12.4 复数的三角形式--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
12.4　复数的三角形式
基础过关练
题组一　复数的三角形式
1.下列结论中正确的是(　　)
A.复数z的任意两个辐角之间都差2π的整数倍
B.任何一个非零复数的辐角都有无数个,但辐角主值有且只有一个
C.实数0不能写成三角形式
D.复数0的辐角主值是0
2.(2025湖南衡阳期末)复数z=-3-i的辐角主值为(　　)
A.
3.(2024广东华南师范大学附属中学开学考试)若复数z=的辐角主值为(　　)
A.
4.若复数z满足,则z的代数形式是z=　　　　.
5.把下列复数表示成三角形式,并画出与之对应的向量.
(1)6;(2)1+i;(3)1-i.
题组二　复数三角形式的乘除运算及其几何意义
6.(2025山东青岛期中)已知复数z=a+bi(a,b∈R)可以表示为z=r(cos θ+isin θ),其中r==(1,2)绕原点O逆时针旋转90°,长度变为原来的2倍后,得到向量的坐标为(　　)
A.(2,-4)　　　　B.(-4,2)　　　　
C.(-2,4)　　　　D.(4,-2)
7.(多选题)(2024江苏南通如皋教学质量调研)在复平面内,⊥,O是坐标原点,则z2可能是(　　)
A.-i
8.(2025江苏南京一中阶段检测)我们知道复数三角形式的乘法公式为r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],棣莫弗发现了[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ),其中r>0,n∈N*.
(1)已知z=i,求zw+zw3的三角形式;
(2)已知θ0为定值,0≤θ0≤π,将复数1+cos θ0+isin θ0化为三角形式;
(3)设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为z1,z2,…,z20,求复数,…,在复平面内所对应不同点的个数.
答案与分层梯度式解析
12.4　复数的三角形式
基础过关练
1.B　对于A,复数0的辐角为任意值,其两个辐角之差不一定为2π的整数倍,A错误;
对于B,任何一个非零复数的辐角都有无数个,但辐角主值有且只有一个,B正确;
对于C,0×(cos θ+isin θ)=0(θ∈R),故实数0能写成三角形式,C错误;
对于D,复数0的辐角主值不唯一,D错误.
2.A　z=-3-,
所以辐角主值为.
3.B　因为z=.
4.答案　1+i
解析　设,
∴z0=i,
∴i.
5.解析　设所给复数的模为r,辐角主值为θ.
(1)6对应的向量如图①中,
∵r=6,cos θ=1,sin θ=0,θ∈[0,2π),
∴θ=0,∴6=6(cos 0+isin 0).
(2)1+i对应的向量如图②中,
∵r=,θ∈[0,2π),∴θ=,
∴1+i=.
(3)1-i对应的向量如图③中,
∵r=,θ∈[0,2π),
∴θ=,
∴1-.
(4)-i对应的向量如图④中,
∵r=1,cos θ=-,θ∈[0,2π),
∴θ=,∴-.
　
　
解题模板　将复数的代数形式转化为三角形式的步骤:(1)求模;(2)确定辐角主值;(3)写出三角形式.
6.B　设以射线OZ1为终边的角为θ1,|(cos θ1+isin θ1),
可得cos θ1=,
则向量的坐标为(-4,2).
7.AC　z1=i
或z2=i.
8.解析　(1)zw+zw3=zw(1+w2)=.
(2)1+cos θ0+isin θ0=2cos2=
2cos.
(3)正二十边形每边所对的中心角为,设z1=cos θ+isin θ(θ为常数),
则zk=(cos θ+isin θ),k=1,2,…,20,
所以　
=(cos 2 024θ+isin 2 024θ),
由周期性可知,共有5个不同的值,
故复数在复平面内所对应不同点的个数为5.
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