13.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
13.1.2　圆柱、圆锥、圆台和球
基础过关练
题组一　圆柱、圆锥和圆台
1.(多选题)(2025江苏盐城滨海中学期中)下列说法中不正确的是(　　)
A.在圆柱上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线
B.圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线
C.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
D.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
2.(2024天津河西期中)下列说法正确的是(　　)
A.用一个平面去截圆柱,截面一定是圆或矩形
B.用一个平面去截圆锥,截面与底面之间的部分是圆台
C.用一个平面截圆台,截面可以是一个梯形
D.圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
3.(2025四川成都调研)如图,圆柱的底面周长为10 cm,高为12 cm,BC为上底面直径,一只蚂蚁沿着圆柱的侧面从下底面A处爬到上底面B处,它爬行的最短路程为(　　)
A.10 cm　　　　B.11 cm　　　　
C.13 cm　　　　D.12 cm
4.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比为1∶4,母线长为9,则原圆锥的母线长为　　　　.
题组二　球
5.下列说法中正确的是(　　)
A.球的半径可以是球面上任意一点与球心所连的线段
B.球的直径可以是球面上任意两点所连的线段
C.用一个平面截球,得到的截面可以是正方形
D.球不可以用表示球心的字母表示
6.(2025安徽阜阳期末)朱世杰是元代著名的数学家,其著作《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著,受到数学史研究者的高度评价.《四元玉鉴》下卷“杂范类会”中第一问为:“今有沈香立圆球一只,径十寸,今从顶截周八寸四分,问厚几何 ”大意为现有一个直径为10的球,从上面截一小部分,截面圆周长为8.4,问被截取部分几何体的高为多少 (注:π=3,4.82=23.04)(　　)
A.0.1　　　　B.0.2　　　　C.0.3　　　　D.0.4
题组三　简单空间图形的结构特征
7.(2025江苏连云港白塔高级中学阶段检测)如图所示的组合体是由哪个三角形绕直线l旋转一周得到的 (　　)
8.(2024福建永春第三中学等校期中联考)在如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形BAE,E恰好是梯形的下底边的中点,将所得平面图形绕直线DE旋转一周,说明所得几何体的结构特征.
能力提升练
题组一　空间图形的应用
1.(2025北京期中,)如图所示,该几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体,现用一个竖直的平面去截这个组合体,则截面图形可能是(　　)
A.(1)(2)　B.(1)(3)　C.(1)(4)　D.(1)(5)
2.(2025江西新余模拟)美味的火锅中充满了有趣的数学知识,如图,将某种火锅专用锅抽象为两个同心圆柱组合成的几何体,大、小圆柱的底面半径分别为25 cm与5 cm,高均为30 cm,汤料只放在两圆柱之间,将汤勺视为一条线段,若将汤锅装满,将汤勺置于两圆柱之间,无论如何放置汤料都不会将汤勺淹没,则汤勺长度最短为(　　)
A.10 cm　　　　B.10 cm C.10 cm　　　D.10 cm
3.(2025上海宝山期末,)一座山的示意图如图,山呈圆锥形,圆锥的底面半径为10 km,母线长为40 km,B是母线SA上一点,且AB=10 km.为了发展旅游业,要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路.这条铁路从A出发后首先上坡,随后下坡,则上坡段铁路的长度为　　　　km.
题组二　与圆柱、圆锥、圆台和球有关的计算
4.(2024山东东营利津高级中学开学考试)如图,圆台OO1的侧面展开图是一个圆心角为180°的扇环,SA=2,SB=4,则该圆台的高为(　　)
A.1　　　　B.　　　　D.4
5.(2025江苏无锡青山高级中学期中)半径为10 cm的球被两个平行平面所截,两个截面圆的面积分别为36π cm2,64π cm2,则这两个平行平面之间的距离为(　　)
A.2 cm　　　　B.14 cm
C.2 cm或14 cm　　　　D.6 cm或8 cm
6.(2025江苏如皋石庄高级中学期中)如图,某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形ABCD,点E在下底面圆周上,且CE=BE,点F在母线AB上,点G是线段AC上靠近点A的四等分点,则EF+FG的最小值为(　　)
A.
7.(2025湖南邵阳期中)如图,四边形ABCD是直角梯形,其中AB=1,CD=2,AD⊥DC,O是AD的中点,以AD为直径的半圆O与BC相切于点P.以AD所在直线为轴旋转一周,可以得到一个球和一个圆台.给出以下结论,其中正确结论的个数是(　　)
①圆台的母线长为4;②球的直径为;③将圆台的母线延长,交DA的延长线于点H,则得到的圆锥的高为4;④点P的轨迹长度是2π.
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
答案与分层梯度式解析
13.1.2　圆柱、圆锥、圆台和球
基础过关练
1.AC　在圆柱上、下底面圆周上各取一点,两点的连线中平行于轴的是母线,故A中说法不正确;
由圆锥母线的定义可知B中说法正确;
当两个平行截面不平行于上、下两个底面时,两个平行截面间的几何体不是旋转体,故C中说法不正确;
根据圆柱、圆锥、圆台的定义知D中说法正确.
2.C　对于A,用一个不平行于底面的平面去截圆柱,所得截面可能既不是圆也不是矩形,故A错误;
对于B,用一个平行于底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫作圆台,故B错误;
对于C,当平面沿圆台的轴去截圆台时,截面为等腰梯形,故C正确;
对于D,过圆锥顶点的截面为等腰三角形,且两腰长为母线长l,
设该等腰三角形的顶角为θ,则截面三角形的面积S=时,圆锥的轴截面面积不是最大的,故D错误.
3.C　把圆柱沿母线AC剪开后展开,设点B在展开后的图形中的对应点为B',则蚂蚁爬行的最短路径为AB',如图,
由题意可知AC=12 cm,CB'=5 cm,
则在Rt△ACB'中,AB'==13 cm,
所以蚂蚁爬行的最短路程为13 cm.
4.答案　12
解析　如图,原圆锥的高为EA,由题意可知,,BD=9,
设原圆锥的母线长为l,根据相似三角形的性质可得,解得l=12,故原圆锥的母线长为12.
5.A　根据球的定义知A正确;球的直径必过球心,故B错误;球的任何截面都是圆面,故C错误;球常用表示球心的字母表示,故D错误.
6.B　设截面圆的半径为r,被截取部分几何体的高为h,
则r==1.4,由勾股定理可得r2+(5-h)2=52,
故h=5-=5-4.8=0.2.
7.B　A中三角形绕直线l旋转一周得到的几何体是圆锥,不满足题意;
B中三角形绕直线l旋转一周得到的几何体是两个同底圆锥,满足题意;
C中三角形绕直线l旋转一周得到的几何体是圆锥,不满足题意;
D中三角形绕直线l旋转一周得到的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体,不满足题意.
8.解析　根据题意知,将所得平面图形绕直线DE旋转一周后,所得几何体为上半部分是圆锥,下半部分是从圆柱中挖去一个半球体的组合体.
能力提升练
1.D　题图中的几何体被一个竖直的平面所截后,与圆柱对应的截面轮廓是矩形除去一条边,与圆锥对应的截面轮廓是三角形除去一条边(当截面为轴截面时)或抛物线的一部分(当截面不为轴截面时).
2.C　如图,设A为上底面大圆上一点,B为下底面大圆上一点,连接AB,求汤勺的最小长度,即求AB的最大长度,设A在底面内的射影为A',连接A'B,当A'B与底面小圆相切(设切点为M)时,A'B最长,所以(A'B)max=2A'M=2×,
此时(AB)max=.
故汤勺最短为10 cm.
3.答案　32
解析　沿母线SA将圆锥的侧面展开,如图,
记P为A'B上的任意一点,作SH⊥A'B,垂足为H,连接SP,
由题知,由两点之间线段最短知观光铁路为图中线段A'B,
而SB=40-10=30 km,则A'B==50 km,
上坡时,P到山顶S的距离即PS的长越来越小,下坡时,P到山顶S的距离即PS的长越来越大,
因此上坡段的铁路即图中的线段A'H,由Rt△SA'B∽Rt△HA'S,得,得A'H=32 km.
4.C　在圆锥SO1中,2π·O1A=×2π·SA=2π,所以O1A=1;在圆锥SO中,2π·OB=×2π·SB=4π,所以OB=2,所以该圆台的高为.
5.C　设两个截面圆的半径分别为r1 cm,r2 cm,球心O到这两个截面的距离分别为d1 cm,d2 cm,球的半径为R cm.
由π=6,
如图1所示,当球的球心在两个平行平面的同侧时,
这两个平面之间的距离为球心到两个截面圆的距离之差的绝对值,即2 cm.
如图2所示,当球的球心在两个平行平面的异侧时,
这两个平面之间的距离为球心到两个截面圆的距离之和,即14 cm.
　
故这两个平行平面之间的距离为2 cm或14 cm.
6.A　由题意知BE⊥CE,CE=.
将平面ABE展开到与平面ABC共面(E记为点P),如图,
可知P,B,C三点共线,则PC=PB+BC=.
连接PG,可得EF+FG=PF+FG≥PG,当且仅当P,F,G三点共线时取等号.
因为PC=,
所以在△PCG中,由余弦定理得PG2=CG2+PC2-2CG·PCcos∠ACB=-2×××,
即PG=.
7.A　设圆台的母线长为l,高为h,则球O的直径为h.
对于①,由题意知圆台的上、下底面半径分别为1,2,设r1=1,r2=2,
因为BC与半圆O相切于点P,则BP=r1=1,CP=r2=2,所以l=BP+CP=3,①不正确;
对于②,过点B作BM⊥CD于点M,则BM=h,CM=r2-r1=1,所以h=,②不正确;
对于③,由AB∥CD,得△HAB∽△HDC,则,③正确;
对于④,过点P作PQ⊥BM于点Q,延长PQ,与AD交于点O1,
则点P的轨迹是以O1为圆心,O1P为半径的圆,
过点P作PN⊥CD于点N,可得△BQP∽△PNC,则,
所以点P的轨迹长度是2π×,④不正确.
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