14.4.2 用样本估计总体的离散程度参数--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

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2026苏教版高中数学必修第二册
14.4.2　用样本估计总体的离散程度参数
基础过关练
题组一　极差、方差、标准差的计算
1.(2025江苏无锡怀仁中学期中)若数据x1,x2,x3,x4的平均数为的方差为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　
C.4　　　　D.5
2.(2025江西景德镇期末)已知一组数据x1,x2,x3,x4的平均数=4,方差s2=2,则数据2x1+3,2x2+3,2x3+3,2x4+3的平均数和方差分别为(　　)
A.11,4　　　　B.8,8　　　　
C.11,8　　　　D.4,2
3.(多选题)(2025湖北武汉联考)某班有男生30人,女生20人.在某次考试中,男生、女生成绩的平均分分别为≠,s2,则下列结论一定正确的是(　　)
A.
C.s2=
4.(多选题)(2025福建厦门模拟)甲、乙两名篮球运动员连续5场比赛的得分如图所示,则(　　)
A.甲得分的极差大于乙得分的极差
B.甲得分的平均数大于乙得分的平均数
C.甲得分的中位数大于乙得分的中位数
D.甲得分的方差大于乙得分的方差
题组二　极差、方差、标准差的应用
5.(2025江苏南通期中)在一次足球联赛上,甲队每场比赛平均失球数是1.5,全年比赛失球数的标准差为1.4;乙队每场比赛平均失球数是2.1,全年比赛失球数的标准差为0.4,则(　　)
A.平均来说,乙队比甲队防守技术更好
B.甲队比乙队防守技术水平更稳定
C.乙队很少失球
D.甲队在防守中有时表现较差,有时表现较好
6.(2025江苏太仓沙溪高级中学阶段检测)为了迎接某项活动,某市积极开展网上竞赛,先采取甲、乙两套方案进行培训,并对分别采取两套方案培训的单位的7次线上测试成绩进行统计,如图所示.
(1)分别求用甲、乙两套方案培训的测试成绩的平均数和方差;
(2)从下面两个不同的角度对这次方案选择的结果进行分析:
①从平均数和方差相结合角度(分析哪种方案的成绩更好);
②从折线图上两种方案的走势(分析哪种方案更有潜力).
能力提升练
题组　样本数字特征的综合应用
1.(2025江苏淮安中学期中)已知互不相等的数据x1,x2,x3,x4,x5,x6,t的平均数为t,方差为,则(　　)
A.　　　　 B.
C.　　　　 D.的大小关系无法判断
2.(2025山东临沂期中)有一组数据1,2,3,4,5,现加入两个正整数x,y构成一组新数据,与原数据相比,下列说法正确的是(　　)
A.若平均数不变,则x+y=6　　　　
B.若极差不变,则x+y=6
C.若x+y=6,则中位数变大　　　　
D.若x+y=6,则方差不变
3.(多选题)(2025江苏南通模拟)每年4月23日为“世界读书日”,某小学为鼓励学生进行课外阅读,拓宽学生眼界,对热爱课外阅读的班级进行表彰,规定从班级中随机抽取5位同学,统计他们一学年内阅读课外书籍的本数,若抽取的5位同学在一学年内阅读课外书籍的本数都不低于10,则该班级被评选为“优阅班级”.以下是4个班级中从每个班级抽取的5位同学阅读课外书籍的本数的统计数据.
六年级(1)班:中位数为11,众数为10;
六年级(2)班:众数为12,极差为3;
六年级(3)班:平均数为12,极差为3;
六年级(4)班:平均数为12,方差为2.
根据以上信息,一定能被评为“优阅班级”的是(　　)
A.六年级(1)班　　　　B.六年级(2)班　　　　
C.六年级(3)班　　　　D.六年级(4)班
4.(多选题)(2024湖南长沙一中月考)为了解某贫困地区实施精准扶贫后的成果,现随机抽取了该地区三个县在2021年建档立卡人员年人均收入提升状况.经统计,A县建档立卡人员年人均收入提升状况如扇形统计图所示,B县建档立卡人员年人均收入提升状况如条形统计图所示,C县建档立卡人员年人均收入提升的平均数为122百元,方差为4百元2,A,B,C三县建档立卡人数之比为3∶4∶5,则下列说法正确的有(　　)
A.A县建档立卡人员年人均收入提升的平均数为122百元
B.B县建档立卡人员年人均收入提升的方差为5.6百元2
C.估计该地区建档立卡人员的年人均收入提升为120.75百元
D.C县精准扶贫的效果最好
5.(多选题)(2025河南焦作期中)某校社团为发扬奥林匹克精神举办了竞技比赛,此比赛共有5名同学参加,赛后经数据统计得到这5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8,方差为4,比赛成绩x∈[0,15],且x∈N*,则这5名同学中比赛成绩的最高分可能为(　　)
A.13　　　　B.12　　　　C.11　　　　D.10
6.(2025江苏镇江期初调研)某校积极开展“武术进校园”活动,为了解该校各班参加武术兴趣小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加武术兴趣小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为5,极差不大于6,且样本数据互不相等,则该样本数据的方差的最大值为　　　　.　
7.(2025江西九江期中)已知某中学高一年级有学生1 000人,其中男生460人,现采用分层抽样的方法从中抽取50人,对他们的身高进行统计.若男生身高(单位:cm)的平均数和方差分别为170.6和12.59,女生身高(单位:cm)的平均数和方差分别为160.6和38.62,则估计该校高一年级学生身高的平均数是　　　　,方差为　　　　.(结果保留一位小数)
8.(高考新发现)(以新定义的形式考查统计知识)(2025四川成都树德中学期中)《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体,是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针是质量为先,要坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某电子产品制造企业为了提升生产效率,对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造,为了分析改造的效果,该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1 000件,检测产品的某项质量指标值,根据检测数据得到下表.
质量 指标值 [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75) [75, 85) [85, 95]
产品 件数 60 100 160 300 200 100 80
(1)估计这组样本的质量指标值的平均数和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)设[x]表示不大于x的最大整数,{x}表示不小于x的最小整数,an=5·,bn=5·,n∈N*,标准差s的值精确到个位.根据检验标准,技术升级改造后,若有65%的产品的质量指标值落在[a1,b1]内,则可以判定技术改造后的产品质量初级稳定;若有95%的产品的质量指标值落在[a2,b2]内,则可以判定技术改造后的产品质量稳定,认为该生产线的技术改造成功.根据样本数据估计,是否可以判定该生产线的技术改造是成功的.(附:≈16)
答案与分层梯度式解析
14.4.2　用样本估计总体的离散程度参数
基础过关练
1.C　由已知得=20,所以数据x1,x2,x3,x4,=4.
2.C　由数据x1,x2,x3,x4的平均数=4,方差s2=2,可知数据2x1+3,2x2+3,2x3+3,2x4+3的平均数为2×4+3=11,方差为22×2=8.
规律总结　若一组数据的平均数为,方差为s2,则将这组数据分别加上(或减去)同一个常数a,所得数据的平均数为+a(或-a),方差不变;将这组数据分别乘上同一个常数b(b≠0),所得数据的平均数为b,方差为b2s2.
3.AD　由分层抽样的平均数计算公式可得,则A正确,B错误;
由分层抽样的方差计算公式可得s2=]≥,当且仅当时,等号成立,
又因为,所以等号不成立,故s2>,则C错误,D正确.
4.BC　甲5场比赛得分由低到高分别为15,16,18,21,30,乙5场比赛得分由低到高分别为4,10,16,22,38,
则甲得分的极差为30-15=15,乙得分的极差为38-4=34,
故甲得分的极差小于乙得分的极差,故A错误;
甲得分的平均数为=20,乙得分的平均数为=18,
则甲得分的平均数大于乙得分的平均数,故B正确;
甲得分的中位数为18,乙得分的中位数为16,则甲得分的中位数大于乙得分的中位数,故C正确;
甲得分的方差为
=29.2,
乙得分的方差为
=136,
故甲得分的方差小于乙得分的方差,故D错误.
5.D　对于A,因为1.5<2.1,所以平均来说,甲队比乙队的防守技术更好,故A错误;
对于B,因为1.4>0.4,所以乙队比甲队防守技术水平更稳定,故B错误;
对于C,因为乙队每场比赛平均失球数是2.1,全年比赛失球数的标准差为0.4,
所以乙队失球数更多,且乙队防守技术水平相对稳定,所以乙队很少不失球,故C错误;
对于D,因为甲队全年比赛失球数的标准差为1.4,相比较来说不太稳定,所以甲队在防守中有时表现较差,有时表现较好,故D正确.
6.解析　(1)由题图可得用甲方案培训的测试成绩的平均数=115,
用乙方案培训的测试成绩的平均数=115,
用甲方案培训的测试成绩的方差=16,
用乙方案培训的测试成绩的方差.
(2)①因为甲、乙两种方案培训的测试成绩的平均数相等,,所以用乙方案培训成绩更稳定、更好;
②从折线图的走势来看甲更有潜力,使用甲方案的成绩稳步提高,而使用乙方案的成绩不稳定,忽上忽下.
能力提升练
1.C　数据x1,x2,x3,x4,x5,x6,t的平均数为=t,
所以x1+x2+x3+x4+x5+x6=6t,
=,
数据x1,x2,x3,x4,x5,x6的平均数=t,
,
因为>0,所以.
2.A　若平均数不变,则=3,解得x+y=6,故A正确;
当x=y=2时,极差不变,但x+y≠6,故B错误;
若x+y=6,则x,y为1,5或2,4或3,3,每一种情况对应的中位数都是3,故C错误;
原数据的平均数为3,方差为×(4+1+0+1+4)=2,
因为x+y=6,由A知原数据和新数据的平均数均为3,
所以新数据的方差为,
当x=y=3时,方差有最小值,所以方差有可能改变,故D错误.
3.ACD　对于A,设六年级(1)班的这5位同学阅读课外书籍的本数分别为x1,x2,x3,x4,x5(假设顺序是从小到大的),
因为中位数为11,所以x3=11,又众数为10,所以x1=x2=10,所以该班级一定能被评为“优阅班级”,故A正确;
对于B,假如六年级(2)班的这5位同学阅读课外书籍的本数分别为9,10,11,12,12,满足众数为12,极差为3,但不满足被评为“优阅班级”的条件,故B错误;
对于C,设六年级(3)班的这5位同学阅读课外书籍的本数分别为x'1,x'2,x'3,x'4,x'5(假设顺序是从小到大的),
由x'5-x'1=3,
得若x'1≤9,则x'5-3≤9,解得x'5≤12,这与平均数为12矛盾,故x'1≥10,所以该班级一定能被评为“优阅班级”,故C正确;
对于D,设六年级(4)班的这5位同学阅读课外书籍的本数分别为x″1,x″2,x″3,x″4,x″5(假设顺序是从小到大的),
由题得2=],
所以=10,
若x″1≤8,则≥16>10,与上式不符,若x″1=9,且平均数为12,则x″5>12,上式不成立,所以x″1≥10,所以该班级一定能被评为“优阅班级”,故D正确.
4.BCD　选项A中,A县建档立卡人员年人均收入提升的平均数=121(百元),故A错误;
选项B中,B县建档立卡人员年人均收入提升的平均数=115×10%+117×20%+119×50%+123×20%=119(百元),
B县建档立卡人员年人均收入提升的方差为(115-119)2×0.1+(117-119)2×0.2+(119-119)2×0.5+(123-119)2×0.2=5.6(百元2),故B正确;
选项C中,估计该地区建档立卡人员的年人均收入提升为×(121×3+119×4+122×5)=120.75(百元),故C正确;
选项D中,A县建档立卡人员年人均收入提升的方差为(123-121)2×=10.5(百元2),所以C县建档立卡人员年人均收入提升的平均数最大,方差最小,故C县精准扶贫的效果最好,故D正确.
5.BC　设这5名同学在此次比赛中所得成绩分别为x1,x2,x3,x4,x5,
由题得平均数(x1+x2+x3+x4+x5)=8,则x1+x2+x3+x4+x5=40,
且方差s2=]=4,
则=20,
不妨设x5最大.
对于A,若x5=13,则=-5,不成立,故A错误;
对于B,若x5=12,则=4,满足题意,故B正确;
对于C,若x5=11,则=11,满足题意,故C正确;
对于D,若x5=10,则x1+x2+x3+x4=30且=16,
则-16(x1+x2+x3+x4)+4×82=16,
即=16(x1+x2+x3+x4)-4×82+16=16×30-4×82+16=240,
则该方程组无正整数解,故D错误.
6.答案　
解析　不妨设这5个班级的样本数据分别为a,b,c,d,e(a依题意有a+b+c+d+e=25,易知e≥d+1≥c+2≥b+3≥a+4,
所以5a+10≤a+b+c+d+e≤5e-10,则e≥7,a≤3,
又e-a≤6,所以a,b,c,d,e的值可能有三种情况:
①a,b,c,d,e分别为2,3,5,7,8,则平均数为5,方差为;
②a,b,c,d,e分别为2,4,5,6,8,则平均数为5,方差为×[(2-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(8-5)2]=4;
③a,b,c,d,e分别为3,4,5,6,7,则平均数为5,方差为×[(3-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(7-5)2]=2.
综上,当a,b,c,d,e分别为2,3,5,7,8时,样本数据的方差最大,为.
7.答案　165.2;51.5
解析　由题意得高一年级男生有460人,则女生有1 000-460=540(人),男、女生人数比为23∶27,所以样本中男生有23人,女生有27人.
记23名男生的身高(单位:cm)分别为x1,x2,…,x23,平均数为,方差为,27名女生的身高(单位:cm)分别为y1,y2,…,y27,平均数为,方差为,总体平均数为,方差为s2,
则=165.2,
所以s2=]}
=×{23×[12.59+(170.6-165.2)2]+27×[38.62+(160.6-165.2)2]}≈51.5.
8.解析　(1)由题表中数据,可知=30×0.06+40×0.1+50×0.16+60×0.3+70×0.2+80×0.1+90×0.08=61(表格中产品件数除以样本量1 000为相应频率),
s2=(30-61)2×0.06+(40-61)2×0.1+(50-61)2×0.16+(60-61)2×0.3+(70-61)2×0.2+(80-61)2×0.1+(90-61)2×0.08=241.
(2)由(1)知s2=241,则s≈16,
则a1=5×=75,即[a1,b1]=[45,75],
该样本数据落在[45,75]内的频率约为0.16+0.3+0.2=0.66,0.66×100%=66%>65%.
a2=5×=90,即[a2,b2]=[30,90],
该样本数据落在[30,90]内的频率约为1-0.03-0.04=0.93,0.93×100%=93%<95%(利用了频率总和为1这一性质),
∴可以判定技术改造后的产品质量初级稳定,但不能判定该生产线技术改造是成功的.
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