12.3 复数的几何意义--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
12.3　复数的几何意义
基础过关练
题组一　复数的几何意义
1.(2025广东惠州期中)在复平面内,复数z与对应的点关于实轴对称,则z=(　　)
A.1+2i　　　　B.1-i　　　　
C.-1+i　　　　D.-1-i
2.(2025浙江杭州期末)已知复数z1在复平面内所对应的点位于第一象限,且=-i,则复数z2在复平面内所对应的点位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
3.(多选题)(2024安徽黄山期末)已知复数z=m2-1+(m+1)i(m∈R),下列说法正确的是(　　)
A.若z为纯虚数,则m=1
B.若z为实数,则z=0
C.若z在复平面内对应的点在直线y=2x上,则m=-1
D.z在复平面内对应的点不可能位于第三象限
4.(2025上海实验学校期末)已知z是复数,若z+i是实数,是纯虚数,其中i为虚数单位.
(1)求复数z;
(2)设复数z,在复平面内所对应的向量分别是m,n,若向量λm+n与m-2n的夹角为钝角,求实数λ的取值范围.
题组二　复数的模及其应用
5.(2025江苏江浦高级中学阶段检测)已知复数z=i+i9,则|z·i|=(　　)
A.0　　　　B.
6.(2025江苏泰州模拟)已知i是虚数单位,复数z1,z2在复平面内对应的点的坐标分别为(1,3),(-2,1),则=(　　)
A.
7.(多选题)(2025云南玉溪阶段检测)欧拉公式eiθ=cos θ+isin θ(i是虚数单位,e=2.718…,θ∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它非常巧妙地将三角函数与复指数函数联系起来,下列关于欧拉公式的叙述正确的有(　　)
A.e2 025πi-1=0　　　　
B.复数e3i在复平面内对应的点位于第二象限
C.|exi|=1　　　　
D.=e-iθ
8.在复平面内满足条件|z-2i|+|z+1|=的复数z所对应的点的集合是(　　)
A.射线　　　　B.直线　　　　C.线段　　　　D.圆
题组三　复数加减法的几何意义
9.(2024广东广州中学期中)在复平面内,对应的复数为1+i,则点B,D之间的距离为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.　　　　D.3
10.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是坐标原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则△AOB一定是(　　)
A.等腰三角形　　　　B.直角三角形
C.等边三角形　　　　D.等腰直角三角形
11.(2025山东菏泽甄城一中月考)已知复数z满足|z+3i|=|z-i|,则|z+1+2i|的最小值为(　　)
A.1　　　　B.3　　　　C.
能力提升练
题组一　复数的几何意义
1.(2025江苏常熟浒浦高级中学学情检测)法国数学家弗朗索瓦·韦达最早发现了代数方程的根与系数之间的关系,因此人们把这个关系称为韦达定理,韦达定理也可用于复数系一元二次方程中,即(z-z1)(z-z2)=z2-(z1+z2)z+z1z2,这也是因式分解中的“十字相乘法”.已知△OAB(O为坐标原点)的三个顶点O,A,B对应的复数分别为0,z1,z2,且z1+z2=8+3i,z1z2=16+12i,则△OAB的面积为(　　)
A.6　　　　B.6
2.(多选题)(2025江苏无锡太湖高级中学学情调研)已知z1,z2为复数,则下列说法正确的是(　　)
A. B.|z1|=|z2|,则z1=±z2
C.若z1z2=0,则z1=0或z2=0 D.若|z1-i|=1,则|z1+i|的最大值为3
3.(2025江苏无锡学情检测)复平面上两个点Z1,Z2分别对应两个复数z1,z2,它们满足下列两个条件:①z2=z1·2i;②Z1,Z2两点连线的中点对应的复数为-1+3i.若O为坐标原点,则△Z1OZ2的面积为　　　　.
4.(2025江苏昆山中学期中)已知x为实数,复数z=x-2+(x+2)i.
(1)当x为何值时,复数z的模最小
(2)当复数z的模最小时,复数z在复平面内对应的点Z位于函数y=-mx+n的图象上,其中m>0,n>0,求的最小值及取得最小值时m,n的值.
题组二　复数的模及其应用
5.(2025云南昆明期中)欧拉公式eiθ=cos θ+isin θ是由瑞士著名数学家欧拉创立的,将其中的θ取π就得到了欧拉恒等式.已知复数z满足|z|=,则|z-eiπ|的最大值为(　　)
A.　　　　B.1 C.
6.(2025河北沧州联考)已知复数z满足|z-2|=2,则|+1|的最大值为(　　)
A.6　　　　B.5　　　　C.4　　　　D.3
7.(多选题)(2025江苏苏州九校联考)已知复数z1=3-4i,z2=x+yi(x,y∈R)(i为虚数单位),则　(　　)
A.||=|z2|　　　　
B.
C.|z1|=|z1z2|　　　　
D.若|z2-z1|≤2,则|z2|≤7
8.(多选题)(2024重庆第八中学校月考)设复数z1=-i,z2=x+yi(x,y∈R),z1,z2在复平面内对应的向量分别为(O为坐标原点),则(　　)
A.|z1|=2
B.若∥x+y=0
C.若⊥且|z2|=1,则x=±
D.若|z1-z2|=
9.(2025江苏海安高级中学学情调研)已知三个复数z1,z2,z3,且|z1|=|z2|=2,|z3|==0,则|z3-z1-z2|的最大值为　　　　.
答案与分层梯度式解析
12.3　复数的几何意义
基础过关练
1.B　=1+i,因为复数z与1+i对应的点关于实轴对称,所以z=1-i.
2.D　由题意可设z1=a+bi(a,b∈R,且a>0,b>0),
因为=-i,所以z2=-i·z1=-i·(a+bi)=b-ai,
所以复数z2在复平面内所对应的点为(b,-a),该点位于第四象限.
3.ABD　若z为纯虚数,则解得m=1,故A中说法正确;
若z为实数,则m+1=0,解得m=-1,则z=0,故B中说法正确;
z在复平面内对应的点的坐标为(m2-1,m+1),若该点在直线y=2x上,则m+1=2(m2-1),解得m=-1或m=,故C中说法错误;
令无解,所以z在复平面内对应的点不可能位于第三象限,故D中说法正确.
4.解析　(1)设z=a+bi(a,b∈R),则z+i=a+(b+1)i为实数,则b+1=0,解得b=-1,所以z=a-i.
因为为纯虚数,所以a-1=0且a+1≠0,得a=1,所以z=1-i.
(2)由(1)知z=1-i,=1+i,则m=(1,-1),n=(1,1),
所以λm+n=(λ+1,-λ+1),m-2n=(-1,-3),
因为向量λm+n与m-2n的夹角为钝角,
所以(λm+n)·(m-2n)<0,且λm+n与m-2n不共线,
即-(λ+1)-3(-λ+1)<0,且-3(λ+1)+(-λ+1)≠0,
解得λ<2且λ≠-.
故实数λ的取值范围为.
5.C　z=i+i9=i+i=2i,所以z·i=2i·i=-2,故|z·i|=|-2|=2.
6.D　由题意得z1=1+3i,z2=-2+i,
则.
7.BCD　对于A,因为eiπ=-1,所以e2 025πi-1=(eπi)2 025-1=-1-1=-2,故A错误;
对于B,e3i=cos 3+isin 3,而<3<π,则cos 3<0,sin 3>0,故e3i在复平面内对应的点位于第二象限,故B正确;
对于C,|exi|=|cos x+isin x|==1,故C正确;
对于D,eiθ=cos θ+isin θ,所以,故D正确.
8.C　设z=x+yi(x,y∈R),
由|z-2i|+|z+1|=,
所以,
又点(0,2)与(-1,0)间的距离为,所以复数z在复平面内对应的点的集合为线段.
9.B　因为|=2.
10.B　由题知,复数z1对应向量,
则|z1+z2|=||,
依题意有||,
所以以OA,OB为邻边所作的平行四边形是矩形,
又||不一定相等,
所以△AOB一定是直角三角形.
11.A　设复数z在复平面内对应的点为Z,
由z满足|z+3i|=|z-i|可知点Z到点A(0,-3)和B(0,1)的距离相等,所以点Z在AB的垂直平分线上,即点Z的轨迹为直线y=-1,如图,
|z+1+2i|表示点Z到点(-1,-2)的距离,
易知当Z(-1,-1)时,|z+1+2i|最小,最小值为1.
能力提升练
1.A　因为z1+z2=8+3i,z1z2=16+12i,所以z1,z2是方程z2-(8+3i)z+16+12i=0的两个不相等的根,
因式分解得(z-4)(z-4-3i)=0,可得方程的两根为4,4+3i,不妨设z1=4,z2=4+3i,
则O(0,0),A(4,0),B(4,3),
所以S△OAB=×4×3=6.
2.ACD　设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则=c-di,
z1+z2=a+c+(b+d)i,=a+c-(b+d)i,
=(a-bi)+(c-di)=a+c-(b+d)i,
∴,故A正确;
取z1=1+i,z2=1-i,则|z1|=|z2|=,但z1=±z2不成立,故B错误;
若z1z2=0,则|z1z2|=|z1||z2|=0,则|z1|=0或|z2|=0,故z1=0或z2=0,故C正确;
设复数z1,i,-i在复平面内对应的点分别为Z1,A(0,1),B(0,-1),
由|z1-i|=||=1,可知点Z1的轨迹是以点A为圆心,1为半径的圆,
则|z1+i|=||≤|AB|+1=3,当且仅当点A在线段BZ1上时等号成立,
∴|z1+i|的最大值为3,故D正确.
3.答案　8
解析　令Z1(m,n),Z2(a,b),且m,n,a,b∈R,
由z2=z1·2i得a+bi=(m+ni)·2i,即a+bi=-2n+2mi,故①
由Z1,Z2两点连线的中点对应的复数为-1+3i,得②
由①②得=(-4,4),
故=2×(-4)+2×4=0,即,故△Z1OZ2为直角三角形,
又|×4×2=8.
4.解析　(1)|z|=,
当且仅当x=0时,复数z的模最小,为2.
(2)当复数z的模最小时,Z(-2,2),
因为点Z在函数y=-mx+n的图象上,所以2m+n=2.
又m>0,n>0,所以-2时等号成立.
所以-2.
5.D　设z=x+yi(x,y∈R),则x2+y2=,
z-eiπ=x+yi-cos π-isin π=x+1+yi,
所以|z-eiπ|=|x+1+yi|=,
因为x2+y2=,
所以|z-eiπ|的最大值为.
6.B　设z,在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,易知Z1,Z2关于x轴对称,
满足条件|z-2|=2的点Z1的轨迹是以(2,0)(记为B)为圆心,2为半径的圆,该圆关于x轴对称,因此点Z2在此圆上,由复数的几何意义知|+1|的最大值为5.
7.ACD　对于A,z2=x+yi的共轭复数|=|z2|,A正确;
对于B,=32+(-4)2=25,B错误;
对于C,|z1|=|z1z2|,C正确;
对于D,若|z2-z1|≤2,则≤2,即点(x,y)(记为A)到点(3,-4)的距离小于或等于2,
故点A在以(3,-4)为圆心,2为半径的圆内(包括边界),
所以原点到点A的距离的最大值为原点到圆心(3,-4)的距离加半径,
所以|z2|=+2=7,故D正确.
8.ACD　对于A,|z1|==2,A正确;
对于B,由复数的几何意义得=(x,y),∵,∴y+x=0,B错误;
对于C,∵,∴x①,
∵|z2|=1,∴x2+y2=1②,由①②可得x2=,解得x=±,C正确;
对于D,由|z1-z2|=为半径的圆,又|z2|表示Z2(x,y)到原点的距离,∴|z2|max=OZ1+,D正确.
9.答案　3
解析　设复数z1,z2,z3在复平面内对应的点分别为A,B,C,
因为,
不妨令A(2,0),B(0,2),则z1=2,z2=2i,
由|z3|=sin θ)(θ∈R),即z3=sin θ)i,
则z3-z1-z2=sin θ-2)i,
所以|z3-z1-z2|=
=
=.
所以当sin.
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