚部是2i;③复数2i没有实部;④i表示虚数单位,所以它不是一个复数;⑤若x,y∈C,且x2+y2=0,则x=y=0.
A.0　　　　B.1　　　　C.3　　　　D.5
4.(2025江苏宿豫中学阶段检测)如果一个复数的实部和虚部相等,那么称这个复数为“等部复数”.若复数z=i(i为虚数单位)为“等部复数”,则实数a的值为　　　　.
题组二　复数的分类
5.(2024安徽师范大学附属中学期中)若复数a2-1+(a-1)i(a∈R)是实数,则a=(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.±1　　　　D.不存在
6.(2025江苏盐城期中)从集合{-1,0,1,2,3}中任取两个不同的数a,b组成复数a+bi,其中虚数的个数为(　　)
A.14　　　　B.9　　　　C.12　　　　D.16
7.(多选题)(2025福建泉州实验中学等校期中联考)已知复数z=-a2+25+(a-5)i,a∈R,则下列结论正确的是(　　)
A.若a=0,则z的实部为25　　　　
B.若a=0,则z的虚部为-5i
C.若z为实数,则a=5　　　　
D.若z为纯虚数,则a=±5
8.(2025江苏常州田家炳高级中学期中)已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,
z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,z1>z2,则a的值为　　　　.
9.(教材习题改编)已知复数z=+(m2-2m-15)i(m∈R),求当m为何值时:
(1)z为实数;(2)z为纯虚数;(3)z为虚数.
题组三　复数相等的充要条件
10.(2024广西示范性高中期中联合调研)若实数m,n满足m-2i=1+ni,则m-n=(　　)
A.-3　　　　B.3　　　　C.-1　　　　D.1
11.(教材习题改编)已知m∈R,i为虚数单位.若集合A={1,2m+(m-1)i},B={-2i,1,2},且A B,则m=　　　　.
12.(2025广东广州阶段检测)已知复数z1=m+m2i(m∈R),z2=cos θ+(λ+3sin θ)i(λ,θ∈R),且z1=z2,则λ的取值范围为　　　　.
13.(2025江苏宜兴第一中学阶段检测)设实数x,y,θ满足x+yi=1+5cos θ+(-1+5sin θ)i,则x2+y2的最大值为　　　　.
答案与分层梯度式解析
第12章　复数
12.1　复数的概念
基础过关练
1.B　复数z=a-1+(1+a)i的实部大于0,则a-1>0,即a>1,
因为(1,+∞) (0,+∞),所以“a>0”是“复数z的实部大于0”的必要不充分条件.
2.D　由题意得cos α+cos 2α=0,所以cos α+2cos2α-1=0,
解得cos α=-1或cos α=,
因为0<α<2π,所以α=π或α=或α=.
3.A　(±i)2=-1,所以-1的平方根为±i,①错误;2i-1的虚部为2,②错误;2i的实部为0,③错误;④显然错误;⑤不一定成立,如x=i,y=1,满足x2+y2=0,但x,y都不为0.故正确的个数为0.
4.答案　-1
解析　由题意得,∴a=-1.
5.A　因为复数a2-1+(a-1)i(a∈R)是实数,
所以a-1=0,解得a=1.
6.D　若复数a+bi为虚数,则b≠0,从{-1,0,1,2,3}中任取一个数作为b,有4种情况,在剩下的4个数中任取一个数作为a,有4种情况,故共有4×4=16个虚数.
7.AC　若a=0,则z=25-5i,实部为25,虚部为-5,故A正确,B错误;
若z为实数,则a-5=0,解得a=5,故C正确;
若z为纯虚数,则解得a=-5,故D错误.
8.答案　0
解析　由z1>z2知z1,z2都是实数,得解得a=0.
9.解析　(1)因为z为实数,所以解得m=5.
(2)因为z为纯虚数,所以解得m=3或m=-2.
(3)因为z为虚数,所以解得m≠-3且m≠5.
10.B　因为实数m,n满足m-2i=1+ni,
所以则m-n=1-(-2)=3.
11.答案　1
解析　因为集合A={1,2m+(m-1)i},B={-2i,1,2},且A B,所以2m+(m-1)i=-2i①或2m+(m-1)i=2②,①无解,由②得m=1,故m=1.
12.答案　[-3,3]
解析　由题意得
所以λ=m2-3sin θ=cos2θ-3sin θ=1-sin2θ-3sin θ=-,
因为sin θ∈[-1,1],所以当sin θ=-1时,λ取得最大值,为3;当sin θ=1时,λ取得最小值,为-3,
故λ的取值范围为[-3,3].
13.答案　27+10
解析　因为x+yi=1+5cos θ+(-1+5sin θ)i,
所以x=1+5cos θ,y=-1+5sin θ,
所以x2+y2=(1+5cos θ)2+(-1+5sin θ)2=27+10(cos θ-sin θ)=27+10,
又-1≤cos≤1,所以(x2+y2)max=27+10.
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