13.3.1 空间图形的表面积--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
13.3　空间图形的表面积和体积
13.3.1　空间图形的表面积
基础过关练
题组一　棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
1.(教材习题改编)若正四棱锥的高为2,且其各侧面的面积之和是底面积的2倍,则该四棱锥的表面积为(　　)
A.12　　　　B.24　　　　C.32　　　　D.48
2.(2024河南新乡封丘第一中学阶段检测)如图,已知一个直三棱柱的高为1,其底面△ABC水平放置的直观图(斜二测画法)为△A'B'C',其中O'A'=O'B'=O'C'=1,则该直三棱柱的表面积为(　　)
A.6+2　　　　
C.6+2
3.(2025北京丰台模拟)如图,在四棱台ABCD-A'B'C'D'中,底面ABCD和底面A'B'C'D'为正方形,AB=3,A'B'=1,侧面均为等腰梯形,且侧面与底面ABCD所成的角均为45°,则该棱台的表面积为(　　)
A.18　　　　B.10+8
　　　　D.34
题组二　圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积
4.(2025江苏溧阳中学期中)已知某圆锥的轴截面是正三角形,从该圆锥高的一半处作平行于底面的平面截圆锥得到一个小圆锥和一个小圆台,则该小圆台与原圆锥的表面积之比为(　　)
A.11∶12　　　　B.5∶6　　　　C.3∶4　　　　D.2∶3
5.(2025湖南模拟)亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式之一,它是逗留赏景的场所,也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭(图1)是常见的一类亭,其顶层部分可以看作一个圆锥以及一个圆台(图2)的组合体.已知某重檐圆亭的圆台部分的轴截面如图3所示,则该圆台部分的侧面积为(　　)
A.3.6π m2　　　　B.3.8π m2
C.4.2π m2　　　　D.5.4π m2
6.如图1所示,在边长为+1的正方形上剪下一个扇形和一个圆,使之恰好围成一个圆锥(如图2),则该圆锥的表面积为　　　　.
　　
7.(2025安徽合肥期中)如图,梯形ABCD中,AB∥CD,DA=AB=BC=2,∠ADC=∠BCD=.
(1)若AC∩DB=E,以;
(2)将梯形ABCD绕AB所在的直线旋转一周,求所得几何体的表面积.
题组三　简单组合体的表面积
8.(2024湖北武汉华中师范大学第一附属中学期中)毡帐是牧民居住的一种房子,内部是木架结构,外部由毛毡围拢,建造和搬迁都很方便,适于牧业生产和游牧生活,如图1所示.某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体,如图2所示,下半部分圆柱的高为2.5米,上半部分圆锥的母线长为2米,轴截面(过圆锥轴的截面)是面积为3平方米的等腰钝角三角形,则建造该毡帐(不含底面)需要毛毡(　　)
　
A.(6+15)π平方米　　　　
B.(5+6)π平方米
C.(12+15)π平方米　　　　
D.(10+6)π平方米
9.(2025河北邢台期中)某广场设置了一些石凳供大家休息,如图,每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体,则下列结论不正确的是(　　)
A.该几何体有6个面是正方形
B.该几何体有8个面是正三角形
C.该几何体有26条棱
D.该几何体的表面积比原正方体的表面积小
10.(2024安徽六安期末)如图,在四边形ABCD中,AD⊥AB,∠ADC=120°,AB=2,AD=1,CD=2,则四边形ABCD绕直线AD旋转一周后所形成的几何体的表面积为　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
11.(2025河南创新发展联盟期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,AB=2CD,BD∩AC=E,F为棱PC上一点,且PF=2FC.
(1)求证:PA∥平面BDF;
(2)若BC=DC=2,求△ABE绕直线AB旋转一周所得几何体的表面积.
能力提升练
题组一　柱体、锥体、台体的表面积
1.(2025黑龙江齐齐哈尔模拟)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BB1上一点,AB=BB1,2BD=B1D,平面ACD将三棱柱截为两部分,则上、下两部分几何体的表面积的比值为(　　)
A.
C.8　　　　D.9
2.(2025江苏连云港东海第二中学期中)如图1,一个三阶魔方由一个三维十字连接轴和26个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45°之后(如图2),表面积增加了(　　)
A.108-72
B.81-54
C.54-36
D.30-18
3.(2024江苏徐州学情调研)图1是一栋度假别墅,它的屋顶可近似看作一个多面体,图2是该屋顶的结构示意图,其中四边形ABFE和四边形DCFE是两个全等的等腰梯形,AB∥CD∥EF,△EAD和△FBC是两个全等的正三角形.已知该多面体的棱BF与平面ABCD所成的角为45°,AB=20,BC=8,则该屋顶的侧面积为(　　)
　
A.80　　　　B.80
4.(2024江苏镇江期初)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形,PA⊥底面ABCD,PA=2,一圆柱的下底面在该四棱锥的底面上,当圆柱的侧面积最大时,圆柱的底面半径为　　　　.
5.如图,在三棱台ABC-DEF中,AB=BC=CA=2DF=2,FC=1,∠ACF=∠BCF=90°,G为线段AC的中点,H为线段BC上的点,BD∥平面FGH.
(1)求证:H为线段BC的中点;
(2)求三棱台ABC-DEF的表面积.
题组二　与空间图形面积有关的实际问题
6.(2025河南期末)“牟合方盖”是由两个相同的圆柱成直角相交而得到的公共部分对应的几何体,如图1,若圆柱的底面半径为r,则组成的“牟合方盖”的表面积为16r2.现有底面半径为1,高为3的两个圆柱成直角相交形成一个“十字”几何体,如图2,则该几何体的表面积为(　　)
　　
A.16π-16　　　　B.16π+16　　　　C.8π-16　　　　D.8π+16
7.大自然是非常奇妙的,比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的结构如图所示,它的开口为正六边形ABCDEF,侧棱AA',BB',CC',DD',EE',FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直,蜂房底部由三个全等的菱形构成.数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的.因此,有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.数学家麦克劳林通过计算得到∠B'C'D'=109°28'16″.已知BB'=5,tan 54°44'08″=,则此蜂房的表面积是　　　　.
8.如图,某人承包了一块矩形土地ABCD用来种植草莓,其中AB=99 m,AD=49.5 m.现规划建造如图所示的半圆柱形塑料薄膜大棚n(n∈N*)个,每个半圆柱形大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计).塑料薄膜的价格为每平方米10元,另外,还需在每两个大棚之间留下1 m宽的空地用于建造排水沟与行走小路,宽如图中EF,且EF=1 m,这部分建设造价为每平方米31.4元.
(1)当n=20时,求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积;(结果保留π)
(2)试确定使得上述两项费用的和最低的大棚个数.(π取3.14)
9.(2025江苏无锡期中)桌状山是一种山顶水平如书桌,四面绝壁临空的地质奇观.位于我国四川的瓦屋山是世界第二大的桌状山,其与峨眉山并称蜀中二绝.苏轼曾有诗云:“瓦屋寒堆春后雪,峨眉翠扫雨余天.”某地有一座类似瓦屋山的桌状山可以简化为如图1所示的圆台,图中AB为圆台上底面的一条东西方向上的直径,某人从M点出发沿一条东西方向的笔直公路自东向西以24 km/h的速度前进,15分钟后到达N点.在M点时测得A点位于北偏西45°方向上,B点位于北偏西15°方向上;在N点时测得A点位于北偏东15°方向上,B点位于北偏东45°方向上,且在N点时观测A的仰角的正切值为.设A点在地表水平面上的正投影为A',B点在地表水平面上的正投影为B',A',B',M,N在地表水平面上的分布如图2所示.
　
(1)该山的高度为多少
(2)已知该山的下底面圆的半径为(3+)km,当该山被冰雪完全覆盖时,冰雪的覆盖面积为多少 (不计冰雪的厚度)
答案与分层梯度式解析
13.3　空间图形的表面积和体积
13.3.1　空间图形的表面积
基础过关练
1.D　如图,设PO是正四棱锥P-ABCD的高,则PO=2,
PE是斜高,由S侧=2S底可得4×·BC·PE=2BC2,
所以BC=PE.在Rt△POE中,PO=2=PE2,解得PE=4,
所以S底=BC2=PE2=16,S侧=2S底=2×16=32,
所以S表=S底+S侧=16+32=48.
2.C　由斜二测画法还原底面△ABC,如图所示.
其中OA=2OB=2OC=2,所以AB=AC=×2×2=2,
又该直三棱柱的高为1,
所以该直三棱柱的表面积S=2×2+(2+2)×1=6+2.
3.B　如图,过B'作B'F⊥底面ABCD于点F,过F作FE⊥BC交BC于E,连接B'E,
因为B'F⊥底面ABCD,BC 底面ABCD,所以B'F⊥BC,
又FE⊥BC,FE∩B'F=F,FE,B'F 平面B'FE,
所以BC⊥平面B'FE,
又因为B'E 平面B'FE,所以BC⊥B'E,
又平面B'C'CB∩平面ABCD=BC,
所以∠B'EF为侧面与底面ABCD所成角的平面角,即∠B'EF=45°,
由题意可知FE=×(3-1)=1,所以B'E=,
所以该棱台的表面积S=12+32+4×.
4.A　不妨设原圆锥的底面半径为2,则母线长为4,高为2,所以原圆锥的表面积为22·π+4π·4×=12π.
小圆台的上、下底面面积之和为22·π+12·π=5π,侧面积为(4π+2π)×2×=6π,故小圆台的表面积为5π+6π=11π.
故小圆台与原圆锥的表面积之比为11∶12.
5.B　如图,过点A,B分别作AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别为E,F,易知四边形ABCD为等腰梯形,
故DE=CF==0.8(m),
故AD=BC==1(m),　
故该圆台部分的侧面积为=3.8π(m2).
6.答案　5π
思路点拨
根据扇形的弧长与圆锥底面周长的关系可求得剪下的圆的半径和扇形半径之间的关系,再结合正方形的对角线长列式求出底面圆的半径,进而可求得圆锥的表面积.
解析　如图,设扇形的弧,AD,CD分别与圆F切于点H,E,G,连接FE,FG.易知四边形EFGD为正方形,
设圆F的半径为r,剪下的扇形半径为R,
则FD=R,
由剪下的扇形和圆恰好围成一个圆锥,可得R=2πr,解得R=4r,即BH=4r,
∴BD=BH+HF+FD=4r+r+)r,
∵正方形的边长为+1,
∴BD=×,
∴(5+,∴r=1.
故剪下的扇形和圆围成的圆锥的底面半径为1,母线长为4,
则该圆锥的表面积为π×1×4+π×12=5π.
7.解析　(1)如图,分别过点A,B作AF⊥CD,BG⊥CD,垂足分别为F,G.
由已知得梯形ABCD为等腰梯形,AD=2,∠ADC=,
所以DF=1,AF=,所以CD=AB+2DF=4.
由已知可得△AEB∽△CED,
所以=2,
故),
所以.
(2)梯形ABCD绕AB所在的直线旋转一周可得一个由以AF的长为底面半径,CD的长为高的圆柱挖去两个以AF的长为底面半径,DF的长为高的圆锥(挖去部分表面积等于两个圆锥的侧面积之和).
每个圆锥的侧面积为π××2=2π×4=8π.
所以所得几何体的表面积为8π×2=12π.
8.A　设上半部分圆锥的高为h米,底面半径为r米,
根据题意可得
则上半部分圆锥的侧面积S1=π×3×2π(平方米),下半部分圆柱的侧面积S2=2π×3×2.5=15π(平方米),
则建造该毡帐(不含底面)需要毛毡的面积为S1+S2=(6+15)π平方米.
9.C　对于A,B,正方体截去八个相同的正三棱锥后得到的几何体有14个面,其中8个面是正三角形,6个面是正方形,故A,B中结论正确;
对于C,该几何体共有24条棱,故C中结论错误;
对于D,设原正方体的棱长为2,则该几何体的表面由6个边长为的正三角形组成,其表面积为6×()2+8×××,原正方体的表面积为2×2×6=24,故该几何体的表面积比原正方体的表面积小,故D中结论正确.
10.答案　(12+3)π
解析　如图,过点C作CE⊥AD,CF⊥AB,垂足分别为E,F,
因为∠ADC=120°,所以∠EDC=60°.
因为CD=2,所以DE=1,CE=.
又因为AD=1,AB=2,
所以CF=AE=AD+DE=2,BF=AB-AF=2.
四边形ABCD绕直线AD旋转一周后所形成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥,其中CD为圆锥的母线,CE为底面半径,BC为圆台的母线,AB为圆台的下底面半径,
故圆锥的侧面积为π××2=2π,圆台的侧面积为π×()×π,
圆台的下底面面积为(2)2×π=12π,
所以该几何体的表面积为(12+3)π.
11.解析　(1)证明:因为AB∥CD,所以△ABE∽△CDE,
又AB=2CD,所以,
连接EF,由PF=2FC,得,所以EF∥PA,
又因为EF 平面BDF,PA 平面BDF,
所以PA∥平面BDF.
(2)因为四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,
所以AC=BD,
由(1)得AE=BD,所以AE=BE.
在平面ABCD中,过C作CM⊥AB,垂足为M,过E作EN⊥AB,垂足为N,
则CM=,CM∥EN,
又,
所以△ABE绕直线AB旋转一周所得几何体的表面积是两个底面半径均为,高均为2的圆锥的侧面积之和.
故所得几何体的表面积为2×π××.
能力提升练
1.A　该几何体被截面ACD截成两个部分,
上部分几何体表面由一个正三角形、一个等腰三角形、两个直角梯形和一个正方形组成,
下部分几何体表面由两个直角三角形、一个等腰三角形和一个正三角形组成.
不妨设AB=6,则BD=2,AD=,
在△ACD中,AC边上的高h=,
则上部分几何体的表面积S上=×62+×6××6×(6+4)×2+62=9+96,
下部分几何体的表面积S下=×6×2×2+×6××62=9+12,
故上、下两部分几何体的表面积的比值为.　
2.A　把魔方的中间一层转动了45°后,魔方的表面积相较原来多出了16个小三角形的面积(每个小三角形如图中阴影部分所示),
每个小三角形为等腰直角三角形且周长为3,设其直角边长为x,则斜边长为,
所以每个小三角形的面积S1=×,
所以增加的面积S=16S1=16×.
3.D　如图,分别取BC,AD的中点G,H,连接HG,EH,FG.根据题意可知,F在平面ABCD内的射影在HG上,设为O,连接FO,OB,则FO⊥平面ABCD.
因为OB 平面ABCD,所以OF⊥OB,
所以∠FBO是BF与平面ABCD所成的角,即∠FBO=45°,
所以FO=OB=8×,
过O作OP⊥AB,垂足为P,连接FP,
因为OP,AB 平面ABCD,FO⊥平面ABCD,所以FO⊥OP,FO⊥AB,
又FO∩OP=O,FO,OP 平面FOP,
所以AB⊥平面FOP,
因为FP 平面FOP,所以AB⊥FP,
易得OP=,
所以BP==4,所以EF=20-4×2=12,
所以该屋顶的侧面积为2×
=160.
4.答案　
解析　如图,在四棱锥P-ABCD内作正四棱柱AMNK-HEFG,其中E,F,G,H,M,K分别在棱PD,PC,PB,PA,AD,AB上,
要使圆柱的侧面积最大,只需其底面圆为正四棱柱AMNK-HEFG底面的内切圆,
连接HF,设圆柱的底面半径为r,高为h,则HF=2r,AH=h,连接AC,则N点在AC上,
易知HF∥AC,则,
解得h=2-2r,
由h>0,r>0,得0所以圆柱的侧面积为2πrh=2πr(2-2r)=-4π(r2-r)=-4π+π,
故当r=时,圆柱的侧面积最大.
5.解析　(1)证明:连接CD,设CD∩FG=O,连接HO,DG,
因为BD∥平面FGH,BD 平面CBD,且平面CBD∩平面FGH=HO,所以BD∥HO,
易得四边形DFCG是正方形,所以O是CD的中点,
所以H为线段BC的中点.
(2)因为AB=BC=CA=2,所以△ABC为等边三角形,
所以△DEF也为等边三角形,且EF=DE=DF=1,
则S△DEF=×DE2=×AB2=,
又因为∠ACF=∠BCF=90°,所以四边形ADFC和四边形EFCB均为直角梯形,且FC=1,
设侧面ADFC的面积为S1,则S1=×(1+2)×1=,
连接EH,易得四边形ADEB为等腰梯形,其中DE=1,AB=2,且AD=BE=,
在平面ABED内过点E作EM⊥AB,垂足为M,可得EM=,
设侧面ABED的面积为S2,则S2=×(1+2)×,
所以三棱台ABC-DEF的表面积S=+2×+3.
6.A　由题可知该几何体的表面积等于两个圆柱表面积的和减去“牟合方盖”的表面积,即2×(2π+3×2π)-16=16π-16.
7.答案　216
解析　如图所示,连接OC',B'D',BD,
由题意得BD∥B'D',BD=B'D'=6,
∵四边形OB'C'D'为菱形,∠B'C'D'=109°28'16″,tan 54°44'08″=,
∴OC'=2·=2×=6,∴B'C'=3,
∴CC'=BB'-,
∴S梯形BCC'B'=,
∴S蜂房表=6×27+3××6×6.
8.解析　设每个半圆柱形大棚的底面半径为r m.
(1)当n=20时,共有19块空地,所以r==2,所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面的面积)S=πr2+πr×AD=π×22+2π×49.5=103π(m2).
故蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积为103π m2.
(2)设两项费用的和为f(n)元.
因为r=,所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面的面积)S'=πr2+πr×AD=m2,
则f(n)=10nS'+31.4×1×49.5(n-1)
=10n×+31.4×1×49.5(n-1)
=31.4×
=×
=×
=×
≥×
=90 290.7,
当且仅当=n,即n=10时,等号成立,此时f(n)取得最小值.因此,当大棚的个数为10时,两项费用的和最低.
9.解析　(1)由题意可知∠B'MN=∠A'NM=75°,∠A'MN=∠B'NM=45°,所以∠NA'M=60°.
易得MN=24× km,
在△A'MN中,由正弦定理得,
即 km,
又因为在N点时观测A的仰角的正切值为,
所以AA'=6× km,
故该山的高度为 km.
(2)易知∠A'MB'=∠A'NB'=30°,∠B'MN=∠A'NM=75°,
A'B'∥MN,所以∠B'NM=∠A'MN=∠B'A'M=∠NB'A'=45°,
所以∠MB'N=∠NA'M=180°-45°-75°=60°,
所以∠B'A'N+∠NMB'=∠A'B'M+∠MNA'=60°+45°+75°=180°,
故A',B',M,N四点共圆.
在△A'MN中,由正弦定理得=12,
在△A'MB'中,由正弦定理得A'B'=12sin∠A'MB'=6 km,
如图,直线A'B'与圆台下底面圆周分别交于点C',C,由题知C'C=2(3+ km,
又由(1)知BB'=AA'= km,
故BC==3 km.
所以圆台的侧面积为π·(3+3+)×3=(3+18)π km2,
上底面面积为π·32=9π km2,
故该山被冰雪覆盖的面积为(3+27)π km2.
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