13.2.2 空间两条直线的位置关系--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
13.2.2　空间两条直线的位置关系
基础过关练
题组一　空间两条直线的位置关系
1.(2025江苏盐城阜宁中学期中)已知空间中的三条直线l,m,n,若l与m异面,且l与n异面,则m与n(　　)
A.异面　　　　B.相交　　　　C.平行　　　　D.无法确定
2.(教材习题改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,在该正方体各棱所在的12条直线中,与直线D1E异面的共有(　　)
A.5条　　　　B.6条　　　　C.7条　　　　D.8条
3.(多选题)(2025江苏无锡辅仁高级中学期中)一个棱长为2的正方体的平面展开图如图所示,则下列说法中正确的是(　　)
A.直线AF与直线CN垂直　　　　
B.直线BM与直线CN相交
C.直线ME与直线CN平行　　　　
D.直线AB与直线CN异面
题组二　基本事实4及等角定理
4.(2024河南洛阳第二高级中学月考)下列命题中,真命题有(　　)
①如果两条相交直线与另外两条相交直线分别平行,那么这两条相交直线和另外两条相交直线所成的锐角或直角相等;
②如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;
③分别在两个不同的平面内且没有公共点的两直线互相平行;
④若∠AOB=30°,A'O'∥AO,B'O'∥BO,则∠A'O'B'=30°或150°.
A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个
5.(2025广东广州期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是侧面AA1D1D,侧面CC1D1D的中心,G,H分别是线段AB,BC的中点,则直线EF与直线GH的位置关系是(　　)
A.相交　　　　B.异面
C.平行　　　　D.无法确定
6.(2025山东济南月考)如图,在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中不正确的是(　　)
A.M,N,P,Q四点共面　　　　B.∠QME=∠DBC
C.△BCD∽△MEQ　　　　D.四边形MNPQ为梯形
题组三　异面直线所成的角
7.(2025北京平谷期末)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=2,AB=2,则异面直线DB1与AA1所成角的大小为(　　)
A.30°　　　　B.45°　　　　C.60°　　　　D.90°
8.(2024江苏南通期中)在圆锥PO中,轴截面PAB为等腰直角三角形,M为底面圆O上一点,∠AOM=30°,则异面直线OM与AP所成角的余弦值为(　　)
A.
9.(2025江苏镇江大港中学阶段检测)如图,S是正△ABC所在平面外的一点,M,N分别是AB和SC的中点,SA=SB=SC,且∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°,则异面直线SM与BN所成角的余弦值为　　　　.
能力提升练
题组一　空间中两条直线的位置关系
1.(2025江苏南通天星湖中学期中,)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,E,F分别是棱CD,A1D1的中点,则正方体被平面AEF所截得的截面周长是(　　)
A.4
C.4+2
2.(2025上海期中)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R,S,T分别为线段AA1,AB,BC,BD,BB1的中点,连接A1S,D1T,对空间任意两点M,N,若线段MN与线段A1S不相交或与线段D1T不相交,则称M,N两点可视,下列选项中与点C1不可视的为(　　)
A.点A　　　　B.点P　　　　C.点Q　　　　D.点R
3.(2025江苏常熟中学阶段检测)某种游戏中,黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完1段”.黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→…,黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→…,它们都遵循如下规则:所爬行的第(i+2)段与第i段所在直线必须是异面直线(其中i是正整数).设黑“电子狗”爬完2 028段,黄“电子狗”爬完2 029段后各自停在正方体的某个顶点处,这时黑、黄“电子狗”间的距离是多少
题组二　异面直线所成的角及应用
4.(易错题)(2024广东深圳高级中学期中)如图,已知圆柱O1O2的底面半径和母线长均为1,B,A分别为上、下底面圆周上的点,若异面直线O1B,O2A所成的角为,则AB的长为(　　)
A.
C.2或　　　　D.2或2
5.当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上运动时,异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是(　　)
A.
C.
6.(2025湖南衡阳月考)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为底面ABCD内(包括边界)的动点,满足直线D1P与CC1所成角的大小为,则线段DP扫过的面积为(　　)
A.
7.(2025辽宁辽阳模拟)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,且∠A1AC=60°,D,E,F分别为A1C1,A1B1,BC的中点,则异面直线AD和EF所成角的余弦值为(　　)
A.
答案与分层梯度式解析
13.2.2　空间两条直线的位置关系
基础过关练
1.D　若l与m异面,且l与n异面,则m与n可能平行、相交或异面,如图.
2.D　如图,与直线D1E异面的直线为AB,AD,AA1,CD,B1C1,BB1,CC1,A1B1,共8条.
方法技巧　判定两条直线是异面直线的方法:①与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线;②定义法:不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线;③排除法:既不平行也不相交的两条直线为异面直线.
3.AD　还原正方体,如图所示:
在正方体ABCD-EFMN中,连接BE,则CN∥BE,AF⊥BE,故AF⊥CN,故A中说法正确;
若直线BM与CN相交,则B,M,C,N四点共面,即B∈平面CMN,显然不成立,故B中说法错误;
CN∥BE,BE与ME相交,故直线ME与CN不平行,故C中说法错误;
AB∥MN,MN与CN不平行,故AB与CN不平行,
若AB与CN相交,则A,B,C,N四点共面,N∈平面ABC,显然不成立,故直线AB与CN异面,故D中说法正确.
4.B　由等角定理知,①④正确;
对于②,如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
对于∠ABC和∠BB1C,显然有AB⊥B1C,BC⊥B1B,
但是∠ABC=90°,∠BB1C=45°,故②错误;
对于③,分别在两个不同的平面内且没有公共点的两直线平行或异面,故③错误.
5.C　如图,连接AD1,CD1,AC,则E,F分别为AD1,CD1的中点,
故EF∥AC,由G,H分别是线段AB,BC的中点,得GH∥AC,故EF∥GH.
6.D　在△ABC中,由中位线定理得MN∥AC,且MN=AC,
所以MN∥QP,MN=QP,故四边形MNPQ为平行四边形,所以M,N,P,Q四点共面,A中说法正确,D中说法不正确;
在△ABC中,由中位线定理得ME∥BC,
在△ABD中,由中位线定理得MQ∥BD,
所以由等角定理知∠QME=∠DBC,B中说法正确;
在△ADC中,由中位线定理得QE∥DC,所以由等角定理知∠QEM=∠DCB,又∠QME=∠DBC,
所以△BCD∽△MEQ,C中说法正确.
7.C　因为AA1∥DD1,所以∠D1DB1或其补角为异面直线DB1与AA1所成的角.
连接D1B1(图略),在Rt△D1DB1中,tan∠D1DB1=,则∠D1DB1=60°,
故异面直线DB1与AA1所成的角为60°.
8.A　如图,过点A作AN∥OM,交圆O于点N,连接ON,PN,
则∠PAN或其补角即为异面直线OM与AP所成的角,设AO=ON=1,易知∠OAN=∠ONA=∠AOM=30°,则AN=,
因为轴截面PAB为等腰直角三角形,所以PN=PA=,
在△APN中,由余弦定理得cos∠PAN=,
所以异面直线OM与AP所成角的余弦值为.
9.答案　
解析　如图,连接CM,取CM的中点Q,连接QN,QB,
因为N为SC的中点,所以QN∥SM,所以∠QNB或其补角是SM与BN所成的角.
设SC=2a,
则BN=×a,
易知CM⊥AB,则CM=a,
则BQ=a,
则在△BQN中,由余弦定理得cos∠QNB=,
所以SM与BN所成角的余弦值为.
能力提升练
1.B　取C1D1的中点G,GD1的中点H,连接A1G,EG,EH,FH,
由E,G分别是CD,C1D1的中点,得EG∥DD1∥AA1,EG=DD1=AA1,则四边形AEGA1为平行四边形,
故A1G AE,由F,H分别是A1D1,GD1的中点,得FH∥A1G∥AE,FH=AE,
则正方体被平面AEF所截得的截面是梯形AFHE,
AE=AF=,　
所以所求截面的周长是5.
2.B　对于A,如图1,连接AD1,BC1,AC1,因为D1,A,C1∈平面D1C1BA,T 平面D1C1BA,且D1 AC1,故直线D1T与AC1是异面直线,所以点C1与点A可视,故A错误;
对于B,如图2,连接A1C1,PC1,AC,则A1S,PC1 平面A1C1CA,且A1S与PC1相交,连接D1P,PT,TC1,因为D1C1 PT,所以四边形D1C1TP是平行四边形,故D1T与PC1相交,所以点C1与点P不可视,故B正确;
　
对于C,如图3,连接A1C1,AC,C1Q,因为A1,S,C1∈平面A1C1CA,Q 平面A1C1CA,C1 A1S,所以直线A1S与QC1是异面直线,所以点C1与点Q可视,故C错误;
对于D,如图4,连接RC1,TC1,因为C1,T,D1∈平面D1C1T,R 平面D1C1T,且C1 D1T,所以直线D1T与RC1是异面直线,所以点C1与点R可视,故D错误.
　
3.解析　由正方体的特点及题意可知,“电子狗”走完前两段后,每走完一段,在每个端点只有一条路可走,故黑、黄“电子狗”的路线唯一确定.
易知黑“电子狗”爬行的路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA→AA1→…,即爬完6段后回到起点,又2 028÷6=338,所以黑“电子狗”爬完2 028段后停在点A;
黄“电子狗”爬行的路线为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA→AB→…,即爬完6段后回到起点,又2 029÷6=338,所以黄“电子狗”爬完2 029段后到达点B.
此时黑、黄“电子狗”间的距离为1.
4.C　如图,过点A作AD垂直于上底面于点D,则AD是圆柱的母线,连接DB,DO1,
易知AD∥O1O2,AD=O1O2,
则四边形ADO1O2是平行四边形,所以O1D∥O2A,
所以O2A与O1B所成的角就是∠DO1B或其补角,
所以∠DO1B=(易错点).
当∠DO1B=时,△DO1B是等边三角形,BD=1,
在Rt△ABD中,AB=;
当∠DO1B=,
在Rt△ABD中,AB==2.
综上,AB=2或AB=.
5.C　设正方体的棱长为1,DP=x,x∈[0,1],连接AD1,AP,
由AD1∥BC1可知∠AD1P或其补角即为异面直线D1P与BC1所成的角,
在△AD1P中,AD1=,
故cos∠AD1P=,
∵x∈[0,1],∴cos∠AD1P=,
∴∠AD1P∈.
6.A　因为DD1∥CC1,所以直线D1P与CC1所成的角即为DD1与D1P所成的角,
易知DD1⊥PD,所以DD1与D1P所成的角为∠DD1P,即∠DD1P=,
所以点P的轨迹是以D为圆心,为半径的圆的四分之一,
故线段DP扫过的面积为π×.
7.D　连接CD,DE(图略),因为D,E分别为A1C1,A1B1的中点,
所以DE∥B1C1且DE=B1C1,
在三棱柱ABC-A1B1C1中,易知BC B1C1,所以DE∥BC,DE=BC,
又F为BC的中点,所以CF∥DE且CF=DE,
所以四边形CDEF为平行四边形,则EF∥CD,
故∠ADC或其补角为异面直线AD和EF所成的角,
在△ADA1中,由余弦定理得
AD=
=,
在△CC1D中,由余弦定理得
CD=
=,
所以AC2+CD2=AD2,故AC⊥CD,
故cos∠ADC=.
因此异面直线AD和EF所成角的余弦值为.
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