13.2.4　平面与平面的位置关系 第2课时 两平面垂直--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
第2课时　两平面垂直
基础过关练
题组一　二面角
1.(2025江苏句容高级中学期中)把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则△ABC是(　　)
A.正三角形　　　　B.等腰直角三角形
C.钝角三角形　　　　D.无法确定
2.(2025北京东城模拟)祈年殿(图1)是北京市的标志性建筑之一,距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱,分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱,寓意一年四季;中圈有12根约为13米的金柱,代表十二个月;外圈有12根约为6米的檐柱,象征十二个时辰.已知由一根龙井柱AA1和两根金柱BB1,CC1形成的几何体ABC-A1B1C1(图2)中,若AB=AC=8米,∠BAC=144°,则平面A1B1C1与平面ABC所成角的正切值约为(　　)
　
A.
C.
3.(2024河北保定月考)如图,△ABC,△DBC是两个边长为2的等边三角形,若点A到平面BCD的距离为,则二面角A-BC-D的大小为(　　)
A.
4.(2025江苏南通期中)如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PC,AC⊥BC,PH⊥平面ABC,H为垂足,D为AC的中点.
(1)证明:DH∥平面PBC;
(2)若AC=2,∠PAH=∠CAH=45°,求二面角P-BC-A的正弦值.
题组二　平面与平面垂直的判定
5.(2025江苏无锡期中)已知l,m,n是三条不重合的直线,α,β,γ是三个不重合的平面,则下列结论正确的是(　　)
A.若l∥α,α∥β,则l∥β　　　　
B.若l∥α,m α,则l∥m
C.若m⊥n,m α,n β,则α⊥β　　　　
D.若m⊥α,m β,则α⊥β
6.(2025江苏淮安洪泽中学期中)如图,在平行四边形ABCD中,AB⊥BD,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面中,互相垂直的平面有(　　)
A.1对　　　　B.2对　　　　C.3对　　　　D.4对
7.(2025江苏无锡期中)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为正三角形,侧棱垂直于底面,D为棱AC的中点,E为棱CC1的中点,AC=AA1.
(1)证明:AB1∥平面C1BD;
(2)证明:平面A1B1C⊥平面BDE.
题组三　平面与平面垂直的性质
8.(2025福建福州一中期中)已知α,β是两个互相垂直的平面,l,m是两条直线,α∩β=l,则“m⊥l”是“m⊥α”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.(2024广东部分名校联合质量检测)如图,在四面体ABCD中,AB=AC,BC⊥BD,平面ABC⊥平面BCD,O为线段BC的中点,则下列判断错误的是(　　)
A.AC⊥BD　　　　B.BD⊥平面ABC
C.AB⊥CD　　　　D.AO⊥平面BCD
10.(2025浙江浙东北县域名校发展联盟期中)如图,五边形ABECF由矩形ABEF和等腰三角形CEF构成,其中AB=EF=2,AF=BE=CE=CF=,D是AB的中点,将△ADF,△BDE,△CEF折起,使A,B,C三点重合于点P,则DP与平面DEF所成角的正弦值为(　　)
A.
11.(2024北京师范大学附属中学开学测试)在某次数学探究活动中,小明先将一副三角尺按照图1的方式进行拼接,然后他又将三角尺ABC折起,使得二面角A-BC-D为直二面角,得到如图2所示的四面体ABCD.小明对四面体ABCD中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断,其中不正确的是(　　)
　
A.CD⊥平面ABC　　　　
B.AB⊥平面ACD
C.平面ABD⊥平面ACD　　　　
D.平面ABD⊥平面BCD
12.(2025江苏邳州运河中学阶段检测)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,E是BB1上的一点,且EB1=1,D,F,G分别是CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于H.
(1)求证:B1D⊥平面ABD;
(2)求平面EFG与平面ABD间的距离.
能力提升练
题组一　二面角
1.(2024上海静安期末)我国古代数学著作《九章算术》中将四个面都是直角三角形的空间四面体叫“鳖臑”.如图所示的是一个水平放置的△ABC,CD⊥AB,∠A=30°,∠B=45°.现将Rt△ACD沿CD折起,使点A到点A',使得空间四面体A'BCD恰好是一个“鳖臑”,则二面角A'-CD-B的余弦值为(　　)
A.
2.(2025湖南长沙期中)如图,水平放置的正方形ABCD的边长为1,先将正方形ABCD绕直线AB向上旋转45°,得到正方形ABC1D1,再将所得的正方形绕直线BC1向上旋转45°,得到正方形A2BC1D2,则平面A2BC1D2与平面ABCD所成的角的大小为(　　)
A.30°　　　　B.45°　　　　C.60°　　　　D.90°
3.(2025江苏无锡第一中学期中)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,平面PAC⊥平面PBC.
(1)求证:BC⊥AC;
(2)若PA=,AC=BC=2,M是PB的中点,N,F分别在线段BC,AM上移动.
①求PB与平面PAC所成角的正切值;
②若FN∥平面PAC,求线段FN长度取最小值时二面角F-BC-A平面角的正切值.
题组二　平面与平面垂直的判定
4.(多选题)(2025福建厦门模拟)如图,一个漏斗的上面部分可视为长方体ABCD-A'B'C'D',下面部分可视为正四棱锥P-ABCD,O为正方形ABCD的中心,两部分的高都是该正方形边长的一半,则(　　)
A.A'O⊥AB　　　　
B.A'O∥平面APD
C.平面AA'P⊥平面BDP　　　　
D.CC'与A'P为相交直线
5.(2024浙江云峰联盟联考)如图1,在矩形ABCD中,BC=2AB,AM⊥BD交对角线BD于点O,交BC于点M,现将△ABD沿BD翻折至△A'BD的位置,如图2,点N为棱A'D的中点,则下列判断一定成立的是(　　)
　
A.BD⊥CN　　　　 B.A'O⊥平面BCD
C.CN∥平面A'OM　　　　 D.平面A'OM⊥平面BCD
6.(2024河北定州第二中学月考)如图1所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,AC=2BC=3DE=6.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2所示,M是线段A1D的中点,P是A1B上的点,EP∥平面A1CD.
(1)求的值;
(2)证明:平面BCM⊥平面A1BE.
题组三　平面与平面垂直的性质
7.(2025河南师大附中期中)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是边长为4的正三角形,AA1=2,N为棱A1B1的中点,M为棱CC1上的动点,过N作平面ABM的垂线段,垂足为点O,当点M从点C运动到点C1时,点O的轨迹长度为(　　)
A.　　　　D.π
8.(2024陕西安康中学等校模拟)已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为菱形,其中∠BCD=120°,SA=SB=2AB=SC,点H在线段SB上,若平面SAB⊥平面CDH,则=　　　　.
9.(2025江苏南京一中阶段检测,)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.
(1)求证:PE⊥BC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PCD;
(3)求证:EF∥平面PCD.
10.(2024北京通州期末,)如图,七面体ABCDEF中,菱形ABCD所在平面与矩形ACEF交于AC,平面CDF与平面ABF交于直线l.
(1)求证:AB∥l;
(2)从①、②这两个条件中选择一个作为已知条件,试求当为何值时,平面DEF⊥平面BEF,并证明你的结论.
条件①:平面ABCD⊥平面ACEF;
条件②:CE⊥AB.
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
答案与分层梯度式解析
第2课时　两平面垂直
基础过关练
1.A　设正方形的边长为1,AC与BD相交于点O,则CA⊥BD,
所以折成直二面角后,∠COA=90°,AB=BC=1,
AC==1,
所以△ABC是正三角形.
2.B　作B1D∥BA,交AA1于点D,连接DC1,则平面ABC∥平面DB1C1,故平面A1B1C1与平面ABC所成的角即为平面A1B1C1与平面DB1C1所成的角.
易知△DB1C1≌△ABC,所以∠B1DC1=∠BAC=144°,则∠DB1C1=∠DC1B1=18°,
取B1C1的中点E,连接DE,A1E,则DE⊥B1C1,且A1D⊥平面DB1C1,
又B1C1 平面DB1C1,所以A1D⊥B1C1,
又DE∩A1D=D,DE,A1D 平面A1DE,
所以B1C1⊥平面A1DE,则∠A1ED是平面A1B1C1与平面DB1C1所成角的平面角,
易知A1D=19-13=6米,DE=8sin 18°米,则tan∠A1ED=.
3.A　取BC的中点E,连接AE,DE,过点A作AF⊥ED,垂足为F,
因为△ABC,△DBC均为等边三角形,所以AE⊥BC,DE⊥BC,故∠AED为二面角A-BC-D的平面角,
因为AE∩DE=E,AE,DE 平面AED,
所以BC⊥平面AED.
又AF 平面AED,所以BC⊥AF,
又AF⊥ED,DE∩BC=E,DE,BC 平面BCD,
所以AF⊥平面BCD,则点A到平面BCD的距离为AF=,
故在Rt△AFE中,sin∠AEF=,
则∠AEF=.
4.解析　(1)证明:连接PD,因为PA=PC,D为AC的中点,所以AC⊥PD.
因为PH⊥平面ABC,AC 平面ABC,所以PH⊥AC,
又PD∩PH=P,PD,PH 平面PHD,所以AC⊥平面PHD,
因为DH 平面PHD,所以AC⊥DH,
又AC⊥BC,所以DH∥BC.
因为BC 平面PBC,DH 平面PBC,
所以DH∥平面PBC.
(2)如图,过点H作HQ⊥BC于点Q,连接PQ,
因为PH⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以PH⊥BC,
又HQ⊥BC,HQ∩PH=H,HQ,PH 平面PHQ,
所以BC⊥平面PHQ.
又PQ 平面PHQ,所以PQ⊥BC,则∠PQH为二面角P-BC-A的平面角.
因为AC=2,∠PAH=∠CAH=45°,
所以PH=AH=,HQ=DC=1,
则PQ=,
所以二面角P-BC-A的正弦值为.
5.D　对于A,若l∥α,α∥β,则l∥β或l β,故A错误;
对于B,若l∥α,m α,则l∥m或l,m异面,故B错误;
对于C,若m⊥n,m α,n β,则α,β平行或相交(不一定垂直),故C错误;
对于D,若m⊥α,m β,则由面面垂直的判定定理知α⊥β,故D正确.
6.C　因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊥BD,AB 平面ABD,
所以AB⊥平面BCD.
又AB 平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCD.
因为CD 平面BCD,所以AB⊥CD.
又BD⊥CD,AB∩BD=B,AB,BD 平面ABD,
所以CD⊥平面ABD.
又CD 平面ACD,所以平面ACD⊥平面ABD.
综上,平面ABD⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD,平面ACD⊥平面ABD,共有3对互相垂直的平面.
7.证明　(1)设BC1∩CB1=O,连接DO,
由题意知四边形BB1C1C是平行四边形,则O为B1C的中点,
又因为D为AC的中点,所以AB1∥OD,
因为AB1 平面C1BD,OD 平面C1BD,
所以AB1∥平面C1BD.
(2)连接AC1,因为AA1 CC1,AC=AA1,AA1⊥AC,
所以四边形ACC1A1是正方形,所以AC1⊥A1C.
因为D,E分别是AC,CC1的中点,所以AC1∥DE.
又AC1⊥A1C,所以DE⊥A1C.
因为CC1⊥平面ABC,BD 平面ABC,所以BD⊥CC1.
在正△ABC中,D为AC的中点,所以BD⊥AC.
因为CC1∩AC=C,CC1,AC 平面ACC1A1,
所以BD⊥平面ACC1A1.
又因为A1C 平面ACC1A1,所以A1C⊥BD.
因为BD∩DE=D,BD,DE 平面BDE,
所以A1C⊥平面BDE.
又A1C 平面A1B1C,所以平面A1B1C⊥平面BDE.
方法技巧　要证面面垂直,可转化为证线面垂直,关键是在其中一个平面内找一条与另一个平面垂直的直线.
8.B　由题意知α⊥β,α∩β=l,
若m⊥l,当m β时,有m⊥α;当m β时,m与α的关系为相交、平行或m在α内.
若m⊥α,由l α,得m⊥l.
故“m⊥l”是“m⊥α”的必要不充分条件.
9.C　因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,BD 平面BCD,BD⊥BC,
所以BD⊥平面ABC,故B中判断正确;
因为AC 平面ABC,所以BD⊥AC,故A中判断正确;
因为AB=AC,O为BC的中点,所以AO⊥BC,结合上述分析可得AO⊥平面BCD,故D中判断正确;
因为BD⊥平面ABC,AB 平面ABC,所以BD⊥AB,若AB⊥CD,因为BD∩CD=D,BD,CD 平面BCD,所以AB⊥平面BCD,又AO⊥平面BCD,且显然B,O不重合,故C中判断错误.
10.D　由题意可知形成三棱锥P-DEF,如图,
取EF的中点M,连接PM,DM,过点P作PO⊥DM于点O,
因为DE=DF,PE=PF,所以DM⊥EF,PM⊥EF.
又PM∩DM=M,PM,DM 平面PDM,
所以EF⊥平面PDM.
又EF 平面DEF,所以平面PDM⊥平面DEF.
因为平面PDM∩平面DEF=DM,PO⊥DM,PO 平面PDM,所以PO⊥平面DEF,
所以∠PDO为DP与平面DEF所成的角.
因为DP⊥PE,DP⊥PF,PE∩PF=P,PE,PF 平面PEF,所以DP⊥平面PEF.
又PM 平面PEF,所以DP⊥PM.
因为AF=BE=CE=CF=,PD=1,
因为PE=PF=,EF=2,
所以PM=,
在Rt△PDM中,sin∠PDM=,
所以DP与平面DEF所成角的正弦值为.
11.D　对于A,因为二面角A-BC-D为直二面角,所以平面ABC⊥平面BCD,
又平面ABC∩平面BCD=BC,DC⊥BC,且DC 平面BCD,所以DC⊥平面ABC,故A中判断正确;
对于B,由DC⊥平面ABC,AB 平面ABC,可得DC⊥AB,
又AB⊥AC,且AC∩CD=C,AC,CD 平面ACD,
所以AB⊥平面ACD,故B中判断正确;
对于C,由AB⊥平面ACD,AB 平面ABD,得平面ABD⊥平面ACD,故C中判断正确;
对于D,易知平面ABC⊥平面BCD,且平面ABC∩平面ABD=AB,
若平面ABD⊥平面BCD,则AB⊥平面BCD,又BC 平面BCD,所以AB⊥BC,
因为AB与BC不垂直,所以平面ABD与平面BCD不垂直,故D中判断错误.
12.解析　(1)证明:由直三棱柱的性质得平面ABC⊥平面BB1C1C,
∵平面ABC∩平面BB1C1C=BC,AB⊥BC,AB 平面ABC,∴AB⊥平面BB1C1C,
又B1D 平面BB1C1C,∴AB⊥B1D.
∵BC=CD=DC1=B1C1=2,∴∠BDC=∠B1DC1=45°,∴∠BDB1=90°,即B1D⊥BD.
又AB∩BD=B,AB,BD 平面ABD,∴B1D⊥平面ABD.
(2)由题意知EB1=B1F=1,在Rt△EB1F中,∠FEB1=45°,易知∠DBB1=45°,∴EF∥BD,
又BD 平面ABD,EF 平面ABD,∴EF∥平面ABD.
∵G,F分别为A1C1,B1C1的中点,∴GF∥A1B1,
又A1B1∥AB,∴GF∥AB.
又AB 平面ABD,GF 平面ABD,∴GF∥平面ABD,
∵EF∩GF=F,EF,GF 平面EFG,
∴平面EFG∥平面ABD.
由(1)知B1D⊥平面ABD,∴B1D⊥平面EFG,
∴HD的长为平面EFG与平面ABD间的距离,
又HD=B1D-B1H=2,
故平面EFG与平面ABD间的距离为.
能力提升练
1.D　不妨设CD=1,则BD=1,BC=,AC=2,
空间四面体A'BCD是一个“鳖臑”,则△A'BC和△A'BD都是直角三角形,
若A'B>A'D,则Rt△A'BD中,∠A'DB=90°,由勾股定理得A'B=2,
此时△A'BC不是直角三角形,不合题意;
所以A'B此时满足△A'BC是直角三角形,∠A'BC=90°,
由A'D⊥CD,BD⊥CD知,∠A'DB为二面角A'-CD-B的平面角,
在Rt△A'BD中,cos∠A'DB=.
故二面角A'-CD-B的余弦值是.
2.C　将正方形ABC1D1放在两个全等的正方体的公共面上,正方形ABCD和正方形A2BC1D2的位置如图所示,连接MD1,PC1,PA,A2C1,PN,
平面A2BC1D2与平面ABCD所成的角可转化为平面A2BC1D2与平面MD1C1P所成的角,
易知MP⊥平面MAD1N,又AN 平面MAD1N,
所以MP⊥AN,
又MD1⊥AN,MD1∩MP=M,MD1,MP 平面MD1C1P,
所以AN⊥平面MD1C1P,
同理AP⊥平面A2BC1D2,
所以平面A2BC1D2与平面MD1C1P所成角等于直线AP与AN所成的角,
由△APN为等边三角形,可得所求二面角的平面角为60°.
3.解析　(1)证明:作AH⊥PC交PC于点H(图略),因为平面PAC⊥平面PBC,平面PAC∩平面PBC=PC,AH 平面PAC,所以AH⊥平面PBC.
又BC 平面PBC,所以BC⊥AH.
因为PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以BC⊥PA,
又因为AH∩PA=A,AH,PA 平面PAC.
所以BC⊥平面PAC,
又AC 平面PAC,所以BC⊥AC.
(2)①由(1)得BC⊥平面PAC,所以PC为PB在平面PAC内的射影,则∠BPC为PB与平面PAC所成的角,
在△PAC中,PC=,
在Rt△PCB中,tan∠BPC=,
所以PB与平面PAC所成角的正切值为.
②过F作AB的垂线,垂足为Q,过Q作QN∥AC,交BC于N.
因为PA⊥平面ABC,AB 平面ABC,所以PA⊥AB,
又FQ⊥AB,PA,FQ 平面PAB,所以PA∥FQ,
又因为PA 平面PAC,FQ 平面PAC,
所以FQ∥平面PAC,同理NQ∥平面PAC,
又因为FQ∩NQ=Q,FQ,NQ 平面FQN,所以平面PAC∥平面FQN.
又因为FN 平面FQN,所以FN∥平面PAC.
设BN=λ,则QN=λ,BQ=λ,
在Rt△FQN中,FN2=FQ2+QN2=λ2-2λ+2(1≤λ≤2).
所以当λ=1时,线段FN的长度取最小值,
即QN=BN=1,FQ=,
易证∠FNQ为二面角F-BC-A的平面角,此时tan∠FNQ=.　
4.BCD　对于A,设正方形ABCD的边长为2,由正四棱锥的性质可得PO⊥平面ABCD,故PO=AA'=1,
因为A'A⊥平面ABCD,所以A'O在底面ABCD的射影为AO,
又AO不与AB垂直,所以A'O不与AB垂直,故A错误;
对于B,易知PO∥AA'且PO=AA',故四边形POA'A是平行四边形,
所以A'O∥AP,又A'O 平面APD,AP 平面APD,所以A'O∥平面APD,故B正确;
对于C,因为PO∥CC'∥AA',O∈平面CC'A'A,所以PO 平面CC'A'A,
平面AA'P即为平面CC'A'A,因为A'A⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以A'A⊥BD,
又BD⊥AC,A'A∩AC=A,A'A,AC 平面CC'A'A,所以BD⊥平面CC'A'A,
又BD 平面BDP,所以平面BDP⊥平面CC'A'A,即平面AA'P⊥平面BDP,故C正确;
对于D,由C知CC'与A'P都在平面CC'A'A中且不平行,故CC'与A'P为相交直线,故D正确.
5.D　对于D,翻折前,BD⊥AO,BD⊥OM,
翻折后,BD⊥A'O,BD⊥OM,
因为A'O∩OM=O,A'O,OM 平面A'OM,
所以BD⊥平面A'OM,
又BD 平面BCD,所以平面A'OM⊥平面BCD,故D正确;
对于B,因为BD⊥A'O,BD⊥OM,
所以二面角A'-BD-M的平面角为∠A'OM,
在翻折的过程中,∠A'OM的大小会发生变化,故A'O与OM不一定垂直,
所以A'O与平面BCD不一定垂直,故B错误;
对于A,设BC=2AB=2a,
在题图1中,tan∠ABD==2,
又AB=a,
因为∠AMB+∠BAM=∠ABD+∠BAM,
所以∠AMB=∠ABD,
所以tan∠AMB=.
在题图2中,过点C在平面BCD内作CE∥OM,交BD于点E,连接NE,(图略)
则a,
因为OD=BD-OB=a,所以E不是OD的中点,
因为BD⊥OM,CE∥OM,所以BD⊥CE,
若BD⊥CN,因为CE∩CN=C,CE,CN 平面CNE,
所以BD⊥平面CNE,
因为NE 平面CNE,所以BD⊥NE,
因为A'O,NE 平面A'BD,且BD⊥A'O,
所以A'O∥NE,
因为N为A'D的中点,所以E为OD的中点,与E不是OD的中点矛盾,故A错误;
由A知CE∥OM,
又CE 平面A'OM,OM 平面A'OM,
所以CE∥平面A'OM,
若CN∥平面A'OM,由CN∩CE=C,CN,CE 平面CNE,可知平面CNE∥平面A'OM,
因为平面A'BD∩平面CNE=NE,平面A'BD∩平面A'OM=A'O,所以A'O∥NE,
因为N为A'D的中点,所以E为OD的中点,与E不是OD的中点矛盾,故C错误.
6.解析　(1)设平面PED交棱A1C于点N,连接PN,DN,
由DE∥BC,BC 平面A1BC,DE 平面A1BC,得DE∥平面A1BC,
而平面PED∩平面A1BC=PN,DE 平面PED,
所以PN∥DE,
又EP∥平面A1CD,平面PED∩平面A1CD=DN,EP 平面PED,所以EP∥DN,
所以四边形DEPN是平行四边形,所以PN=DE,
又BC=3,DE=2,PN∥BC,所以.
(2)证明:在题图1的Rt△ABC中,由DE∥BC,AC=2BC=3DE=6,得AD=4,CD=2,
于是题图2中A1D=4,CD=2,而A1C⊥CD,则A1C=,∠CA1D=30°,
又M是线段A1D的中点,故MC=MA1,∠A1CM=∠CA1D=30°,
由(1)得,
则有∠CND=60°,∠CND+∠NCM=90°,
因此DN⊥CM,
显然DE⊥CD,DE⊥A1D,CD∩A1D=D,CD,A1D 平面A1CD,则DE⊥平面A1CD,
而DE∥BC,因此BC⊥平面A1CD,
又DN 平面A1CD,故DN⊥BC,
又BC∩CM=C,BC,CM 平面BCM,
故DN⊥平面BCM,
又EP∥DN,故EP⊥平面BCM,而EP 平面A1BE,
所以平面BCM⊥平面A1BE.
7.C　取AB的中点P,连接NP,PM,PC,取NP的中点Q,连接C1N,如图,
因为△ABC是等边三角形,所以PC⊥AB,
由直三棱柱的性质知PN⊥AB,
又因为PC∩PN=P,PC,PN 平面PCC1N,所以AB⊥平面PCC1N,又AB 平面ABM,所以平面ABM⊥平面PCC1N,
过N作NO⊥PM,O为垂足,
因为平面ABM∩平面PCC1N=PM,NO 平面PCC1N,
所以NO⊥平面ABM,
故O点的轨迹是在平面PCC1N内且以PN为直径的圆弧,
当点M在点C时,O点位于P点,当点M运动到点C1时,O点到最高点,
此时PC=2,
在Rt△C1CP中,∠CPC1=×1=,
所以当点M从点C运动到点C1时,点O的轨迹长度为.
8.答案　
解析　设平面CDH与直线SA交于点G,连接DG,HG,取AB的中点M,连接SM,CM,如图,
设SM与GH交于点E,连接CE.
因为CD∥AB,CD 平面SAB,AB 平面SAB,
所以CD∥平面SAB.
又平面SAB∩平面CDH=HG,CD 平面CDH,
所以CD∥HG,所以HG∥AB.
在菱形ABCD中,∠BCD=120°,
所以△ABC是等边三角形,则CM⊥AB,
而SA=SB,M为AB的中点,所以SM⊥AB,
又SM∩CM=M,SM,CM 平面SCM,
所以AB⊥平面SCM,
而CE 平面SCM,所以CE⊥AB,从而CE⊥HG.
因为平面SAB⊥平面CDH,平面SAB∩平面CDH=HG,CE 平面CDH,
所以CE⊥平面SAB,
又SM 平面SAB,所以CE⊥SM.
设AB=1,则SA=SB=2,SC=,
且CM=,
在△SCM中,cos∠SCM=,所以∠SCM=135°,sin∠SCM=,
EM=,
所以.
9.证明　(1)∵PA=PD,且E为AD的中点,∴PE⊥AD.
∵底面ABCD为矩形,∴BC∥AD,∴PE⊥BC.
(2)∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴AB⊥平面PAD,
又PD 平面PAD,∴AB⊥PD.
又PA⊥PD,AB∩PA=A,AB,PA 平面PAB,
∴PD⊥平面PAB,又PD 平面PCD,
∴平面PAB⊥平面PCD.
(3)如图,取PC的中点G,连接FG,GD.
∵F,G分别是PB,PC的中点,
∴FG∥BC,且FG=BC.
∵四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,
∴ED∥BC,DE=BC,
∴ED∥FG,且ED=FG,∴四边形EFGD为平行四边形,∴EF∥GD.
又EF 平面PCD,GD 平面PCD,
∴EF∥平面PCD.
10.解析　(1)证明:∵AB∥CD,CD 平面CDF,AB 平面CDF,∴AB∥平面CDF,
又AB 平面ABF,平面ABF∩平面CDF=l,∴AB∥l.
(2)选①.当=2时,平面DEF⊥平面BEF,证明如下:
设AC∩BD=O,取EF的中点M,连接OM,BM,DM.
∵平面ABCD⊥平面ACEF,平面ABCD∩平面ACEF=AC,AF⊥AC,∴AF⊥平面ABCD,
又∵AD 平面ABCD,∴AF⊥AD,
同理可得CE⊥CD,∴∠DCE=∠DAF=90°,
又CD=AD,CE=AF,∴△CDE≌△ADF,∴DE=DF.
∵M是EF的中点,∴DM⊥EF,
假设平面DEF⊥平面BEF成立,
∵平面DEF∩平面BEF=EF,DM 平面DEF,
∴DM⊥平面BEF,
又BM 平面BEF,∴DM⊥BM,
∵M是EF的中点,O是AC的中点,
∴OM∥AF,OM=AF,∴OM⊥平面ABCD,
又BD 平面ABCD,∴OM⊥BD,
又∵DM⊥BM,O是BD的中点,
∴△BDM为等腰直角三角形,
∴OM=OB=OD,∴BD=OB+OD=2OM=2AF,∴=2,
故当=2时,平面DEF⊥平面BEF.
选②.
当=2时,∵CE⊥AB,CE⊥AC,AC∩AB=A,AC,AB 平面ABCD,∴CE⊥平面ABCD,
又AF∥CE,∴AF⊥平面ABCD,
又AD 平面ABCD,∴AF⊥AD,
同理可得CE⊥CD,∴∠DCE=∠DAF=90°,
以下同①.
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