13.2.3　直线与平面的位置关系 第3课时 距离、直线与平面所成的角--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
第3课时　距离、直线与平面所成的角
基础过关练
题组一　距离问题
1.(2025江苏扬州期中)已知Rt△ABC的直角顶点C在平面α外,AB α,AC,BC与平面α所成的角分别为45°,30°,AB=,则点C到平面α的距离为(　　)
A.　　　　C.1　　　　D.2
2.(2025四川成都期中)如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(　　)
A.2　　　　B.
3.(2025江苏南京江浦高级中学期中)如图,△ACD和△BCD都是边长为2的等边三角形,AB=,EB⊥平面BCD.
(1)证明:EB∥平面ACD;
(2)求直线EB到平面ACD的距离.
题组二　直线与平面所成的角
4.(2025河北邢台期中)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱垂直于底面,四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,2AA1=3AB,E是棱A1D1的中点,则直线BE与平面ABCD所成角的余弦值是(　　)
A.
5.(2025江苏南京期中)《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年,书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,四面体PABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且PA=AB=BC=1,则直线PB与平面PAC所成角的大小为　　　　.
6.(2025安徽安庆一中期中)如图,点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的一个动点,直线AP与平面ABCD所成的角为60°,则点P的轨迹长度为　　　　.
7.(2025江苏如皋马塘中学期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,A1D1的中点,求:
(1)D1B与平面ABCD所成角的余弦值;
(2)EF与平面A1B1C1D1所成的角.
能力提升练
题组一　距离问题
1.(2025江苏徐州第二中学期中)在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为AB上任意一点,E,F为CD上两个动点,且EF的长为定值,则点P到平面A1EF的距离(　　)
A.和点E,F的位置有关　　　　
B.和EF的长度有关
C.和点P的位置有关　　　　
D.等于a
2.(多选题)(2024四川达州外国语学校月考)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,M,N分别为线段A1B,B1C上的动点(不包括端点),且A1M=CN,则以下结论正确的有(　　)
A.MN∥平面A1ACC1
B.不存在点M,N,使得MN⊥平面BB1D1D
C.点M和点N到平面BB1D1D的距离相等
D.直线MN与平面A1ADD1所成角的最大值为
题组二　直线与平面所成的角
3.(2025江苏盐城期中)在棱长都为3的正三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为棱BB1,CC1上的点,当A1D+DE+EA取得最小值时,DE与平面AA1C1C所成角的正弦值为(　　)
A.
4.(2025山东潍坊期中)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,E,F分别为BC,AD的中点,将△ABE沿直线AE翻折成△AB1E,B1与B,F不重合,连接B1D,B1C,则在翻折过程中,B1D与平面BFB1所成角的正切值的取值范围为(　　)
A. B. C. D.
5.(2025江苏徐州第三十七中学月考)刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容,在数学上用“曲率”刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫作多面体的面角,角度用弧度制).例如,正四面体的每个顶点有3个面角,每个面角都是,所以正四面体的各个顶点的曲率为2π-×3=π.在底面为矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD=PA,PC与底面ABCD所成的角为,在四棱锥P-ABCD中,顶点B的曲率为　　　　.
6.(2025天津和平期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,AD∥BC,∠BAD=90°,PA=AB=BC=1,AD=2.
(1)求证:CE∥平面PAB;
(2)求证:DC⊥平面PAC;
(3)求直线EC与平面PAC所成角的正弦值.
答案与分层梯度式解析
第3课时　距离、直线与平面所成的角
基础过关练
1.C　过C作CH⊥α于H,连接AH,BH,则∠CAH=45°,∠CBH=30°.
在Rt△CHA和Rt△CHB中,AC==2CH.
在Rt△ACB中,AC2+BC2=AB2,即2CH2+4CH2=6,所以CH=1,即点C到平面α的距离为1.
2.B　连接AB1,交A1B于点E,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C1∥BC,
又B1C1 平面A1BCD1,BC 平面A1BCD1,
所以B1C1∥平面A1BCD1,
则直线B1C1到平面A1BCD1的距离即为点B1到平面A1BCD1的距离,
因为BC⊥平面AA1B1B,AB1 平面AA1B1B,
所以BC⊥AB1,又A1B⊥AB1,且A1B∩BC=B,A1B,BC 平面A1BCD1,
所以AB1⊥平面A1BCD1,则点B1到平面A1BCD1的距离即为B1E的长,
因为AB=AA1=2,所以AB1=2,
所以B1E=.
3.解析　(1)证明:如图,取CD的中点O,连接AO,BO,
则AO⊥CD,BO⊥CD,且BO=AO=ACsin 60°=2×.
又AB=,所以AO2+BO2=AB2,则AO⊥BO.
又BO∩CD=O,BO,CD 平面BCD,所以AO⊥平面BCD.
又因为EB⊥平面BCD,所以EB∥AO.
又EB 平面ACD,AO 平面ACD,所以EB∥平面ACD.
(2)由(1)知,EB∥平面ACD,
所以直线EB到平面ACD的距离等于点B到平面ACD的距离.
由(1)知BO⊥AO,BO⊥CD,又AO∩CD=O,AO,CD 平面ACD,所以BO⊥平面ACD,
所以BO的长为直线EB到平面ACD的距离.
由(1)知BO=.
解题模板　求解直线到平面的距离时,需要先证明线面平行,当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离都相等,都是所求距离,所以求线面距的关键是选准恰当的点,将线面距转化为点面距.
4.A　取AD的中点F,连接BF,EF,则EF∥AA1,
因为AA1⊥平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD,则∠EBF是直线BE与平面ABCD所成的角.
设AB=2,则EF=AA1=3,AF=1,
在△ABF中,由余弦定理得
BF=
=,
则BE=.
5.答案　
解析　取AC的中点D,连接BD,PD,
因为AB=BC=1,AB⊥BC,
所以BD⊥AC,且BD=×.
因为PA⊥平面ABC,BD 平面ABC,所以PA⊥BD,
又因为AC∩PA=A,AC,PA 平面PAC,所以BD⊥平面PAC,所以∠BPD为直线PB与平面PAC所成的角.
因为PA⊥平面ABC,AB 平面ABC,所以PA⊥AB,
所以PB=,
所以sin∠BPD=,
即直线PB与平面PAC所成角的大小为.
6.答案　
解析　因为直线AP与平面ABCD所成的角为60°,
所以点P的轨迹在顶点为A,底面圆的半径为,高为1的圆锥的侧面上,
又因为点P是正方体表面上的一个动点,所以点P的轨迹为AE、AF和(不含点A),如图,
则点P的轨迹长度为2××2π×.
7.解析　(1)连接DB(图略),
∵D1D⊥平面ABCD,
∴DB是D1B在平面ABCD内的射影,
则∠D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角.
∵DB=AB,∴cos∠D1BD=,
即D1B与平面ABCD所成角的余弦值为.
(2)∵E是A1A的中点,A1A⊥平面A1B1C1D1,
∴∠EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角.
在Rt△EA1F中,∵F是A1D1的中点,E是A1A的中点,
∴∠EFA1=45°,即EF与平面A1B1C1D1所成的角为45°.
方法技巧　求直线与平面所成的角的关键是寻找过斜线上一点与平面垂直的垂线,过垂足与斜足的直线即为直线在平面内的射影,斜线与其在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角.
能力提升练
1.D　连接A1D,B1C,由E,F为CD上两个动点,知平面A1EF即为平面A1B1CD,
由AB∥CD,AB 平面A1B1CD,CD 平面A1B1CD,得AB∥平面A1B1CD,
则点P到平面A1B1CD的距离即为点B到平面A1B1CD的距离,
连接BC1,由CD⊥平面BCC1B1,BC1 平面BCC1B1,得CD⊥BC1,
又B1C⊥BC1,B1C∩CD=C,B1C,CD 平面A1B1CD,
所以BC1⊥平面A1B1CD,
所以点P到平面A1EF的距离为a,D正确.
2.ACD　连接BN并延长,与CC1交于E,连接A1E,AC,A1C1,如图1.
因为BB1∥CE,所以△BB1N∽△ECN,又A1M=CN,A1B=CB1,所以,所以MN∥A1E,
因为MN 平面A1ACC1,A1E 平面A1ACC1,所以MN∥平面A1ACC1,A正确;
　　
当E与C1重合,即M,N分别为线段A1B,B1C的中点时,如图2,连接BD,B1D1,
由四边形A1B1C1D1为正方形可得A1C1⊥B1D1,又BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1 平面A1B1C1D1,所以BB1⊥A1C1,又BB1∩B1D1=B1,BB1,B1D1 平面BB1D1D,所以A1C1⊥平面BB1D1D,又MN∥A1C1,所以MN⊥平面BB1D1D,B错误;
易知BM=B1N,直线A1B和B1C与平面BB1D1D所成的角相等,所以点M,N到平面BB1D1D的距离相等,C正确;
直线MN与平面A1ADD1所成的角即直线A1E与平面A1ADD1所成的角,设为θ,则sin θ=,D正确.
3.C　如图1,沿着棱AA1将棱柱的侧面展开成一个矩形,则A1D+DE+EA≥A'1A,
所以当A1D+DE+EA取得最小值时,B1D=1,C1E=2.
如图2,在C1C上取F点,使得C1F=1,连接B1F,
因为B1D∥EF,B1D=EF,
所以四边形EFB1D为平行四边形,
则B1F∥DE,B1F=DE,
所以B1F与平面AA1C1C所成的角即为DE与平面AA1C1C所成的角.
(过DE上一点作平面AA1C1C的垂线并不直观,所以选择过DE的平行线B1F上一点作平面的垂线)
取A1C1的中点G,连接GF,B1G,
易知B1G⊥A1C1,B1G⊥AA1,又A1C1∩AA1=A1,A1C1,AA1 平面AA1C1C,所以B1G⊥平面AA1C1C,
则∠B1FG为B1F与平面AA1C1C所成的角,
易得B1G=,
所以sin∠B1FG=.
4.D　连接EF,设BF∩AE=G,连接B1G,
易知四边形ABEF为正方形,则AE⊥BF,AE=BF=2,
由题知AE⊥B1G,且B1G=BG=,
又因为B1G,BF 平面BFB1,B1G∩BF=G,
所以AE⊥平面BFB1,
过点D作DM⊥BF的延长线于点M,由AE⊥BF,DM⊥BF,得DM∥AE,
又AE⊥平面BFB1,所以DM⊥平面BFB1,连接B1M,则∠DB1M为B1D与平面BFB1所成的角,
由DM⊥平面BFB1,B1M 平面BFB1,得DM⊥B1M,则tan∠DB1M=,
易知△AGF≌△DMF,故DM=AG=,
过点B1作B1O⊥BF于点O,
设BO=x,则MO=BM-BO=3-x,
当O点在线段GF上(可在G点,不可在F点)时,如图1,x∈[),
有B1O2=B1G2-GO2=(x,
则B1M=,
则,
易得y=)上单调递增,
故,
当O点在线段BG上(不在两端)时,如图2,x∈(0,),
同理,
易得y=.
综上所述,.
5.答案　
解析　如图,
设PA=1,则AD=,
∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA即为PC与底面ABCD所成的角,则∠PCA=,
∴PC=,
∴AB==1,∴tan∠PBA==1,∴∠PBA=,
∵PA⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,∴PA⊥BC,
又BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB 平面PAB,
∴BC⊥平面PAB,
又PB 平面PAB,∴PB⊥BC,即∠PBC=,
又∠ABC=,
∴顶点B的曲率为2π-.
6.解析　(1)证明:如图,取PA的中点M,连接BM,ME,则ME∥AD,且ME=AD,
又AD∥BC且BC=AD,所以ME BC,
故四边形BCEM为平行四边形,
所以BM∥CE,又BM 平面PAB,CE 平面PAB,
所以CE∥平面PAB.
(2)证明:因为PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,
所以PA⊥CD,
由题设易知四边形ABCD为直角梯形,且∠ABC=∠BAD=90°,BC=AD,
则AC2=AB2+BC2=2,所以AC=.
因为BA=BC=1,∠BAC=45°,所以∠DAC=45°.
在△ACD中,由余弦定理可得CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠DAC=2,
所以AC2+CD2=AD2,即DC⊥AC,
又因为AC∩PA=A,AC,PA 平面PAC,
所以DC⊥平面PAC.
(3)取PC的中点F,连接EF,
则EF∥CD,由(2)知DC⊥平面PAC,则EF⊥平面PAC,
所以∠ECF为直线EC与平面PAC所成的角.
又CF 平面PAC,所以EF⊥CF,
易知CF=,
所以CE=,
所以sin∠ECF=.
所以直线EC与平面PAC所成角的正弦值为.
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