13.1.3 直观图的斜二测画法--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
13.1.3　直观图的斜二测画法
基础过关练
题组一　用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图
1.(2024安徽芜湖第一中学期中)甲同学用斜二测画法作出的正五边形ABCDE(如图1)的直观图为五边形A'B'C'D'E'(如图2),且保持坐标轴上的单位长度不变,其中各点的作法可能正确的为(　　)
　
A.A',B',P'　　　　B.B',P',C'
C.P',C',D'　　　　D.D',E',A'
2.(2024上海宝山海滨中学学业质量检测)画出图中水平放置的四边形ABCD的直观图A'B'C'D',并求出直观图中三角形B'C'D'的面积.
题组二　空间图形的直观图
3.已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m.如果按比例尺为1∶1 000画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为(　　)
A.4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B.2 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C.4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D.2 cm,0.25 cm,1 cm,0.8 cm
4.(教材习题改编)用斜二测画法画出正六棱锥P-ABCDEF(底面ABCDEF是正六边形,点P与底面正六边形的中心O的连线垂直于底面)的直观图(尺寸自定).
题组三　与水平放置的平面图形的直观图有关的计算
5.(2025江苏溧阳中学阶段检测)如图所示,已知正方形O'A'B'C'的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则其原图形的周长为(　　)
A.4　　　　B.8　　　　C.2
6.(2025江苏无锡第一中学期中)用斜二测画法画一个边长为2的正三角形的直观图,则直观图的面积是(　　)
A.
7.(2024河北邢台第一中学期中)如图,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,若A'C'=2 cm,且S△A'B'C'= cm2,则原图形中AC边上的高为(　　)
A. cm　　　　B. cm　　　　C. cm　　　　D. cm
答案与分层梯度式解析
13.1.3　直观图的斜二测画法
基础过关练
1.C　用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,平行或重合于x轴的线段长度不变,平行或重合于y轴的线段长度减半,即CD,PQ的长度不变,OA的长度减半,则PB,PC,QE,QD的长度也会缩小,如图所示:
所以P,C,D,Q的对应点P',C',D',Q'作法正确,A,B,E的对应点A',B',E'作法错误.
2.解析　由斜二测画法的规则可知,直观图中A,C的对应点分别为A'(3,1),C',B,D对应点的位置不变,即B'(4,0),D'(-2,0),
则四边形ABCD的直观图如下图所示:
三角形B'C'D'的面积为×6×.
方法技巧　在画水平放置的平面图形的直观图时,关键之一是建立适当的坐标系,一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上,以便于画直观图中的对应点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点在直观图中的位置,借助坐标系确定顶点后,只需把这些顶点顺次连接即可.
3.D　由比例尺可知,所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为2 cm,0.5 cm,1 cm和0.8 cm,再结合斜二测画法可知,直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为2 cm,0.25 cm,1 cm和0.8 cm.
4.解析　(1)画轴.画x'轴,y'轴和z'轴,三轴交于点O',使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°.
(2)画底面.①在正六边形ABCDEF中,取EF的中点M,BC的中点N,连接MN,AD,以AD,MN所在直线分别为x轴,y轴,两轴相交于点O(如图1所示).
②在图2中,以O'为中点,在x'轴上取A'O'=AO,D'O'=DO,在y'轴上取M'O'=NO,以N'为中点作B'C'∥x'轴,B'C'=BC,再以M'为中点作E'F'∥x'轴,E'F'=EF.
③连接A'B',C'D',D'E',F'A',得到底面正六边形ABCDEF的直观图A'B'C'D'E'F'.
(3)画顶点.在z'轴的正半轴上任意选取一点P'.
(4)成图.连接P'A',P'B',P'C',P'D',P'E',P'F',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的线改为虚线),便得到正六棱锥P-ABCDEF的直观图P'-A'B'C'D'E'F'(如图3所示).　
　
5.B　根据斜二测画法还原原图:
因为正方形O'A'B'C'的边长为1,所以O'B'=.
又OA=1,OA⊥OB,所以AB==3,
同理可得BC=1,OC=3,
所以原图形的周长为OA+AB+BC+OC=1+3+1+3=8.
6.A　解法一:如图1,△ABC是边长为2的等边三角形,其直观图△A'B'C'如图2所示,
　
A'B'=2,C'D'=×2×sin,
过点C'作C'E⊥A'B',则C'E=C'D'sin 45°=×,
所以△A'B'C'的面积S=×2×.
解法二:S直观图=××2×.
7.D　画出平面直角坐标系xOy(如图2),在x轴上取OA=O'A',即CA=C'A',
在图1中,过点B'作B'D'∥y'轴,交x'轴于点D',在图2的x轴上取OD=O'D',
过点D作DB∥y轴,并使DB=2D'B',
连接AB,BC,则图2中的△ABC即为△A'B'C'的原图形.
　
因为BD⊥AC,所以BD为AC边上的高,
在图1中,作B'E'⊥A'C'于点E',
则S△A'B'C'=A'C'×B'E'=B'E'= cm,
在直角三角形B'E'D'中,B'D'= cm,
所以BD=2B'D'= cm,
故原图形中AC边上的高为 cm.
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